2015-2016学宁夏育才中学年高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016 学年宁夏育才中学高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.若 f(x)= 则 f[f(2)]=( )

A.4 B.3 C.2 D.1 2.设全集 U=R,A={x|x(x﹣2)<0},B={x|y=ln(1﹣x)},则 A∩(?UB)是 ( A. B.[1,2) C. (﹣2,1) (﹣2,1] D. (1,2) 3.命题“存在 x0∈R,2 A.不存在 x0∈R,2 ≤0”的否定是( >0 ) ≥0



B.存在 x0∈R,2

C.对任意的 x∈R,2x≤0 D.对任意的 x∈R,2x>0 4.下列函数中,在定义域内是减函数的是( ) A.f(x)=﹣ B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)=﹣tanx )

5.函数 f(x)=x3+4x+5 的图象在 x=1 处的切线在 x 轴上的截距为( A.10 B.5 C.﹣1 D.

6.“x>2”是“x2﹣3x+2>0”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,对 x∈R,都有 f(2+x)=f(2﹣x) ,当 f(﹣3) =﹣2 时,f A.﹣2 B.2 C.﹣4 D.4 8.函数 f(x)=|x﹣2|﹣lnx 在定义域内零点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 9.函数 f(x)=ln|x﹣1|的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

10.已知

,b=logπ3,

,则 a,b,c 的大小关系是(
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A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.b<a<c 11.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若 f(x)的最小正周期为 3,且 f(1)>1,f (2)= A.﹣1<m< ,则 m 的取值范围是( B.m< ) D.m> 或 m<﹣1

C.m< 且 m≠﹣1

12.已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M, 使得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合: ①M={ };

②M={(x,y)|y=sinx+1}; ③M={(x,y)|y=log2x}; ④M={(x,y)|y=ex﹣2}. 其中是“垂直对点集”的序号是( ) A.①② B.②③ C.①④

D.②④

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填写在答题卡中横线上. ) 13.函数 y=ln(1+x)+ 14.不等式 3
x 2 ? 2 x?4

的定义域为 .



1 ? 的解集为 3

15.偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,f(3)=3,则 f(﹣1)= 16.函数 f(x)=x2+3xf′(1) ,在点(2,f(2) )处的切线方程为

. .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. ) 2 2 17.已知 p:x +mx+1=0 有两个不相等的负实根,q:方程 4x +4(m﹣2)x+1=0 无实根,求: 当 p 或 q 为真时 m 的取值范围. 18.已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=6cosθ,曲线 C2 的极坐标方程为 θ= C1,C2 相交于 A,B 两点. (Ⅰ)把曲线 C1,C2 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (Ⅱ)求弦 AB 的长度. 19.在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1: (θ 为参数) ,以平面直角坐标系 (p∈R) ,曲线

xOy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l: ρ(2cosθ﹣sinθ)=6. (1)将曲线 C1 上的所有点的横坐标伸长为原来的 倍,纵坐标伸长为原来的 2 倍后得到 曲线 C2,试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程; (2)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值. 20.已知函数 f(x)=x2﹣2|x|+3. (1)求函数 f(x)的单调区间和值域; (2)若方程 f(x)=k 有四个解,求实数 k 的取值范围. 21.函数 f(x)= 是定义在(﹣1,1)的奇函数,且 f( )= .
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(1)确定 f(x)的解析式; (2)判断函数在(﹣1,1)上的单调性; (3)解不等式 f(t﹣1)+f(t)<0. 22.已知函数 f(x)=(log2x﹣2) (log4x﹣ ) (1)当 x∈[2,4]时,求该函数的值域; (2)若 f(x)>mlog2x 对于 x∈[4,16]恒成立,求 m 的取值范围.

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2015-2016 学年宁夏育才中学高二 (下) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.若 f(x)= A.4 B.3 C.2 D.1 则 f[f(2)]=( )

【考点】函数的值. 【分析】根据分段函数的表达式,即可得到结论. 【解答】解:由函数的表达式可知,f(2)=23=8,f(8)=log28=3, 故 f[f(2)]=3, 故选:B 2.设全集 U=R,A={x|x(x﹣2)<0},B={x|y=ln(1﹣x)},则 A∩(?UB)是 ( A. B.[1,2) C. (﹣2,1) (﹣2,1] D. (1,2) )

【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】此题考查的是集合的交并补运算问题,在解答的时,应先将集合的元素具体化,然 后再逐一进行交并补运算即可获得解答结果. 【解答】解:由题意可知: ∵x(x﹣2)<0 ∴0<x<2,∴A={x|x(x﹣2)<0}={x|0<x<2}, ∵B={x|y=ln(1﹣x)}={x|x<1}, ∴CuB={x|x≥1} 又∵A={x|0<x<2},∴A∩CUB=[1,2) 故选 B.

