等比数列求和教案


2.5 等比数列的前 n 项和 (一)教学目标 1、 知识与技能:掌握等比数列的前 n 项和公式,并用公式解决实际问题 2、 过程与方法:由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 n 项和公式 3、 情态与价值:从“错位相减法”这种算法中,体会“消除差别” ,培养化简的能力 (二)教学重、难点 重点:使学生掌握等比数列的前 n 项和公式,用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题 难点:由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 n 项和公式 (三)学法与教学用具 学法:由等比数列的结构特点推导出前 n 项和公式,从而利用公式解决实际问题 教学用具:投影仪 (四)教学设想 教材开头的问题可以转化成求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 64 项的和.类似于等差 数列,我们有必要探讨等比数列的前 n 项和公式。 一般地,对于等比数列 a1,a2,a3,. an,.. .., . 它的前 n 项和是 Sn= a1+a2+a3+..+an . 2 n-1 由等比数列的通项公式,上式可以写 Sn= a1+a1q + a1q +..+a1q . ① 2 n-1 n ① 式两边同乘以公比 q 得 qSn= a1q+ a1q +.. 1q + a1q .+a ② ①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得 n (1-q)Sn= a1-a1q 当q≠1时,Sn=

a1 (1 ? q n ) 1? q

(q≠1)

又 an =a1q

n-1

所以上式也可写成 Sn=

a1 ? a n q 1? q

(q≠1)

推导出等比数列的前 n 项和公式,本节开头的问题就可以解决了 [相关问题] ①当 q=1 时,等比数列的前 n 项和公式为 Sn=na1 ② 公式可变形为 Sn=

a1 (1 ? q n ) a1 ( q n ? 1) 1? q
=

q ?1

(思考 q>1 和 q<1 时分别使用哪个方便)

③ 如果已知 a1, an,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个 [例题分析] 例 1 求下列等比数列前 8 项的和: (1)

1 2

,

1

,

1

,.. .;(2) a1=27, a9=

1 243

,q<0

4 8

评注:第(2)题已知 a1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得 公比 q,题设中要求 q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生 q 既可以为正数,又 可以为负数. 例2 某商场今年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%, 那么从今年起,大约几年可使总销售量达到 30000 台(结果保留到个位)? 评注:先根据等比数列的前 n 项和公式列方程,再用对数的知识解方程 [随堂练习]第 66 页第 1.2.3 题

[课堂小结] (1) 等比数列的前 n 项和公式中要求 q≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子 (2) 如果已知 a1, an,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个 《等比数列的前 n 项和》教学案例设计 一、设计思想 1、 设计理念 本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑, 坚持面向全体学生, 努 力设计“适合学生发展得数学教育”, 体现“人人学数学”“不同的人学不同的数学”的 , 理念。教学中强调“培养学生情感、态度与价值观”的重要性,注重引导学生主动地进行探 索,从而帮助学生树立正确的数学观,但又与教师的设计问题与活动的引导密切结合,强调 “活动”的内化, 即在头脑中实现必要的重构或认知结构的重组, 从而引起真正的数学思维, 提高思维的效益。 通过联系学生的生活实际使其真正感到数学是有意义的, 一方面培养学生 的社会意识,明确肯定“日常数学”的合理性等,另一方面,再调动学生生活经验的同时, 又应努力帮助他们清楚地去熟悉生活经验并上升到“学校数学”的必要性。 2、 设计背景 传统的数学作业单调枯燥,脱离生活和学生实际,不利于学生个性和能力的发展。在新课程 标准的理念下,重新认识作业的意义和价值,突破传统,改变现状,树立正确的作业观,创 新作业方式,激发兴趣,发展学生数学素质,既注重基础知识的巩固,更要注重学生思维和 能力的发展, 既要创新又要保证其科学有效, 使学生在做作业的过程中体验快乐、 形成能力、 学会合作、体验自主。 3、 教材的地位与作用 本节教材在学生学习过等比数列的概念与性质的基础上, 学习等比数列 n 前项和公式, 能用 等比数列的前 n 项和公式解决相关求和问题。 探索公式的推导、 体会错位相减法以及分类讨 论的思想方法。本节内容基础知识和基本技能非常重要,涉及的数学思想、方法较为丰富, 因此是重点内容之一。本设计是第一课时的教学内容。 二、学习目标 ⑴知识与技能 掌握等比数列的前 n 项和公式,能用等比数列的前 n 项和公式解决相关问题。 ⑵过程与方法 通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程,体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。 ⑶情感、态度与价值观 通过对等比数列的学习,发展数学应用意识,逐步认识数学的科学价值、应用价值,发展数 学的理性思维。 教学重点 掌握等比数列的前 n 项和公式,能用等比数列的前 n 项和公式解决相关问题。 教学难点 错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。 三、教学设想: 本节课采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发引导下,以学生独立自主 和合作交流为前提, 以“正弦定理的发现”为基本探究内容, 以四周世界和生活实际为参照 对象,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会,让学生通过个人、小组、 集体等多种解难释疑的尝试活动, 将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。 让 学生在“活动”中学习,在“主动”中发展,在“合作”中增知,在“探究”中创新。设计 思路如下:

四、教学过程 (一) 创设问题情景 课前给出复习:等比数列的定义及性质 课首给出引例:“ 一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意,哪知富人一口答应了 下来,但提出了如下条件: 30 天中, 在 富人第一天借给穷人 1 万元,第二天借给穷人 2 万元, 以后每天所借的钱数都比上一天多 1 万;但借钱第一天,穷人还 1 分钱,第二天还 2 分钱,以后 每天所还的钱数都是上一天的两倍,30 天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但 又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷 人能否向富人借钱? [设计一个学生比较感爱好的实际问题,吸引学生注重力,使其马上进入到研究者的角色中 来!] (二) 启发引导学生数学地观察问题,构建数学模型。 学生直觉认为穷人可以向富人借钱,教师引导学生自主探求,得出: 穷人 30 天借到的钱: S 30 ? 1 ? 2 ? ? ? 30 ?
'

(1 ? 30 ) ? 30 2
??

