第三章 直线与方程


3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角:①定义:某直线与 x 轴相交,以 x 轴为基准,x 轴正向与直线向上方向之间所成的角。 ②范围:0°≤α <180° ③注意:⑴每一直线都有唯一倾斜角与之对应 ⑵相同的倾斜角对应直线并不唯一 ⑶确定一条直线的位置要有一个定点以及它的倾斜角作为已知因素。 2.直线的斜率:①定义:倾斜角非 90°的直线的倾斜角的正切值为这条直线的斜率,用 k 表示,即 k=tanα ②过两点的直线的斜率公式:k=(y2-y1)/(x2-x1) 【注:x1≠x2】 ③注意:⑴倾斜角是 90°的直线没有斜率。 ⑵倾斜角与斜率的关系如右: ⑶特殊角与斜率的对应关系:

第 3 章 直线与方程

3.当 k<0(成钝角)时,求直线斜率,用公式:tan(180°-α )= - tanα 4.利用斜率证明多点共线(或用多点共线求斜率)步骤如右图:

3.1.2 两条直线平行于垂直的判定 1.两条直线平行的条件:对于两条不重合的直线,其斜率分别为 k1,k2,即:l1∥l2?k1=k2 [注意:两直线平行的条件是:不重合、有斜率且相等(注意千万不要忽略直线斜率不存在的情况)] 2.两条直线垂直的条件:对于两条有斜率的直线,若垂直则斜率乘积为-1,反之,斜率乘积为-1 则两线垂直。 即:l1⊥l2 ? k1k2 = -1 【注意:两直线垂直的条件是:不重合,有斜率且乘积为-1】

3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程 1.直线的点斜式方程:已知直线 l 经过点 P0(x0,y0) ,且斜率为 k,则直线 l 的方程为:y-y0=k(x-x0) y-y0 【注:点斜式即通过直线的一点及斜率求直线,且 =k 与 y-y0=k(x-x0)是不同的,前者表示直线上缺一个 x-x0 点 P0(x0,y0) ,后者才是整条直线,故问题求到点斜式方程式要保留原来形式,代数后一字一符都不改动, 斜率不存在时,不能用点斜式】 2.直线的斜截式方程:已知直线 l 的斜率为 k,且在 y 轴上截距为 b,则方程为:y-b=k(x-0)[原式] 一般我们用 y=kx+b 来表示,k=0 时,非一次函数,k≠0 时,问题求的话用一次函数形式即可。 【注:截距是直线与 y 轴的交点的纵坐标,是一个具体的数而非一个点,该数值可正可负可零。斜率不存在时 不能用斜截式】 3.直线的两点式方程:已知直线 l 过两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,当 x1≠x2 时,y1≠y2 时,直线 l 的方程 为:

y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1

【注:两点式即知直线两点求直线方程,这同于求一次函数,但是,若题目明确写出要求两点式方程,则代数 进式后不得改动一字一符,不能用一次函数式表示,能先求一次函数式后变形,但麻烦,不提倡,当直线无 斜率或斜率为 0 时,不能用两点式方程。 】

4.直线的截距式方程:已知直线 l 过点 A(a,0) ,B(0,b)(a,b 均≠0),其中 a 是直线与 x 轴的交点的横坐 标,叫做直线在 x 轴上的截距,则直线 l 的方程为:

x y + =1 a b

【注:截距式即直线在两坐标轴的截距确定的直线,当斜率为 0 或无斜率,或过原点时,该直线不能用截距式 求,切记若题目明确写出要求截距式方程,则代数进式后不得改动一字一符,包括即使时减一个数也要写成 加一个负数,且和为 1 而不是 0。在解决与面积有关的问题时十分方便。 】 5.中点坐标公式: 求某线段的中点时, 只要知道两端点坐标则可求, 公式为: 坐标为 x

x1+x2 y1+y2 , 坐标为 y 。 2 2

6.上述各式的个别解题方法或步骤: ①点斜式:判断斜率是否存在,并求出存在时斜率→→→在直线上找一点,并求出其坐标。 【注:要注意其逆向运用,即由方程知直线过定点 P(x0,y0) ,且斜率为 k。 】 ②截距式:在做普通截距式方程问题时,应注意截距的情况,考虑直线能否过原点或能否垂直坐标轴,并注意 逆向运用,若遇到抽象截距式方程问题时,一定要记得分类讨论截距不为零及截距等于零两种情况, 。 3.2.3 直线的一般式方程 1.定义:关于 x,y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(其中 A,B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程。 2.解直线一般式方程问题的方法: ①把特殊形式的直线方程化为一般式方程,只需去分母,移项即可。 ②把直线一般式方程化为截距式方程和斜截式方程的方法: 斜截式:当 B≠0 时,y = -