3.命题“存在 x0∈R,2 A.不存在 x0∈R,2

≤0”的否定是( >0

) ≥0

B.存在 x0∈R,2

C.对任意的 x∈R,2x≤0 D.对任意的 x∈R,2x>0 【考点】特称命题;命题的否定. 【分析】根据特称命题的否定是全称命题,直接写出该命题的否定命题即可. 【解答】解:根据特称命题的否定是全称命题,得; 命题“存在 x0∈R,2 ≤0”的否定是

“对任意的 x∈R,都有 2x>0”. 故选:D.
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4.下列函数中,在定义域内是减函数的是( A.f(x)=﹣ B.f(x)= C.f(x)=

) D.f(x)=﹣tanx

【考点】函数单调性的判断与证明. 【分析】利用函数的单调性的定义及其判定方法即可得出. 【解答】解:在定义域内是增函数的是:f(x)= ;在定义域内不具有单调性的是:f(x) =﹣ ,f(x)=﹣tanx. 由于 y=2x﹣1 在 R 上单调递增,因此只有 f(x)= 故选:C. 5.函数 f(x)=x3+4x+5 的图象在 x=1 处的切线在 x 轴上的截距为( A.10 B.5 C.﹣1 D. ) 在定义域内是减函数.

【考点】导数的几何意义. 【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值, 由此求得切线的斜率值,再根据 x=1 求得切点的坐标,最后结合直线的方程求出切线在 x 轴上的截距即得. 【解答】解:∵f(x)=x3+4x+5,∴f′(x)=3x2+4, ∴f′(1)=7,即切线的斜率为 7, 又 f(1)=10,故切点坐标(1,10) , ∴切线的方程为:y﹣10=7(x﹣1) ,当 y=0 时,x=﹣ , 切线在 x 轴上的截距为﹣ , 故选 D. 6.“x>2”是“x2﹣3x+2>0”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】充要条件. 【分析】先解不等式化简后者;判断前者和后者对应的集合的包含关系;利用集合的包含关 系判断出前者是后者的什么条件. 【解答】解:∵x2﹣3x+2>0?x>2 或 x<1 ∵{x|x>2}?{x|x>2 或 x<1} ∴“x>2”是“x2﹣3x+2>0”成立的充分不必要条件 故选 A 7.已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,对 x∈R,都有 f(2+x)=f(2﹣x) ,当 f(﹣3) =﹣2 时,f A.﹣2 B.2 C.﹣4 D.4 【考点】抽象函数及其应用.
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【分析】由 f(x)是偶函数,且 f(2+x)=f(2﹣x) ,可得 f(x)是以 4 为周期的函数;利 用 f(﹣3)计算出 f 是 R 上的偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) ; 又对 x∈R 都有 f(2+x)=f(2﹣x) , ∴f(2+(x﹣2) )=f(2﹣(x﹣2) ) , f(x)=f(4﹣x) ; ∴f(﹣x)=f(4+x) , ∴f(x)=f(4+x) , ∴f(x)是以 4 为周期的函数; 当 f(﹣3)=﹣2 时,f=f(﹣1)═f(1)=f(﹣3)=﹣2; 故选:A. 8.函数 f(x)=|x﹣2|﹣lnx 在定义域内零点的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 )

【考点】函数的零点;对数函数的单调性与特殊点. 【分析】 先求出函数的定义域, 再把函数转化为对应的方程, 在坐标系中画出两个函数 y1=|x ﹣2|,y2=lnx(x>0)的图象求出方程的根的个数,即为函数零点的个数. 【解答】解:由题意,函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ; 由函数零点的定义,f(x)在(0,+∞)内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx=0 的根. 令 y1=|x﹣2|,y2=lnx(x>0) ,在一个坐标系中画出两个函数的图象: 由图得,两个函数图象有两个交点, 故方程有两个根,即对应函数有两个零点. 故选 C.

