一元一次不等式知识点及典型例题 2

个整式,不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。 一元一次不等式 考点一、不等式的概念 (3 分) 1、不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。 2、 不等式的解集: 对于一个含有未知数的不等式, 任何一个适合这个不等式的未知数的值, 都叫做这个不等式的解。 个不等式的解集。 4、求不等式的解集的过程,叫做解不等式。 5、用数轴表示不等式的方法 考点二、不等式基本性质 (3~5 分) 1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。 4、说明:①在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,是随着加或乘的运算改 变。②如果不等式乘以 0,那么不等号改为等号所以在题目中,要求出乘以的数,那么 就要看看题中是否出现一元一次不等式, 如果出现了, 那么不等式乘以的数就不等为 0, 否则不等式不成立; 考点三、一元一次不等式 (6--8 分) 例 1、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是 1,且 不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。 将 x 项的系数化为 1 考点四、一元一次不等式组 等式组。 3、求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。 4、当任何数 x 都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 5、一元一次不等式组的解法 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集 (2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。 6、不等式与不等式组 不等式:①用符号〉 ,=, 〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一 (8 分) 1、一元一次不等式组的概念:几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不 2、解一元一次不等式的一般步骤: (1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5) 例 1 例 例 例 -x≥5 ④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。 7、不等式的解集: ①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。 ②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。 一 不等式的概念: 判断下列各式是否是一元一次不等式? 2x-y<0
2x 3

3、对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这 知识点与典型基础例题

? 45x ? x ? ?2

2 x

?5?3

二 不等式的解 : 三 不等式的解集: 判断下列说法是否正确,为什么? X=2 是不等式 x+3<2 的解。 不等式 3x<7 的解是 x<2。 四 一元一次不等式: 判断下列各式是否是一元一次不等式 -x<5 2x-y<0
2x 3

X=2 是不等式 3x<7 的解。 X=3 是不等式 3x≥9 的解

?x?2

2 x

? 5 ≥3x

五.不等式的基本性质问题 指出下列各题中不等式的变形依据
2 3

1)由 3a>2 得 a>

2) 由 3+7>0 得 a>-7 4)由 4a>3a+1 得 a>1

3)由-5a<1 得 a>- 1 5 用>”或<”填空,并说明理由 1)a-2( )b-2 2)a 2

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 例 2

如果 a<b 则 例3

? ? - b2

3)-3a-5(

)-3b-5

把下列不等式变成 x>a x<a 的形式。 5x<1+4x 4 5

X+4>7 例4

x>-1

2x+5<4x-2 )

已知实数 a/b/c/在数轴上的对应点如图,则下列式子正确的是(

A cb>ab 例5 例 当0<x<1时x ,x,


B ac>ab

C cb<ab D

c+b<a+b 。

已知关于x的不等式组{ 2 x?a ?2 b?1 的解集为3≤x<5,求 题型三 例 确定方程或不等式中的字母取值范围

x?a?b

a b

的值。

1 x

,之间的大小关系是

将下列不等式的解集在数轴上表示出来。 X≥2 x<1
2 3

k为何值时方程5x-6=3(x+k)的值是非正数 已知关于 x 的方程 3k-5x=-9 的解是非负数,求 k 的取值范围 已知在不等式3x-a≤0的正整数解是1,2,3,求a的取值范围。

x<3 的非负整数解

-1 1 3

? x ?21 2

六 在数轴上表示不等式的解集: 例 解下列不等式并把解集在数轴上表示出来 2x+3<3x+2 -3x+2≤5 -

1 x ≠2 3

x?5 3x ? 2 ?1 ? 2 3
x 3

若方程组{ 2 x ? 3 y ?5 的解中 x>y,求 K 的范围。 如果关于 x 的方程 x+2m-3=3x+7 的解为不大于 2 的非负数,求 m 的范围。 若|2a+3|>2a+3,求 a 的范围。

4 x ?3 y ? k

8-2(x+2)<4x-2

3-

x ?1 4

? 2 ? 3( x8?1)

5-x+

<1-

2 x ?3 2

?1 ? x3

题型一:求不等式的特殊解 例1) 求 x+3<6 的所有正整数解 2)求 10-4(x-3)≥2(x-1)的非负整数解,并在数轴上表示出来。 若(a+1)x>a+1 的解是 x<1,求 a 的范围。

x ? 8 ? 4 x ?1
若{ x ? a 的解集为>3,求a的取值范围。

3)求不等式

3? x 2

? 1 ? 0 的非负整数解。
已知关于 x 的方程x-
2 x ?m 3

?

