特殊公式法求解匀变速直线运动问题 新东方高中物理组教师谭绍维


特殊公式法求解匀变速直线运动的问题

谭绍维 2012-5-21

1、速度公式:vt=v0+at
2、位移公式:s=v0t+at2/2

3、不含时间的推论式:vt2-v02=2as
4、匀变速直线运动的几个重要推论式: (1)任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差是一个恒量,即 s2-s1=s3-s2…=Δs=aT2 v0 ? vt v (2)中间时刻瞬时速度等于这段时间内的平均速度: t / 2 ? v ?

v (3)中间位移处的速度: s / 2

2 v0 ? vt2 ? 2

2

s ? t

(4)初速为零的匀加速运动有如下特征 ①从运动开始计时起,在连续相等的各段时间内通过的位移之比为 s1:s2:s3:…:sn=1:3:5:…:(2n-1)(n=1、2、3…) ②从运动开始计时起,时间t内,2t内,3t内…Nt内通过的位移之比为 sⅠ:sⅡ:sⅢ:…:sN=12:22:32:…:N2 ③从运动开始计时起,通过连续的等大位移所用的时间之比为

t1 : t2 : t3 : ? ? 1: ( 2 ?1) : ( 3 ? 2 ) : ?

火车紧急刹车后经7s停止,设火车匀减速直线运动,它在最后 1s内的位移是2m,则火车在刹车过程中通过的位移和开始刹车 时的速度各是多少? 解法一:逆向思维,用推论.仍看作初速为0的逆过程,用另一 推论: sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…=1∶3∶5∶7∶9∶11∶13 因为sⅠ=2(m) 则总位移:s=2(1+3+5+7+9+11+13)=98(m) 用基本公式、平均速度.质点在第7s内的平均速度为: 则第6s末的速度:v6=4(m/s) 求出加速度:a=(0-v6)/t= - 4(m/s2) 求初速度:0=v0+at,v0=at= 4×7=28(m/s) 解法二: 解法三:再根据 sⅠ:sⅡ:sⅢ:…:sN=12:22:32:…:N2 得:s1∶s7=1∶72=1∶49 则7s内的位移:s7=49s1=49×2=98(m) 解法四:图像法作出质点的速度-时间图像质点第7s内的位移大小为阴影部分小三角形

面积: 小三角形与大三角形相似,有v6∶v0=1∶7,v0=28(m/s) 总位移为大三角形面积:

例2、一个做自由落体运动的物体落至地面前最后一秒钟内通过的路程是 全程的一半,求它落到地面所需的时间。 解:利用推论。自由落体运动初速度等于零的匀加速直线运动,从运动 开始计时起,通过连续的等大位移所用的时间之比为:

证明推证1:设物体以初速v0、加速度a 做匀变速直线运动,自计时起时间 T内的位移 1 S I ? v 0T ? aT 2 2 3 S II ? v0 ? 2T ? 2a(2T ) 2 ? S I ? v0T ? aT 2 在第2个T 内的位移 2 两式得连续相等时间内位移差为
?S ? S II ? S I ? v0T ?
2 即 ?S ? aT

3 2 1 aT ? v0T ? aT 2 ? aT 2 2 2

进一步推证得 a ?

?S S n ?1 ? S n S n ? 2 ? S n S n ?3 ? S n ? ? ? ? …… 2 2 2 2 T T 2T 3T

证明推证2:由 vt ? v0 ? at ① 由①得 at ? vt 即 vt ?
2

t 知经 的瞬时速度v t ? v0 ? a t ② 2 2 2

? v0

v v v ? vt 1 v t ? v0 ? (vt ? v0 ) ? v0 ? t ? 0 ? 0 代入②中得 2 2 2 2 2

v0 ? v t 2
2 2 ① 又知 v s ? v0 ? 2a ? 2

2 2 证明推证3:由速度位移公式 vt ? v0 ? 2as

s ② 2

由①得 as ?

1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 (vt ? v 0 ) 代入②得 v s ? v0 ? (vt ? v0 ) ? (v0 ? vt ) 2 2 2 2



vs ?
2

1 2 (v0 ? vt2 ) 2

证明推证4:(1)由位移公式

s?

1 a(2T ) 2 ? aT 2 ? aT 2 2 2 2 1 1 5 s III ? s3 ? s 2 ? a(3T ) 2 ? a(2T ) 2 ? aT 2 2 2 2 可见,sI∶sⅡ∶sⅢ∶……= 1∶3∶5∶……∶(2n-1) 即初速为零的匀加速直 线运动,在连续相等时间内位移的比等于连续奇数的比. s II ? s 2 ? s1 ?

1 2 1 2 at 得 s I ? aT 2 2 1 3

(2)1T内、2T内、3T内……位移之比s1∶s2∶s3∶……= 12∶22∶32∶…… 可由 s ? 1 at 2 直接导出 (3):由 s ?

2

通过第二段相同位移所用时间 t 2 ?
a a a

1 2 2s at 知 t1 ? a 2

同理 t 3 ? 3 ? 2s ? 2 ? 2s ? 2s ( 3 ? 2 ) 则

2 ? 2s 2s 2s ? ? ( 2 ? 1) a a a

t1 : t 2 : t 3 …… t n = 1 : ( 2 ? 1) : ( 3 ? 2 ) : …… : ( n ? n ? 1)


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