9.函数 f(x)=ln|x﹣1|的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

【考点】对数函数的图象与性质.
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【分析】题目中函数解析式中含有绝对值,须对 x﹣1 的符号进行讨论,去掉绝对值转化为 对数函数考虑,利用对数函数的图象与性质解决. 【解答】解:∵当 x>1 时,f(x)=ln|x﹣1|=ln(x﹣1) ,其图象为:

∵当 x<1 时,f(x)=ln|x﹣1|=ln(1﹣x) ,其图象为:

综合可得,B 符合, 故选 B.

10.已知

,b=logπ3,

,则 a,b,c 的大小关系是(



A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.b<a<c 【考点】不等式比较大小. 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可比较出大小.注意与数 0,1 的大小比较. 【解答】解:∵ ∴c<b<a. 故选 C. 11.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若 f(x)的最小正周期为 3,且 f(1)>1,f (2)= A.﹣1<m< ,则 m 的取值范围是( B.m< ) D.m> 或 m<﹣1 ,0=logπ1<logπ3<logππ=1, ,

C.m< 且 m≠﹣1
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【考点】函数与方程的综合运用;函数奇偶性的性质. 【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系,即可得到结论. 【解答】解:∵若 f(x)的最小正周期为 3,且 f(1)>1, ∴f(2)=f(2﹣3)=f(﹣1) , ∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(2)=f(﹣1)=﹣f(1)<﹣1, 即 f(2)= 即 +1= <﹣1, = <0,

则等价为(m+1) (3m﹣2)<0, 解得﹣1<m< , 故选:A. 12.已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M, 使得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合: ①M={ };

②M={(x,y)|y=sinx+1}; ③M={(x,y)|y=log2x}; ④M={(x,y)|y=ex﹣2}. 其中是“垂直对点集”的序号是( ) A.①② B.②③ C.①④

D.②④

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】对于①利用渐近线互相垂直,判断其正误即可.对于②、③、④通过函数的定 义域与函数的值域的范围,画出函数的图象,利用“垂直对点集”的定义,即可判断正误; 【解答】解:对于①y= 是以 x,y 轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角是 90°,所以在同 一支上,任意(x1,y1)∈M,不存在(x2,y2)∈M,满足好集合的定义;在另一支上对 任意(x1,y1)∈M,不存在(x2,y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,所以不满足“垂直对 点集”的定义,不是“垂直对点集”. y) y1) y2) 对于②M={ (x, |y=sinx+1}, 对于任意 (x1, ∈M, 存在 (x2, ∈M, 使得 x1x2+y1y2=0 成立,例如(0,1) 、 (π,0) ,满足“垂直对点集”的定义,所以 M 是“垂直对点集”;正确. 对于③M={(x,y)|y=log2x},取点(1,0) ,曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的 连线互相垂直,所以不是“垂直对点集”. 对于④M={(x,y)|y=ex﹣2},如下图红线的直角始终存在,对于任意(x1,y1)∈M, 存在(x2,y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,例如取 M(0,﹣1) ,则 N(ln2,0) ,满足“垂 直对点集”的定义,所以是“垂直对点集”;正确.

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所以②④正确. 故选 D. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填写在答题卡中横线上. ) 13.函数 y=ln(1+x)+ 的定义域为 (﹣1,1] .

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域. 【解答】解:要使函数有意义,则 ,



,即﹣1<x≤1,

即函数的定义域为(﹣1,1], 故答案为: (﹣1,1]

14.不等式 3

≥ 的解集为 {x|x≤﹣3 或 x≥1} .

