两角和与差的余弦正弦正切公式第一课时-习与答案-数学高一必修4第三章三角恒等变换3.1.2人教A版


人教 A 版 第三章 3.1.2 第一课时

数学习题

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第三章

三角恒等变换

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的余弦正弦正切公式 测试题 知识点一:与差的余弦正弦
1. sin?α+30° ?-sin?α-30° ? 的值为( cos α B.2 C.3 ) D.4 )

A.1

π π 2 2 π 2.已知4<β<2,sin β= 3 ,则 sin(β+3)=( A.1 C. 2 2+ 3 6 B.2 D. 2 2- 3 6

3.(2014· 温州高一检测)在△ABC 中,若 sin B=2sin Acos C,那么△ABC 一定是( A.等腰直角三角形 C.直角三角形 B.等腰三角形 D.等边三角形 )

)

3 2 tan α 4.已知 sin(α+β)=5,sin(α-β)=-3,则tan β=( 1 A.15 1 C.19 2 B.5 1 D.-19

π? ? 5.(2014· 衡水高一检测)使函数 f(x)=sin(2x+φ)+ 3cos(2x+φ)为奇函数,且在区间?0,4? ? ? 上为减函数的 φ 的一个值为( π A.3 2π C. 3 6.求值: 5π B. 3 4π D. 3 )

sin 10° - 3cos 10° =________. cos 40°

π? 1 11 ? 7.(2014· 汕头高一检测)已知 cos α=7,cos(α+β)=-14,α、β∈?0,2?,则 β=________. ? ? 8.若 8sin α+5cos β=6,8cos α+5sin β=10,则 sin(α+β)=________. 第 1 页共 1 页

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π π π 15 9.已知:6<α<2,且 cos(α-6)=17,求 cos α,sin α 的值. π 3π 12 3 10.(2014· 青岛高一检测)已知2<β<α< 4 ,cos(α-β)=13,sin(α+β)=-5,求 sin 2α 的 值. sin?2α+β? sin β 11.求证: sin α -2cos(α+β)=sin α. π π 12.求函数 y=sin(x+3)+2sin(x-3)的单调增区间.

知识点 2

两角和与差的正切公式
1-tan α π =2+ 3,则 tan(4+α)的值为( 1+tan α B.1 D. 3 ) )

13.(2014· 无锡高一检测)已知 A.2+ 3 C.2- 3

14.已知 tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,则 tan αtan β 等于( 1 A.2 1 C.4 1 B.3 1 D.5 )

3π 15.已知 α+β= 4 ,则(1-tan α)(1-tan β)=( A.1 C.3 B.2 D.4

π? 3 2 1 ? 16.(2014· 沈阳高一检测)已知 β∈?0,2?,满足 tan(α+β)= 4 ,sin β=3,则 tan α=( ? ? 2 A. 3 4 2 B. 11 3 2 C. 11 3 2 D. 4 )

)

17.(2014· 昆明高一检测)若 tan Atan B=tan A+tan B+1,则 cos(A+B)的值为( 2 A.- 2 2 C.± 2 2 B. 2 1 D.± 2

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2 π 1 π 18.设 tan(α+β)=5,tan(β-4)=4,则 tan(α+4)的值是________. 3 19.已知 tan(α+β)=7,tan α=4,且 β∈(0,π),则 β 的值为________. 20.(2014· 新洲高一检测)在△ABC 中,tan A+tan B+tan C=3 3,tan2B=tan A· tan C,则 B =________. π π 21.已知 tan(12+α)= 2,tan(β-3)=2 2, π (1)求 tan(α+β- )的值; 4 (2)求 tan(α+β)的值. π π 22..已知 tan α,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两个根,且 α,β∈(-2,2),求 α+β 的值.

【参考答案】 1.【解析】 原式 = = sin αcos 30° +cos αsin 30° -sin αcos 30° +cos αsin 30° cos α 2cos αsin 30° =2sin 30° =1. cos α

【答案】 A π π 2.【解析】 ∵4<β<2,∴cos β= 1-sin2β= 2 2 1 1-? 3 ?2=3,

π 1 3 1 2 2 3 1 2 2+ 3 ∴sin(β+3=2sin β+ 2 cos β=2× 3 + 2 ×3= . 6 【答案】 C 3.【解析】 在△ABC 中,因为 sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C =2sin Acos C,所以 sin Acos C-cos Asin C=0,即 sin(A-C)=0,因为 0<A<π,0<C<π, 所以-π<A-C<π,所以 A-C=0,即 A=C,所以△ABC 一定是等腰三角形,故选 B. 【答案】 B 3 2 3 4.【解析】 由已知 sin(α+β)=5,sin(α-β)=-3,得 sin αcos β+cos αsin β=5,sin αcos 第 3 页共 3 页

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2 1 19 tan α sin αcos β β-cos αsin β=-3, 两式分别相加减得 sin αcos β=-30, cos αsin β=30, 所以tan β=cos αsin β 1 = 19 =-19,故选 D. 30 【答案】 D 5. 【 解 析 】 ?1 ? 3 f(x) = sin(2x + φ) + 3 cos(2x + φ) = 2 ? sin?2x+φ?+ cos?2x+φ?? = 2 ?2 ? 1 -30

π π? π? π ? ? 2?sin?2x+φ?cos3+cos?2x+φ?sin3?=2sin?2x+φ+3?为奇函数,所以 φ+3=kπ(k∈Z),所以 φ ? ? ? ? π? π π ? =kπ-3(k∈Z),排除 A 和 D;因为 f(x)=2sin?2x+φ+3?在区间[0,4]上为减函数,又 2x+φ ? ? π? π ? + =2x+kπ∈?kπ,kπ+2?,所以 k 为奇数,故选 C. 3 ? ? 【答案】 C 6.【解析】 sin 10° - 3cos 10° cos 40°

1 3 2?2sin 10° - 2 cos 10° ? = cos 40° = 2sin?10° -60° ? -2sin 50° cos 40° = cos 40° =-2.

