河南省北大附中分校2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科)


2015-2016 学年河南省北大附中分校高二 (上) 期中数学试卷 (文 科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题只有一个选项符合题意) 1.在△ ABC 中,已知 a=5 ,c=10,A=30°,则 B 等于( ) A.105° B.60° C.15° D.105°或 15°

2.已知数列{an}满足 A.729 B.367 C.604 D.854

,则 a6+a7+a8+a9=(

)

3.已知等差数列{an}满足 a3=7,a5+a7=26,则通项公式 an=( A.2n﹣1 B.2n+1 C.3n+1 D.4n+1

)

4.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若 则 A.1 的值为( B. C. ) D.



5.已知等差数列{an}满足 A.10 B.9 C.2 D.3

,且 m>1,则 a1+a2m﹣1=(

)

6.已知正项数列{an}满足 A.2 B.±2 C.±4 D.4 )

,则 a6=(

)

7.等差数列{an}中 an>0,且 a1+a2+…+a10=30,则 a5+a6=( A.3 B.6 C.9 D.36

8.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 A= A.1 B.2 C. ﹣1 D.

,a=

,b=1,则 c=(

)

9.已知 Sn 表示等差数列{an}的前 n 项和,且 A. B. C. D.

= ,那么

=(

)

10. B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c, 在△ ABC 中, 角 A、 满足 acosA+bcosB=ccosC, 则△ ABC ) 为( A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 11.已知数列{an}为等比数列,且 a4?a6=2a5,设等差数列{bn}的前 n 项和为 Sn,若 b5=2a5, ) 则 S9=( A.36 B.32 C.24 D.22 12.若正项数列{an}满足 a1=2,an+12﹣3an+1an﹣4an2=0,则{an}的通项 an=( A.an=22n﹣1 B.an=2n C.an=22n+1 D.an=22n﹣3 )

二、填空题(本题共 4 个小题,每题 5 分,共计 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.在△ ABC 中,若 A:B:C=1:2:3,则 a:b:c=__________. 14.已知有穷等差数列{an}中,前四项的和为 124,后四项的和为 156,又各项和为 210,那 么此等差数列的项数为__________.

15.已知等比数列{an}的公比 q= ,且 a1+a3+…+a199=180,则 a2+a4+…+a200=__________.

16.已知等差数列{an}、{bn}前 n 项的和分别是 Sn、Tn,若

=

,则

=__________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤) 17.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 bcosC+ccosB=2b,则 =__________.

18.在等差数列{an}中,a1+a3+a5=﹣12,且 a1a3a5=80,求数列{an}的通项公式. 19.已知数列{an}满足 (1)当 时,求证{ , , }是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式. 20.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 acosC+ ①求角 A 的大小; ②若 a=2,△ ABC 的面积为 ,求 b、c 的值. asinC﹣b﹣c=0

21.已知等差数列{an}满足 a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= (n∈N) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

22.等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1, (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.



2015-2016 学年河南省北大附中分校高二(上)期中数学 试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题只有一个选项符合题意) 1.在△ ABC 中,已知 a=5 ,c=10,A=30°,则 B 等于( ) A.105° B.60° C.15° D.105°或 15° 【考点】正弦定理. 【专题】计算题. 【分析】根据正弦定理 知 ,将题中数据代入即可求出角 C 的正弦值,然后根

据三角形的内角和,进而求出答案. 【解答】解:∵知 a=5 ,c=10,A=30° 根据正弦定理可知 ∴sinC═ ∴C=45°或 135° B=105° 或 15° 故选 D. 【点评】本题主要考查了正弦定理的应用.正弦定理常用来运用 a:b:c=sinA:sinB:sinC 解决角之间的转换关系.属于基础题. =

2.已知数列{an}满足 A.729 B.367 C.604 D.854

,则 a6+a7+a8+a9=(

)

【考点】数列的函数特性. 【专题】整体思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】利用 a6+a7+a8+a9=S9﹣S5 即可得出. 【解答】解:∵ =Sn,

则 a6+a7+a8+a9=S9﹣S5=93﹣53=604. 故选:C. 【点评】本题考查了数列的前 n 项和公式、递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题. 3.已知等差数列{an}满足 a3=7,a5+a7=26,则通项公式 an=( A.2n﹣1 B.2n+1 C.3n+1 D.4n+1 【考点】等差数列的前 n 项和;等差数列的性质. 【专题】方程思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出. )

【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d,∵a3=7,a5+a7=26, ∴ ,

解得 a1=3,d=2. 则通项公式 an=3+2(n﹣1)=2n+1. 故选:B. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

4.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若 则 A.1 的值为( B. C. ) D.