2x 3

的解是非负数,m是正整数,求m的值。

4)设不等式2x-a≤0只有3个正整数解,求正整数 题型二:不等式与方程的综和题 例 关于X的不等式2x-a≤-1的解集如图,求a的取值范围。 如果{ 8 x ? b ? 0 的整数解为1、2、3,求整数a、b的值。 题型五 不等式组{ x ? m ?1 求最小值问题
?4 x 取什么值时,代数式 5 x6 的值不小于 7 8 x ? 1? 3 的值,并求出 X 的最小值。

9 x ?a?0

x ? 9 ? 5 x ?1
的解集是x>2,则m的取值范围是?



若关于X、Y的二元一次方程组{ x? y? p?0 的解是正整数,求整数P的值。

5 x?3 y?31

题型六 例

不等式解法的变式应用 根据下列数量关系,列不等式并求解 。

X的1 与 x 的 2 倍的和是非负数。 C 与 4 的和的 30﹪不大于-2。 3 X 除以 2 的商加上 2,至多为 5。 例 A 与 b 两数和的平方不可能大于 3。

x取何值时,2(x-2)-(x-3)-6的值是非负数?

A、

B、

C、

D、



x取哪些非负整数时,

3 x?2 5

的值不小于

2 x? 3

与1的差。

把不等式组

的解集表示在数轴上正确的是(



题型七 例

解不定方程

求方程4x+y-20=0的正整数解。

已知{ x ?3a ? ?2 无解,求a的取值范围。 题型八 例 小关系 题型九 例 不等式组解的分类讨论 比较两个代数式值的大小
2 2

x ?2?a

答案:C 不等式 A. 的解集是( B. ) C. D. 答案:C

已知A=a+2,B=a -a+5,C=a +5a-19,求B与A,C与A的大

解关于x的不等式组{ ( a?2) x?2.?.2(1?a ) x?4

ax?4.?.8?3ax

若不等式组

有实数解,则实数

的取值范围是(



8、常见题型 一、选择题 在平面直角坐标系中,若点 P(m-3,m+1)在第二象限,则 m 的取值范围为( A.-1<m<3 已知关于 B.m>3 C.m<-1 D.m>-1 ) 答案:A 的取值 若

A.

B. ,则

C. 的大小关系为( C. (

D. ) 答案:A )

答案:A

A.

B.

D.不能确定

不等式—x—5≤0 的解集在数轴上表示正确的是

的一元二次方程 )A. D ) B.

有两个不相等的实数根,则实数 C. D. 答案:D

范围是( 关系是(

四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为 P、Q、R、S,如图 3 所示,

则他们的体重大小 答案:B 不等式 < 的正整数解有( )

(A)1 个

(B)2 个

(C)3 个

(D)4 个

答案:C )

答案:C 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是( )

把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上, 如图所示, 则这个不等式组可能是 ( A. B. C. D.

答案:C 答案:B 把不等式组 不等式组 ,的解集是( ) 的解集表示在数轴上,正确的为图 3 中的( )

A. 不等式组

B.

C. 的解集在数轴上可表示为(

D.无解 )

答案:C

A. 答案:B A 答案:D 实数 在数轴上对应的点如图所示,则 , , 的大小关系正确的是( ) B C D 用

B.

C.

D.

表示三种不同的物体,现放在天平上比较两次,情况如图所示,那么

这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为(



A. 答案:D

B.

C.

D.

如图,a、b、c 分别表示苹果、梨、桃子的质量.同类水果质量相等,则下列关系正确的是 ( ) 答案:A A.a>c>b B.b>a>c C.a>b>c D. c>a> 不等式组 的解集在数轴上可表示为( )

b

不等式组

的整数解的个数为



答案:4

6.已知关于 答案:A 在数轴上表示不等式组 的解集,正确的是( )

的不等式组

的整数解共有 3 个,则

的取值范围是



答案: 9.不等式组 的解集是 . 答案:

10.直线 于 的不等式

与直线 的解集为

在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关 .

答案:A 二、填空题 已知 3x+4≤6+2(x-2),则 如图,已知函数 解集为 . 和 的最小值等于________. 的图象交点为 答案:1 答案: ,则不等式 <-1 的解集为-1<x<2,则(m+n)2008=__________.答案:1 的 13.已知不等式组 三、简答题

解不等式组

答案:

解:解不等式(1) ,得 原不等式组的解是

. .

解不等式(2) ,得



不等式组

的解集为

. 答案:

易知 解不等式组 并写出该不等式组的最大整数解.



原不等式的解为 大于或等于

或 最大值.

(3)原问题转化为:

当 解:解不等式 x+1>0,得 x>-1 ∴不等式得解集为-1<x≤2 若不等式组 根,求 a 的值。 解:解不等式得 解方程 ,则整数解 x=-2 代入方程得 a=4。 。由绝对值的几何意义知,该方程表示求在数轴上与 1 和-2 解不等式组 解不等式 x≤ ,得 x≤2 当 的 当 故

时, , 时, .

, 随 , 即 的增大而减小, 的最大值为 7.