? 465 (万元)

穷人需要还的钱: S 30 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

29

[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!] 教师紧接着把如何求 S 30 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 29

? ?的问题让学生探究,

S 30 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 29

①若用公比 2 乘以上面等式的两边,得到

2 S 30 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 29 ? 2 30 ②
若②式减去①式,可以消去相同的项,得到:

S 30 ? 2 30 ? 1 ? 1073741823 (分) ≈1073(万元) > 465(万元)
答案:穷人不能向富人借钱 (三)引导学生用“特例到一般”的研究方法,猜想数学规律。 提出问题:如何推导等比数列前 n 项和公式?(学生很自然地模仿以上方法推导)

S n ? a1 ? a1 q ? a1 q 2 ? ? ? a1 q n ? 2 ? a1 q n ?1 (1) qS n ? a1 q ? a1 q 2 ? ? ? a1 q n ?1 ? a1 q n ( 2) (1)-(2)有 (1 ? q ) S n ? a1 ? a1 q n

q ?1 ? na1 , ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? ? 1? q 1? q ?

,

q ?1

推导等比数列前 n 项和 S n 的公式,教师引导讲完课本上的推导方法后, 教师:还有没有其他推导方法?(经过几分钟的思考,有学生举手发言) 学生 A: ?
a2 a1 ? a3 a2 ??? an a n ?1 ?q

?

a 2 ? a3 ? ? ? a n a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1

?q



s n ? a1 sn ? an
学生 B:

? q ? s n ? a1 ? a n q ( q ? 1)
1? q


s n ? a1 ? a1 q ? ? ? a1 q n ? 2 ? a1 q n ?1
? a1 ? q a1 ? a1 q ? ? ? a1 q n ? 2 ? a1 ? qs n ?1 ? a1 ? q ?s n ? a n ? ? a1 ? qs n ? a n q
? sn ? qsn ? a1 ? an q ? s n
? a1 ? a n q ( q ? 1) 1? q

?

?

[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路! 教师让学生进行各种尝试, 探寻公式的推导的方法, 同时抓住机会或创设问题情景调动了学 生参与问题讨论的积极性,培养学生的探究能力,发挥了组织者、推进者和指导者的作用, 而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者!让学生享受成功的喜悦! ] 【基础知识形成性练习: 】 1、 求下列等比数列的各项和: (1)1,3,9,?,2187 (2) 1,?

1 1 1 1 , ,? , ? ,? 2 4 8 512

2、根据下列条件求等比数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ① a1 ? 2, q ? 2, n ? 8 ② a1 ? 8, q ? 2, a n ?

1 2

(四)数学应用 例 1 求等比数列 1/2,1/4,1/8??的 (1) 前 8 项的和; (2) 第四项到第八项的和

) 2 n ? 255 解 : (1) ? a1 ? , q ? 1 2 2 256 1? 2 1 1 (1 ? 5 ) 1 3 2 ? 31 (2)? a 4 ? a1 q ? , n ? 5 ? S ' ? 16 1 16 256 1? 2
1 1 , n ? 8 ? S8 ? 2
例 2:在等比数列 ?a n ? 中, (1)已知 (2)已知

1

(1 ?

1

a1 ? ?4, q ? 2, 求 S n

a1 ? 1, a k ? 243 , q ? 2 求 S k

例 3:在等比数列 ?a n ? 中, S 3 ?

7 2

, S6 ?

63 2

求 an

[例 1 教师板演示范,强调解题的规范。例 2、例 3 学生分析解法,学生不会时要分析出不 会做的症结所在,然后再由学生板演出解题过程。] 【演练反馈巩固性练习: 】 1)在等比数列 ?a n ? 中, ①已知 a1 ? ?1.5, a 7 ? ?96 ,求 q 和 S n ②已知 a 3 ? 4, S 3 ? 12 , 求 q 和 a 1 2)求数列 1 ? a ? a ? a ? ? a
2 3 n ?1

? ? ( a ? 0) 的前 n 项和。

[允许学生对不会做的题目可以不做,只要分析出不会做的症结所在,就算完成了作业。然 后老师给出评价] (五) 课堂小结 等差数列 求和公式 推导方法 公式应用 [由学生对照等差数列求和总结出本节课所学内容] (六)布置作业 1、 根据下列条件,求等比数列 ? a n 等比数列

? 的前 n 项和 S n
②:

①:

a1 ? 3, q ? 2, n ? 6

a1 ? 8, q ?

1 2

, an ?

1 2

③: a 2

? 0.12 , a 5 ? 0.00096 , n ? 4

④:

a1 ? a 3 ? 10 , a 4 ? a 6 ?

5 4

,

2、 在等比数列 ①:已知

? a n ? 中,
,求

a1 ? 2, S 3 ? 26 ,求 q 和 S n
? 30 , S 3 ? 115

②:已知 S 2

Sn

3、在等比数列 ? a n 4、求和: S n

? 中,已知 S n ? 48 , S 2 n ? 60 ,求 S 3 n

? 1 ? 3 x ? 5 x 2 ? ? ? ( 2 n ? 1) x n ?1 ( x ? 0)

[作业要求:允许学生对不会做的题目可以不做,只要分析出不会做的症结所在,就算完成 了作业。]


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