【答案】 -2 1 ?π ? 1+tan α 7.∴tan?4+α?= = =2- 3. ? ? 1-tan α 2+ 3 【答案】 C 8.【解析】 由 8sin α+5cos β=6,两边平方, 得 64sin2α+80sin αcos β+25cos2β=36.① 由 8cos α+5sin β=10,两边平方, 得 64cos2α+80 cos α sin β+25sin2β=100.② ①+②,得 64+25+80(sin αcos β+cos αsin β)=136. 47 ∴sin(α+β)=80.

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47 【答案】 80 π π π π 9.【解】 因为6<α<2,所以 0<α-6<3. π 15 因为 cos(α-6)=17, π 所以 sin(α-6)= π 8 1-cos2?α-6?=17.

π π 所以 sin α=sin[(α-6)+6] π π π π =sin(α-6)cos 6+cos(α-6)sin 6 = 8 3+15 34 ,

π π cos α=cos[(α-6)+6] π π π π =cos(α-6)cos 6-sin(α-6)sin 6 = 15 3-8 34 .

π 3π 10.【解】 因为2<β<α< 4 , 3π π 所以 π<α+β< 2 ,0<α-β<4. 所以 sin(α-β)= 1-cos2?α-β? = 5 ?12? 1-?13?2=13. ? ?

cos(α+β)=- 1-sin2?α+β? =- 4 ? 3? 1-?-5?2=-5. ? ?

则 sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)] =sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β) 56 ? 3? 12 ? 4? 5 =?-5?× +?-5?× =- . 65 ? ? 13 ? ? 13 11.【证明】 ∵左边= sin?2α+β?-2cos?α+β?sin α sin α 第 5 页共 5 页

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= =


sin[?α+β?+α]-2cos?α+β?sin α sin α sin?α+β?cos α-cos?α+β?sin α sin α

sin[?α+β?-α] sin β = =右边.∴原等式得证. sin α sin α

π π π π 12.【解】 y=sin xcos3+cos xsin3+2(sin xcos3-cos xsin3) 3 3 3 1 =2sin x- 2 cos x= 3( 2 sin x-2cos x) π = 3sin(x-6). π π π π 2π 由-2+2kπ≤x-6≤2+2kπ,得-3+2kπ≤x≤ 3 +2kπ(k∈Z). π 2π 所以函数 y 的单调增区间为[-3+2kπ, 3 +2kπ](k∈Z). 1-tan α =2+ 3. 1+tan α

13.【解析】 ∵

4 3 5 3 14.【解析】 由题意得:sin α= 7 ,sin(α+β)= 14 ,所以 cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α 11 1 5 3 4 3 1 π +β)cos α+sin(α+β)sin α=-14×7+ 14 × 7 =2,所以 β=3. π 【答案】 3 15.【解析】 tan(α+β)= tan α+tan β 3π =tan 4 =-1,所以 tan α+tan β=-1+tan αtan β, 1-tan αtan β

从而(1-tan α)(1-tan β)=1-(tan α+tan β)+tan αtan β=1-(-1+tan αtan β)+tan αtan β=2. 【答案】 B π? 1 2 2 1 2 ? 16.【解析】 因为 β∈?0,2?,sin β=3,所以 cos β= 3 ,所以 tan β= = 4 ,又因 ? ? 2 2 tan?α+β?-tan β 3 2 为 tan(α+β)= 4 ,所以 tan α=tan[(α+β)-β]= = 1+tan?α+β?tan β B. 第 6 页共 6 页 3 2 2 4 -4 4 2 = 11 ,故选 3 2 2 1+ 4 × 4

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【答案】 B 18.【解析】 ∵tan(A+B)= tan A+tan B ,且 tan A· tan B=tan A+tan B+1.∴tan(A+B) 1-tan Atan B

2 =-1,∴cos(A+B)=± 2 ,故选 C. 【答案】 C π π 19.【解析】 ∵α+4=(α+β)-(β-4). 2 1 3 - 5 4 20 3 π ∴tan(α+4)= = 2 1 22=22. 1+5×4 20 3 【答案】 22 tan?α+β?-tan α = 1+tan?α+β?tan α 3 7-4

20.【解析】 tan β=tan[(α+β)-α]=

3=1,又 β∈(0,π),所 1+7×4

π 以 β=4. π 【答案】 4 21.【解析】 tan B=-tan(A+C)=- tan A+tan C 3 3-tan B =- ,所以 tan3B=3 3, 1-tan Atan C 1-tan2B

π 所以 tan B= 3,又因为 B 为三角形的内角,所以 B=3. π 【答案】 3 π π π 22.【解】 (1)tan(α+β-4)=tan[(12+α)+(β-3)] 2+2 2 = =- 2. π π 1- 2· 2 2 1-tan?12+α?· tan?β-3? π π tan?12+α?+tan?β-3?



π π (2)tan(α+β)=tan[(α+β-4)+4]

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π π tan?α+β-4?+tan 4 - 2+1 = π π=1-?- 2?×1 1-tan?α+β-4?· tan 4 =2 2-3. ?tan α+tan β=-3 3 23.【解】 由题意,有? , ?tan αtan β=4 π π tan α<0 且 tan β<0.又因为 α,β∈(-2,2), π 所以 α,β∈(-2,0),α+β∈(-π,0). 又因为 tan(α+β)= tan α+tan β -3 3 = = 3. 1-tan αtan β 1-4

2π 在(-π,0)内,正切值为 3的角只有- 3 , 2π 所以 α+β=- 3 .

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