【考点】指、对数不等式的解法. 【分析】 由不等式 3 ≥ 化简得 x2+2x﹣3≥0, 再根据二次不等式对应的方程有两

不等实根,且对应的二次函数开口向上,借助于三个二次可求不等式的解集. 【解答】解:由不等式 3 ≥ ,

得 x2+2x﹣4≥﹣1,即 x2+2x﹣3≥0. 不等式 x2+2x﹣3≥0 对应二次方程 x2+2x﹣3=0 的两根为 x1=﹣3,x2=1, 对应的二次函数 y=x2+2x﹣3 开口向上, ∴x2+2x﹣3≥0 的解集为:x≤﹣3 或 x≥1. 故答案为:{x|x≤﹣3 或 x≥1}. 15.偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,f(3)=3,则 f(﹣1)= 3 .
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【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质,得到 f(x+4)=f(x) ,即可得到结论. 【解答】解:法 1:因为偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 所以 f(2+x)=f(2﹣x)=f(x﹣2) , 即 f(x+4)=f(x) , 则 f(﹣1)=f(﹣1+4)=f(3)=3, 法 2:因为函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 所以 f(1)=f(3)=3, 因为 f(x)是偶函数, 所以 f(﹣1)=f(1)=3, 故答案为:3. 16.函数 f(x)=x2+3xf′(1) ,在点(2,f(2) )处的切线方程为 x﹣y﹣4=0 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求导函数,求出 f′(1)的值,可得函数的解析式,从而可得切线的斜率与切点的 坐标,即可求出切线方程. 【解答】解:∵f(x)=x2+3xf′(1) , ∴f′(x)=2x+3f′(1) , ∴f′(1)=2+3f′(1) , f 1 = 1 ′ 解得 ( ) ﹣ ∴f(x)=x2﹣3x,f′(x)=2x﹣3 ∴f(2)=﹣2,f′(2)=1 ∴函数在点(2,f(2) )处的切线方程为 y+2=x﹣2,即 x﹣y﹣4=0 故答案为:x﹣y﹣4=0. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. ) 2 2 17.已知 p:x +mx+1=0 有两个不相等的负实根,q:方程 4x +4(m﹣2)x+1=0 无实根,求: 当 p 或 q 为真时 m 的取值范围. 【考点】复合命题的真假;一元二次方程的根的分布与系数的关系.

【分析】 若 p 为真, 则

. 解得 m 范围. 若 q 为真, 则△<0, 解得 m 范围. 再

利用当 p 或 q 为真时即可得出.

【解答】解:若 p 为真,则

,解得 m>2.

若 q 为真,则△=16(m﹣2)2﹣16<0,解得 1<m<3. 当 p 或 q 为真时,可得 m 的取值范围为:m>1.

18.已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=6cosθ,曲线 C2 的极坐标方程为 θ= C1,C2 相交于 A,B 两点.
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(p∈R) ,曲线

(Ⅰ)把曲线 C1,C2 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (Ⅱ)求弦 AB 的长度. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (Ⅰ)利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进 行代换即得曲线 C2 及曲线 C1 的直角坐标方程. (Ⅱ)利用直角坐标方程的形式,先求出圆心(3,0)到直线的距离,最后结合点到直线的 距离公式弦 AB 的长度. 【解答】解: (Ⅰ)曲线 C2: 表示直线 y=x, 曲线 C1:ρ=6cosθ,即 ρ2=6ρcosθ 所以 x2+y2=6x 即(x﹣3)2+y2=9 (Ⅱ)∵圆心(3,0)到直线的距离 r=3 所以弦长 AB= ∴弦 AB 的长度 . = . , (p∈R)

19.在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:

(θ 为参数) ,以平面直角坐标系

xOy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l: ρ(2cosθ﹣sinθ)=6. (1)将曲线 C1 上的所有点的横坐标伸长为原来的 倍,纵坐标伸长为原来的 2 倍后得到 曲线 C2,试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程; (2)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)直线 l:ρ(2cosθ﹣sinθ)=6.把 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入可得直角坐标方程.由 曲线 C1: (θ 为参数) ,将曲线 C1 上的所有点的横坐标伸长为原来的 (α 为参数) . 倍,纵

坐标伸长为原来的 2 倍后得到曲线 C2 的参数方程: (2)设 P ,点 P 到直线 l 的距离 d=

=

,利用三角函数的单调性与值域即可得出.