【考点】余弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形. 【分析】由余弦定理化简条件得 2ac?cosB?tanB=ac,再根据同角三角函数的基本关系得 sinB= ,从而求得角 B 的值. ac,

【解答】解:∵在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, (a2+c2﹣b2)tanB= ∴2ac?cosB?tanB= ac, ∴sinB= , =sinB= ,

∴由正弦定理可得:

故选:D. 【点评】本题考查余弦定理的应用,同角三角函数的基本关系,以及根据三角函数值及角的 范围求角的大小.

5.已知等差数列{an}满足 A.10 B.9 C.2 D.3

,且 m>1,则 a1+a2m﹣1=(

)

【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题;函数思想;转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列的性质 am﹣1+am+1=2am,根据已知中 am﹣1+am+1﹣am2﹣1=0,求出 am 的值,再由等差数列的性质得 a1+a2m﹣1=2am=2. 【解答】解:∵数列{an}为等差数列, 则 am﹣1+am+1=2am, 则 am﹣1+am+1﹣am2﹣1=0 可化为 2am﹣am2﹣1=0, 解得:am=1, ∴a1+a2m﹣1=2am=2. 故选:C.

【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质,其中等差数列最重要的性质:当 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq,是解答本题的关键,是中档题. 6.已知正项数列{an}满足 A.2 B.±2 C.±4 D.4 ,则 a6=( )

【考点】数列递推式. 【专题】计算题;函数思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】由题设知 an+12﹣an2=an2﹣an﹣12,推出数列{an2}为等差数列,首项为 1,求出公差 d,由此能求出 a6. 【解答】解:∵正项数列{an}中,a1=1,a2=2,2an2=an+12+an﹣12(n≥2) , 2 2 2 2 ∴an+1 ﹣an =an ﹣an﹣1 , ∴数列{an2}为等差数列,首项为 1,公差 d=a22﹣a12=3, ∴an2=1+3(n﹣1)=3n﹣2, ∴a62=3×6﹣2=16, ∴a6=4, 故选:D. 【点评】本题考查数列的递推式的应用,是基础题.解题时要认真审题,注意等差数列的性 质和应用. 7.等差数列{an}中 an>0,且 a1+a2+…+a10=30,则 a5+a6=( A.3 B.6 C.9 D.36 )

【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题;转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】由已知结合等差数列的性质可得 5(a5+a6)=30,则答案可求. 【解答】解:在等差数列{an}中,由 an>0,且 a1+a2+…+a10=30,得 (a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=30, 即 5(a5+a6)=30,∴a5+a6=6. 故选:B. 【点评】本题考查等差数列的性质,是基础的计算题.

8.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 A= A.1 B.2 C.

,a=

,b=1,则 c=(

)

﹣1 D. 【考点】正弦定理的应用;余弦定理的应用. 【专题】计算题. 【分析】方法一:可根据余弦定理直接求,但要注意边一定大于 0; 方法二:可根据正弦定理求出 sinB,进而求出 c,要注意判断角的范围. 【解答】解:解法一: (余弦定理)由 a2=b2+c2﹣2bccosA 得: 3=1+c2﹣2c×1×cos =1+c2﹣c,∴c2﹣c﹣2=0,∴c=2 或﹣1(舍) .

解法二: (正弦定理)由

=

,得:

=



∴sinB= , ∵b<a,∴B= ,从而 C= ,

∴c2=a2+b2=4,∴c=2. 【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用.在解三角形时一般就用这两个定理,要 熟练掌握.

9.已知 Sn 表示等差数列{an}的前 n 项和,且 A. B. C. D.

= ,那么

=(

)

【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题. 【分析】根据等差数列的性质若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,则有 am+an=ap+aq,再结合 等差数列的通项公式可得 a1=3d,利用基本量表示出所求进而可得答案. 【解答】解:由题意得 = ,

因为 在等差数列{an}中,若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,则有 am+an=ap+aq. 所以 ,即 a1=3d.

