辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高一数学下学期期中试题


辽宁省沈阳市东北育才双语学校 2013-2014 学年高一下学期期中考 试数学试题
第Ⅰ卷 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , A ? 135 , B ? 30 ,
? ?

a ? 2 ,则 b 等于(
A.1 2. 已知 A.

) C.

B. 2

3


D.2

a <b < a

,则以下不等式中恒成立的是( B. ab > 0 C. ab < 0

b <-a

D.

a <b

sin C 5 ? 3, b 2 ? a 2 ? ac ABC 中,若 sin A 2 ,则 cos B 的值为( 3.在 D 1 A. 3
4. 已知等差数列 A.72

)

B.

1 2

1 C. 5

1 D. 4


{an } 的前 n 项和 S n ,若 a4 = 18 - a5 ,则 S8 = (
B. 68 C. 54 D. 90

c、d、x、y 是正实数,且 5.若 a、b、
A. P = Q B. P ? Q

P = ab + cd , Q = ax + cy ?
D. P > Q

b d x y ,则(

)

C. P ? Q

6.已知

a1 > a2 > a3 > 0 ,则使得 (1 - ai x) 2 < 1(i = 1, 2,3) 都成立的 x 的取值范围是(
(0,
B.

)

(0,
A.

1 ) a1

2 ) a1

(0,
C.

1 ) a3

(0,
D.

2 ) a3
)

7. 等比数列 A.2

?an ? 中,若 a2 、 a6 是方程 2 x 2 +11x + 8 = 0 的两根,则 a4 的值为(
B. ?2 C. 2 D. - 2

8. 设 ?ABC 的内 角 A, B, C 所 对的 边分别 为 a, b, c , 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则

?ABC 的形状为(



A.锐角三角形 9. 等差数列 A. C.

B. 直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形 )

{an } 的前 n 项和 S n ,满足 S 20 = S 40 ,则下列结论中正确的是(
B.

S30 是 S n 中的最大值

S30 是 S n 中的最小值

S30 = 0

D.

S60 = 0

1 1 = d (n ? N * , d { a } {a } a an 11.若数列 n 满足 n +1 为常数 ) ,则称数列 n 为“调和数列”,

1 } b + b +? + b9 = 90 ,则 b4 ? b 6 的最大值是( b n 若正项数列 为“调和数列”,且 1 2 {
A.10 B.100 C.200 D.400



( a + b) 2 12.已知 x > 0, y > 0, x、a、b、y 成等差数列 x、c、d、y 、成等比数列,则 cd 的最
小的值是( A.0 ) B.1 C. 2 D.4

第Ⅱ卷 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.在 ?ABC 中,角 B 所对的边长 b = 6 ,面积为 15 ,外接圆的半径为 5 ,则 ?ABC 的周长 为 14.在 ?ABC 中, A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 2b = a + c ,则 B 的取值范围是 ________.

1 1 1 a ? a ? ? ? a ? 3n ? 1, n ? N * a ? 1 2 2 n n ? an ? 3 3 15.数列 满足 3 ,则 n

.

?a ? 16. 定义在 (- ? , 0) ? (0, ? ) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等比数列 n ,有 ? f ?a n ??
仍是等比数列,则称 f ( x) 为“保等比数列函数”.

现有定义在 (- ? , 0) ? (0, ? ) 上的如下函数:

2 f ?x ? ? x ① f ( x) = x ; ② f ( x) = 2 ; ③

x

; ④ f ( x) = ln | x |,

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤)

S n ? (an ? 1) ?a ? S 4 18.已知正项数列 n 的前 n 项和为 n ,且
(1)求

1

2

(n ? N * ).

a1 、 a2 ;

(2)求证:数列 (3)令

?an ? 是等差数列;

bn ? an ? 19 ,问数列 ?bn ? 的前多少项的和最小?最小值是多少?

19.解关于 x 的不等式 ax ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0 (a ? R ) .
2

b- 2 20. 关于 x 的方程 x + ax + 2b = 0 的两根分别在区间 (0,1) 与 (1, 2) 内, 求 a - 1 的取值范围.
2

21.如图,公园要把一块边长为 2a 的等边三角形 ABC 的边角地修成草坪, DE 把草坪分成 面积相等的两部分, D 在 AB 上, E 在 AC 上. (1)设 AD = x( x ? a ) , DE = y ,试用 x 表示函数 y ; (2)如果 DE 是灌溉水管,希望它最短, D、E 的位置应该在哪里?

22. 若数列

? An ? 满足 An?1 ? An 2 ,则称数列 ? An ? 为“平方递推数列” ?a ? .已知数列 n 中, ?an ? 1? 是“平方递推数列” ?lg(an ? 1)? 为等比数列; ,且数列
Tn , T ? (a1 ? 1)(a2 ? 1)? (an ? 1) , lg Tn ; 即 n 求

a1 ? 9 ,点 (an , an ?1 ) 在函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 的图象上,其中 n 为正整数.
(1)证明数列

(2) 设 (1) 中 “平方递推数列” 的前 n 项积为

bn ?
(3)在(2)的条件下,记 的 n 的最小值.

lg Tn lg(an ? 1) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ,并求使 S n ? 4026

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 15. 三、解答题(共 6 小题) .14. .16. . .

17.

18.

座位号 19.

20.

21.

22.