∴该不等式组的最大整数解是 2 的整数解是关于 x 的方程

并把解集表示在下面的数轴上.

的距离之和为 5 的点对应的 x 的值。在数轴上,1 和-2 的距离为 3,满足方程的 x 对 应点在 1 的右边或-2 的左边,若 x 对应点在 1 的右边,由图(17)可以看出 x=2;同 理,若 x 对应点在-2 的左边,可得 x=-3,故原方程的解是 x=2 或 x=-3 解: 的解集是: 的解集是: 所以原不等式的解集是: ???????????????(3 分) 解集表示如图?????????????????????????(5 分) 参考阅读材料,解答下列问题: (1)方程 (2)解不等式 (3)若 解: (1)1 或 当 . 的解为 ≥9; 解不等式组 ≤a 对任意的 x 都成立,求 a 的取值范围 (2) 和 易知 的距离为 7, 的两侧. . 由不等式(1)得: 由不等式(2)得: 所以:5>x≥3 当 在 的左边时,如图(2) , <5 ≥3 解:

因此,满足不等式的解对应的点 3 与 在 3 的右边时,如图(2) ,

1、一元一次不等式(组)的定义: 解不等式组: 并判断 是否满足该不等式组. 2、一元一次不等式(组)的解集、解法: 3、求不等式组的解集的方法 : 若 a<b,

解:原不等式组的解集是:



满足该不等式组.

解不等式 3x-2<7,将解集在数轴上表示出来,并写出它的正整数解. 解:3x-2<7 3x<7+2 3x<9 x<3 当 时,a<x<b;(大小小大取中间) 当 时无解,(大大小小无解) 当 时,x>b;(同大取大) 当 时,x<a;(同小取小)

二:小试牛刀 解不等式组 ,并写出它的所有整数解. 1、不等式 8-3x≥0 的最大整数解是_______________. 2、若 (a ? 1) x 解:

? a ? 1 的解集是 x ? 1 ,则 a 必须满足_______

3、若不等式组 ? 解不等式组 并求出所有整数解的和. 4、若 0 ?

? x ? 4, 的解集是 4 ? x ? a ,则 a 的取值范围是________. ?x ? a

解:解不等式①,得 解不等式②,得 原不等式组的解集是 则原不等式组的整数解是 所有整数解的和是: 不等式复习 1 一:知识点回顾 .



1 、 a 之间的大小关系是________. a 5、如果一元一次方程 2 x ? 5k ? x ? 4 的解是正数,那么 k 的取值范围是________.

a ? 1 ,则 a 2 、

6、如图,直线

y ? kx ? b 经过点 A(?1, ? 2) 和点 B(?2, 0) ,直线 y ? 2 x 过点 A,则不等
) B. ?2 ?

. .

式 2 x ? kx ? b ? 0 的解集为( A. x

? ?2 D. ?1 ? x ? 0

x ? ?1

C. ?2 ?

x?0

y B A x
9、某工厂现有甲种原料 360 千克,乙种原料 290 千克,计划利用这两种原料生产 A、B 两种产 品共 50 件,已知生产一件 A 种产品用甲种原料 9 千克,乙种原料 3 千克,可获利 700 元;生 产一件 B 种产品用甲种原料 4 千克,乙种原料 10 千克,可获利 1200 元。 (1)按要求安排 A、B 两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你设计出来; (2)设生产 A、B 两种产品总利润为

O

y 元,其中一种产品生产件数为 x 件,试写出 y 与 x 之

间的函数关系式,并利用函数的性质说明那种方案获利最大?最大利润是多少? 7、不等式组 8、由 x>y 得 ax≤ay 的条件是( A.a>0 A.m>0 三:例题讲解 1、已知关于 x 的不等式 2x+m>-5 的解集如图所示,则 m 的值为( A, 1 B, 0 C, -1 D, 3 ) 4、X 是哪些非负整数时, B.a<0
2 2

的解集为 x<2,试求 k 的取值范围______ ) D.a≤0 ) D.m 是任意有理数 C.a≥0 C.m≠0 3、如果不等式组 ?

9、由 a>b 得 am >bm 的条件是( B.m<0

?2 x ? 3 ? 0 无解,则 m 的取值范围是 ?x ? m



3 x ?的值不小于 2 5

2 x1 ?的差 1 与 3

5 若方程组 ? 2、不等式 2x+1<a 有 3 个正整数解,则 a 的取值范围是? 取值范围。 3、关于 x 的不等式组 ?

?x ? 2 y ? 1 的解 x 、 y 的值都不大于 1,求 m 的 ?x ? 2 y ? m

?x ? a ? 0 的整数解共有 3 个,则 a 的取值范围是多少? 1 ? x ? 0 ?