那么

=

=



故选 B. 【点评】 解决此类问题的关键熟练掌握等差数列的性质与等差数列的通项公式, 并且加以正 确的运算. 10. B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c, 在△ ABC 中, 角 A、 满足 acosA+bcosB=ccosC, 则△ ABC ) 为( A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 【考点】三角形的形状判断. 【专题】计算题;函数思想;综合法;解三角形. 【分析】根据题中的条件 acosA+bcosB=ccosC 通过正弦定理二倍角公式和三角形的内角和 公式,利用三角函数的和(差)角公式和诱导公式得到 2cosAcosB=0,得到 A 或 B 为 到答案即可. 【解答】解:∵acosA+bcosB=ccosC, 由正弦定理可得: sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC, 得

∴sin2A+sin2B=sin2C, 和差化积可得:2sin(A+B)cos(A﹣B)=2sinCcosC, ∴cos(A﹣B)=﹣cos(A+B) ,2cosAcosB=0, ∴cosA=0 或 cosB=0,得 A= ∴△ABC 是直角三角形. 故选:D. 【点评】考查学生三角函数中的恒等变换应用的能力.要灵活运用正弦定理、三角函数的和 (差)角公式和诱导公式. 11.已知数列{an}为等比数列,且 a4?a6=2a5,设等差数列{bn}的前 n 项和为 Sn,若 b5=2a5, ) 则 S9=( A.36 B.32 C.24 D.22 【考点】等差数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】由等比数列的性质可知, ,结合已知可求 a5,进而可求 b5,代入等 =9b5 可求 或 B= ,

差数列的求和公式 S9=

【解答】解:由等比数列的性质可知, ∴ ∴a5=2 ∴b5=2a5=4 则 S9= =9b5=36

故选 A 【点评】本题主要考查了等差数列的性质、求和公式及等比数列的性质的简单应用,属于基 础试题 12.若正项数列{an}满足 a1=2,an+12﹣3an+1an﹣4an2=0,则{an}的通项 an=( ) 2n﹣1 n 2n+1 2n﹣3 A.an=2 B.an=2 C.an=2 D.an=2 【考点】数列递推式. 【专题】计算题. 【分析】先考虑 an+12﹣3an+1an﹣4an2=0 分解转化,能得出(an+1﹣4an) (an+1+an)=0,继而 ,数列{an}是等比数列,由等比数列的通项公式解得.

【解答】解:由 an+12﹣3an+1an﹣4an2=0 得( (an+1﹣4an) (an+1+an)=0{an}是正项数列∴an+1 ﹣4an=0, ,由等比数列定义,数列{an}是以 2 为首项,以 4 为公比的等比数列.由

等比数列的通项公式得,an=2×4n﹣1=22n﹣1. 故选 A. 【点评】本题首先将给出的递推公式进行分解转化,数列{an}的属性豁然而出.解决不再是 难事. 二、填空题(本题共 4 个小题,每题 5 分,共计 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.在△ ABC 中,若 A:B:C=1:2:3,则 a:b:c=1: :2. 【考点】正弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】由三角形的内角和以及三个角的比例关系,求出三个角,利用正弦定理即可求出比 值. 【解答】解:∵A:B:C=1:2:3,A+B+C=180° ∴A=30°,B=60°,C=90°, ∴由正弦定理 ,

得:



∴a:b:c=1: :2 故答案为:1: :2. 【点评】此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键. 14.已知有穷等差数列{an}中,前四项的和为 124,后四项的和为 156,又各项和为 210,那 么此等差数列的项数为 6. 【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题. 【分析】 :由题意可得 a1+a2+a3+a4=12,并且 an+an﹣1+an﹣2+an﹣3=156,所以根据等差数列的 性质可得 a1+an=70,再结合等差数列的前 n 项和的表达式 【解答】解:由题意可得,a1+a2+a3+a4=124,…① 并且 an+an﹣1+an﹣2+an﹣3=156,…② 由等差数列的性质可知①+②可得:4(a1+an)=280, 所以 a1+an=70. 由等差数列的前 n 项和公式可得: 所以解得 n=6. 故答案为 6. =210, 可得答案.

【点评】本题主要考查了等差数列的性质,等差数列的前 n 项和公式的简单运用,属于对基 础知识的简单综合.

15.已知等比数列{an}的公比 q= ,且 a1+a3+…+a199=180,则 a2+a4+…+a200=60. 【考点】等比数列的性质;等比数列的前 n 项和. 【专题】转化思想;整体思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】利用 a2+a4+…+a200=q(a1+a3+…+a199)即可得出. 【解答】解:∵等比数列{an}的公比 q= ,且 a1+a3+…+a199=180, 则 a2+a4+…+a200=q(a1+a3+…+a199)= 180=60,

故答案为:60. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题.

16.已知等差数列{an}、{bn}前 n 项的和分别是 Sn、Tn,若 【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】把 转化为 求值.