答题时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:高一数学组 校对人:高一数学组 选择题 1-5 AADAC 6-10 BDBDD 11-12 BD 填空题

13. 解答题

π 14. (0, 3 ]

ì ? 12 an = í n +1 ? ?3 15.

n =1 n >1
16. ①③

? 3 B ? (0, ) ? sin B ? 0 ? sin A ? 2 2 ,且 17. 解: (1) 由已知得到 2sin A sin B ? 3 sin B , 且
A ? (0, ) ? A ? 2 3 ; ??5 分

?

?

cos A ?
(2)由(1)知

1 2 ,由已知得到
1 28 ? (b ? c) 2 ? 3bc ? 36 ? 64 ? 3bc ? 36 ? bc ? 2 3

36 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ?
S? ABC ?

所以

1 28 3 7 ? ? ? 3 2 3 2 3 ??????????????????10 分

18. 解: (1)由已知条件得:

a1 ?

1 (a1 ? 1) 2 .? a1 ? 1. 4

又有

a1 ? a2 ?

1 2 (a2 ? 1) 2 .即a2 -2a2 ? 3 ? 0 a ? ?1(舍)或a2 =3 4 ,解得 2

(2)由

Sn ?

1 (an ? 1) 2 4 得 1 (an -1 ? 1) 2 4

n ? 2时:S n -1 ?

所 以 数 列

?an ? 是公差为 2 的等差数列。

(3)由(2)知

an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 。

? bn ? an ? 19 ? 2n ? 20 。易知数列 ?bn ? 是公差为 2,首项为 ?18 的等差数列。
所 以 数 列

?bn ?





n







Tn ?

n(b1 ? bn ) n(?18 ? 2n ? 20) 19 19 ? ? n 2 ? 19n ? (n ? ) 2 ? ( ) 2 2 2 2 2
T

当 n ? 9或n ? 10 时 n 有最小值 ?90 。即数列 -90。 另解: 故数列

?bn ? 的前 9 项的和以及前 10 项的和最小值是

? bn ? an ? 19 ? 2n ? 20, 注意到数列 ?bn ? 是公差为 2 的递增等差数列,且 b10 ? 0, ,

?bn ? 的前 9 项的和以及前 10 项的和最小值是-90。

19.解:原不等式 ? ( x ? 2)(ax ? 2) ? 0 当 a ? 0 时,解集为

? x x ? 2?

? 2 ? ? x ? x ? 2? a ? 当 a ? 0 时,解集为 ? ? 2? ? x x ? 2或x ? ? a? 当 0 ? a ? 1 时,解集为 ? ? 2 ? ? x x ? 或x ? 2 ? a ? 当 a ? 1 时,解集为 ?
20.解: b-2 可以转化为点(a,b)与 M(1,2)连线的斜率.由题知 x2+ax+2b=0 两根在(0,1) a-1

与(1,2)内, b>0 ? ? 可令 f(x)=x2+ax+2b.必满足 f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,即?1+a+2b<0 , ? ?2+a+b>0 由线性规划可知: 点 M(1,2)与阴影部分连线的 斜率 k 的取值范围为 kAM<k<kBM, ∵A(-3,1),B(-1,0), 1 b-2 ∴4< <1. a-1

21. (1)∵△ABC 的边长为 2a,D 在 AB 上, 且 x≥a,∴a≤x≤2a. 1 ∵S△ADE=2S△ABC 1 1 1 ∴2x·AE·sin60°=2·2(2a)2sin60° 2a2 ∴AE= x .在△ADE 中,由余弦定理得 4a4 y2=x2+AE2-2x·AE·cos60°=x2+ x2 -2a2 ∴y= 4a4 x2+ x2 -2a2(a≤x≤2a). 4a4 t+ t -2a2

(2)令 x2=t(a2≤t≤4a2),则 y= 4a4 ∵t+ t -2a2≥2

4a4 t· t -2a2=2a2

∴y≥ 2a2= 2a. 4a4 当且仅当 t= t ,即 t=2a2 时,取“=”号, 故 ymin= 2a,此时 x= 2a,所以以 A 为基点,分别在 AB、AC 上截取 AD=AE= 2a 时, 线段 DE 最短.

22.解: (1)由题意得: 数列” . 对

an ?1 ? an 2 ? 2an ,即 an ?1 ? 1 ? (an ? 1) 2 ,则 ?an ? 1? 是“平方递推

an ?1 ? 1 ? (an ? 1) 2 两边取对数得 lg(an ?1 ? 1) ? 2 lg(an ? 1) ,

所以数列

?lg(an ? 1)? 是以 ?lg(a1 ? 1)? 为首项, 2 为公比的等比数列.???4 分
lg(an ? 1) ? lg( a1 ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 n ?1

(2)由(1)知

lg Tn ? lg(a1 ? 1)(a2 ? 1) ? (an ? 1) ? lg(a1 ? 1) ? lg( a2 ? 1) ? ? ? lg( an ? 1)
? 1 ? (1 ? 2n ) ? 2n ? 1 1? 2

??????????????8 分


相关文档

更多相关文档

辽宁省沈阳市东北育才学校2013-2014学年高一下学期期中考试英语试题
辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案
辽宁省沈阳市东北育才学校2013-2014学年高二下学期期中考试数学(理)试题
辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高一下学期期中考试英语试题
河北省石家庄外国语学校2013-2014学年高一数学上学期期中试题
辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高三上学期第一次模拟考试语文试题
辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高一政治下学期期中试题
辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高一生物下学期期中试题
湖北省武汉外国语学校2013-2014学年高一数学下学期期中试题
辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高一物理下学期期中试题 文
辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高一下学期期中考试政治试题
辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高一下学期期中考试物理(理)试题
辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案
辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题
辽宁省鞍山市2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题(A卷)
电脑版