A C x B B

截距式:当 ABC≠0 时,

③直线一般式方程的平行直线系方程为:Ax+By+m=0(m≠C) ,当 m=C 时,Ax+By+m=0 与 Ax+By+C=0 重合。 ④直线一般式方程的垂直直线系方程为:Bx-Ay+m=0(A、B 不同时为 0) 3.解直线方程的综合应用问题,如: ★过某点作直线交两坐标轴正向于两点,求使交点与原点构成的三角形面积的最值时直线方程 步骤:①设直线方程为点斜式方程 ②通过点斜式方程得两交点坐标(用斜率表示) ③通过题意知为正截距,则可知斜率范围 ④通过三角形面积计算公式进行计算得出等量关系 ⑤通过等量关系,构造完全平方公式,一元二次方程等,得出 k 的最值(注意 k 的范围,取正负) ⑥最后把 k 代入列出的点斜式方程中后,得两交点坐标再进行三角形面积计算即可。

3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标 1.关于两条直线的交点:根据数形结合思想,两直线分别构成两条方程,合并为一个方程组,则该方程组的解 就是两直线的交点坐标,根据解的情况、公共点个数及直线位置关系总结如下表所示: 直线方程组的解 两直线公共点个数 两直线位置关系 一组 一个 相交 无数组 无数个 重合 无解 零个 平行 A1 B1 C1 ③ == == ?L1 与 L2 重合 A2 B2 C2

2.关于两直线的位置关系结论(通过两直线方程判断两直线位置关系): ① A1 B1 ≠ ?L1 与 L2 相交 A2 B2 A1 B1 C1 ② == ≠ ?L1∥L2 A2 B2 C2

▲3.过两条直线交点的直线系方程:①含义:在两直线方程中加入未知参数,得到具有与原方程相同属性的一 类直线集合,称为直线系方程。 ②表达式:A1x +B1y + C1 +λ · 2x + B2y + C2)== 0(λ 为参数) (A

【注:直线系方程补充点:①垂直于直线 Ax+By+C=0 的直线系方程为:Bx-Ay+λ =0(λ 为参数) ②平行于直线 Ax+By+C=0 的直线系方程为:Ax+By+λ =0(λ 为参数,λ ≠C) 3.3.2 两点间的距离 1.两点间的距离公式: 1P2︱= (x1-x2)?+(y1-y2)? 【注:关于原点(0,0)与任一点的距离︱OP︱== x?+y? 】 ︱P 2.关于解析法(坐标法) : ①含义:利用代数(坐标)的方法解决几何问题,用以解决一些单靠代数难以解决的问题。 ②结构框图(如右) : ③注意事项:㈠尽可能利用对称 ㈡尽可能使较多点落到坐标轴(原点)上,以减少参数 ㈢按以下方法建立坐标系能“避繁就简” : ①条件中只出现一定点,以定点为原点建立。 ②已知两定点,则以其所在直线中点为原点,直线为 x 轴建立。 ③已知两互垂的直线,则以其为坐标轴建立 ④已知一定点一线,以点垂线的中点为原点,点垂线所在直线为 x 轴建立。 ⑤已知定角则以其顶点为原点,定角平分线为 x 轴建立。 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两平行直线间的距离 1.点到直线的距离:平面上任意一点 P 到直线 l:Ax+By+C=0(其中 A,B 不同时为 0)的距离为 d == 【注:点到直线距离的公式只适用于直线的一般式方程,若不是须先化,点在直线上则距离为零】 2.两平行直线间的距离:一般地,两条平行直线 L1:Ax+By+C1=0 L2:Ax+By+C2=0(其中 A,B 不同时为 0,C1≠C2) 【注:两直线方程均须为一般式,且系数 A、B 要相等,而非对应成比例,若比例同,数不同,要化成同系数。 】 d= ︱C1-C2︱ A?+B?

本章注意点
1.关于对称问题: ⑴中心对称:①两点关于点对称:则已知一点与对称点的坐标后,用中点公式变换求对称点。 ②两线关于点对称:两线平行且一线上任一点关于对称点对称的点在另一线上并到对称点距离相等。 ⑵ 轴对称: ①两点关于线对称:则两点成线垂直该线,且所成线中点在该线上,依据“垂直平分”列方程。 ②两线关于线对称:㈠三线共点时,某线上一点到其余两线距离相等,且其二线上的点关于该线对 ㈡三线平行时,某线到其余两线距离相等。 2.关于某些问题的思路开拓: ⑴利用数形结合解选择题。 ⑵用斜率巧解有关问题:①比较大小 ②求函数式的最值 ③证明不等式


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