=

,则

=



【解答】解:在等差数列{an}、{bn}中,由

=

,得

=

=

=



故答案为:



【点评】本题考查等差数列的前 n 项和,考查了等差数列的性质,是基础的计算题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤) 17.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 bcosC+ccosB=2b,则 =2. 【考点】正弦定理. 【专题】三角函数的求值. 【分析】已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简, 再利用正弦定理变形即可得到结果. 【解答】解:将 bcosC+ccosB=2b,利用正弦定理化简得:sinBcosC+sinCcosB=2sinB,

即 sin(B+C)=2sinB, ∵sin(B+C)=sinA, ∴sinA=2sinB, 利用正弦定理化简得:a=2b, 则 =2. 故答案为:2 【点评】此题考查了正弦定理,以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本 题的关键. 18.在等差数列{an}中,a1+a3+a5=﹣12,且 a1a3a5=80,求数列{an}的通项公式. 【考点】等差数列的性质. 【专题】方程思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d,∵a1+a3+a5=﹣12,且 a1a3a5=80, ∴ ,

解得 a3=﹣4,d=±3. ∴an=a3+(n﹣3)d=3n﹣13 或﹣3n+5. 因此 an=3n﹣13 或﹣3n+5. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

19.已知数列{an}满足 (1)当 时,求证{



, }是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式. 【考点】数列递推式;等比关系的确定. 【专题】计算题;转化思想;换元法;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)通过对 变形可知 an+1﹣ = (an﹣ ) ,利用 即得结论;

(2)通过(1)及等比数列的求和公式计算即得结论. 【解答】 (1)证明:∵ ∴an+1﹣ = (an﹣ ) , 又∵ , ,

∴an﹣ ≠0, ∴数列{ }是公比为 的等比数列;

(2)解:由 ∴an= + .

及(1)可知,an﹣ =( ﹣ )?

=



【点评】本题考查数列的通项,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积 累,属于中档题. 20.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 acosC+ ①求角 A 的大小; ②若 a=2,△ ABC 的面积为 ,求 b、c 的值. 【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数. 【专题】计算题;解三角形. 【分析】 (1)由正弦定理及两角和的正弦公式可得 sinAcosC+ (A+C)+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC,整理可求 A. asinC﹣b﹣c=0

sinAsinC=sinB+sinC=sin

(2)由(1)所求 A 及 S= bcsinA 可求 bc,然后由余弦定理,a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)
2

﹣2bc﹣2bccosA 可求 b+c,进而可求 b,c. 【解答】解: (1)∵acosC+ asinC﹣b﹣c=0, ∴sinAcosC+ sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0, ∴sinAcosC+ sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC, ∵sinC≠0, ∴ sinA﹣cosA=1, ∴sin(A﹣30°)= , ∴A﹣30°=30°, ∴A=60°, (2)由 S= bcsinA= ?bc=4,

由余弦定理可得,a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣2bc﹣2bccosA, 即 4=(b+c)2﹣3bc=(b+c)2﹣12, ∴b+c=4, 解得:b=c=2. 【点评】 本题综合考查了三角公式中的正弦定理、 余弦定理、 三角形的面积公式的综合应用, 诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础, 解题的关键是熟练掌握基本 公式. 21.已知等差数列{an}满足 a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= (n∈N) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;等差数列的性质. 【专题】计算题.

【分析】 (1)根据等差数列的两项之和的值,根据等差数列等差中项的性质得到 a6,根据 连续两项得到数列的公差,根据通项写出要求的第四项和数列的前 n 项和. (2)本题需要根据上一问的结果构造新数列,把第一问做出的通项代入,整理出结果,发 现这是一个裂项求和的问题,得到前 n 项和. 【解答】解(1)∵a3=7,a5+a7=26. ∴ ∴ ∴an=2n+1 sn= (2)由第一问可以看出 an=2n+1 ∴ , ,

= ∴Tn= .

【点评】本题考查等差数列的性质,考查数列的构造,解题的关键是看清新构造的数列是一 个用什么方法来求和的数列,注意选择应用合适的方法.

22.等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1, (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.



【考点】数列的求和;等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)利用条件 2a1+3a2=1, .求出首项和公差,然后求出通项公式.

(2)求出数列{bn}的通项公式,然后利用错位相减法求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 【解答】解: (1)设数列{an}的公比为 q,由 所以 , . . . 得 ,

由条件可知 q>0,故 由 2a1+3a2=1 得

故数列{an}的通项式为 an=

(2)

=n?3n, ,



两式相减得



所以



【点评】 本题主要考查等等比数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和, 要求熟练掌 握错位相减法.


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