【解答】解: (1)直线 l:ρ(2cosθ﹣sinθ)=6.可得:直线 l 的直角坐标方程为:2x﹣y﹣ 6=0. 由曲线 C1: (θ 为参数) ,将曲线 C1 上的所有点的横坐标伸长为原来的 (α 为参数) . 倍,

纵坐标伸长为原来的 2 倍后得到曲线 C2 的参数方程:

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(2)设 P

,点 P 到直线 l 的距离 d=

=



∴当

=﹣1 时,d 取得最大值

=2

,此时 P



20.已知函数 f(x)=x2﹣2|x|+3. (1)求函数 f(x)的单调区间和值域; (2)若方程 f(x)=k 有四个解,求实数 k 的取值范围. 【考点】二次函数的性质;根的存在性及根的个数判断. 【分析】 (1)将 f(x)写成分段函数的形式,画出图象, )通过图象可得增区间和减区间; (3)方程 f(x)=k 有四解,即为函数 y=f(x)与 y=k 的交点有四个.通过图象观察,解 不等式即可得到所求范围. 【解答】解: (1)f(x)= ,

函数 y=f(x)的图象如右: 则函数 f(x)的单调增区间为(﹣1,0) , (1,+∞) ; 减区间为(﹣∞,﹣1, (0,1) ;函数的值域为[2,+∞) , (2)方程 f(x)=k 有四个解, 即为函数 y=f(x)与 y=k 的交点有四个. 由图象可得 2<k<3, 则实数 k 的取值范围是(2,3) .

21.函数 f(x)=

是定义在(﹣1,1)的奇函数,且 f( )= .

(1)确定 f(x)的解析式; (2)判断函数在(﹣1,1)上的单调性; (3)解不等式 f(t﹣1)+f(t)<0.
第 12 页(共 15 页)

【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】 (1)若奇函数在 x=0 处有定义,则 f(0)=0,代入即可得 b,再由 f( )= 代入 即可得 a 值 (2)因为函数为奇函数,故只需判断 x>0 时函数的单调性即可,利用单调性定义即可证明 (3)利用函数的单调性和奇偶性将不等式中的 f 脱去,等价转化为关于 t 的不等式组,解 之即可 【解答】解: (1)∵函数 f(x)= ∴f(0)=0,即得 b=0 ∵f( )= . 是定义在(﹣1,1)的奇函数



,即得 a=1

∴f(x)= (2)设任意 x1,x2∈(0,1) ,且 x1<x2 则 f(x1)﹣f(x2)= ﹣

=

=

<0

即 f(x1)<f(x2) ∴函数 f(x)在(0,1)上为增函数 ∵函数 f(x)是定义在(﹣1,1)的奇函数 ∴函数 f(x)在(﹣1,1)上为增函数 (3)不等式 f(t﹣1)+f(t)<0 ?f(t﹣1)<﹣f(t) ?f(t﹣1)<f(﹣t) (根据奇函数的性质)

?

(根据定义域和单调性)

?0<t<

22.已知函数 f(x)=(log2x﹣2) (log4x﹣ )
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(1)当 x∈[2,4]时,求该函数的值域; (2)若 f(x)>mlog2x 对于 x∈[4,16]恒成立,求 m 的取值范围. 【考点】对数函数图象与性质的综合应用. f = = (log2x) 2﹣ log2x+1, 2≤x≤4, 【分析】 (1) (x) (log2x﹣2) (log4x﹣ ) 令 t=log2x, 则 y= t2﹣ t+1= (t﹣ )2﹣ ,由此能求出函数的值域. (2)令 t=log2x,得 t2﹣ t+1>mt 对于 2≤t≤4 恒成立,从而得到 m< t+ ﹣ 对于 t ∈[2,4]恒成立,构造函数 g(t)= t+ ﹣ ,t∈[2,4],能求出 m 的取值范围. 【解答】解: (1)f(x)=(log2x﹣2) (log4x﹣ ) = (log2x)2﹣ log2x+1,2≤x≤4 令 t=log2x,则 y= t2﹣ t+1= (t﹣ )2﹣ , ∵2≤x≤4, ∴1≤t≤2. 当 t= 时,ymin=﹣ ,当 t=1,或 t=2 时,ymax=0. ∴函数的值域是[﹣ ,0]. (2)令 t=log2x,得 t2﹣ t+1>mt 对于 2≤t≤4 恒成立. ∴m< t+ ﹣ 对于 t∈[2,4]恒成立, 设 g(t)= t+ ﹣ ,t∈[2,4], ∴g(t)= t+ ﹣ = (t+ )﹣ , ∵g(t)= t+ ﹣ 在[2,4]上为增函数, ∴当 t=2 时,g(t)min=g(2)=0, ∴m<0.

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2016 年 8 月 30 日

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