6、不等式组

?x ? a ? 0 的整数解共有 5 个,则 a 的取值范围是 ? ?3 ? 2x ? ?1

7、用若干辆载重为 8 吨的汽车运一批货物,若每辆汽车只装 5 吨,则剩下 10 吨货物,若每辆 4、若方程组 ?

?3x ? y ? 2k , 的解满足 x ? 1, 且y ? 1 ,求整数 k 的取值范围。 ?y ? x ? 3

车装满 8 吨,则最后一辆汽车不空也不满,请问有多少辆汽车?

8、某校准备组织 290 名学生进行野外考察活动,行李共 100 件,学校计划租用甲乙两种型号 5、若不等式组 无解,求 a 的取值范围. 的汽车共 8 辆,经了解,甲种汽车每辆最多载 40 人和 10 件行李;乙种汽车每辆最多载 30 人 和 20 件行李。 6、 已知不等式组 ? (1)设租用甲种汽车 x 辆,请你帮助学校设计所有可能的方案 (2)如果甲乙两种汽车每辆的租车费分别为 2000,1800 元,请你选择最省钱的一种租车方案。

?2ax ? 6 ? a 的解集是 1<x<b.则 a+b 的值? ?6 x ? 5 ? b

4.一元一次不等式的解法 9、为执行中央“节能减排,美化环境,建设美丽新农村”的国策,我市某村计划建造 A、B 使用农户数及造价见下表: 已知可供建造沼气池的占地面积不超过 365m ,该村农户共有 492 户. (1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程. (2)通过计算判断,哪种建造方案最省钱. 型号 A B 占地面积 (单位:m2/个 ) 15 20 使用农户数 (单位:户/个) 18 30 造价 (单位: 万元/个) 2 3
2

一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似,?但要特别注意不等式的两边都乘以 5.一元一次不等式的应用 列一元一次不等式解实际应用问题,可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧,不 同的是,列不等式解应用题,寻求的是不等关系,因此,根据问题情境,抓住应用问题中“不 等”关系的关键词语,或从题意中体会、感悟出不等关系十分重要. ◆例题解析 例1 解不等式

两种型号的沼气池共 20 个, 以解决该村所有农户的燃料问题. 两种型号沼气池的占地面积、 (或除以)同一个负数时,不等号要改变方向.

2 x ? 1 10 x ? 1 5 ? ≥ 4 3 6

x-5,并把它的解集在数轴上表示出来.

【分析】一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程相同,不等式中含有分母,应 先在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数去掉分母,在去分母时不要漏乘没有分母的项,再 作其他变形. 【解答】去分母,得 4(2x-1)-2(10x+1)≥15x-60. 去括号,得 8x-4-20x-2≥15x-60 移项合并同类项,得-27x≥-54 系数化为 1,得 x≤2.在数轴上表示解集如图所示.

2009 年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练 一元一次不等式及其应用 ◆知识讲解 1.一元一次不等式的概念 类似于一元一次方程,含有一个未知数,未知数的次数是 1?的不等式叫做一元一次不 等式. 2.不等式的解和解集 不等式的解:与方程类似,我们可以把那些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的 解. 不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,它的所有的解的集合叫做这个不等式 的解集.它可以用最简单的不等式表示,也可以用数轴来表示. 3.不等式的性质 那么 a±c>b±c. 性质 2:不等式两边乘以 (或除以) 同一个正数, 不等号的方向不变, 即如果 a>b, c>0,

o

2

【点评】①分数线兼有括号的作用,分母去掉后应将分子添上括号.同时,用分母去乘不 等式各项时,不要漏乘不含分母的项;②不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时,不等号 的方向必须改变;③在数轴上表示不等式的解集,当解集是 x<a 或 x>时,不包括数轴上 a 这一 点表示;?④解不等式(组)是中考中易考查的知识点,必须熟练掌握. 例2 若实数 a<1,则实数 M=a,N= B.M>N>P

性质 1:不等式两边加上 (或减去) 同一个数 (或式子) , 不等号的方向不变, 即如 a>b, 点,则这一点用圆圈表示;当解集是 x≤a 或 x≥a 时,包括数轴上 a 这一点,则这一点用黑圆

a b 那么 ac>bc(或 > ) . c c
性质 3:不等式两边乘以 (或除以) 同一个负数, 不等号的方向改变, 即如果 a>b, c<0, 那么 ac<bc(或

a?2 2a ? 1 ,P= 的大小关系为( 3 3
D.M>P>N



A.P>N>M

C.N>P>M

【分析】本题主要考查代数式大小的比较有两种方法:其一,由于选项是确定的,我们可 以用特值法,取 a>1 内的任意值即可;其二,?用作差法和不等式的传递性可得 M,N,P 的关 系.

a b > ) . c c

不等式的其他性质:①若 a>b,则 b<a;②若 a>b,b>c,则 a>c;③若 a≥b,且 b≥a, ?则 a=b;④若 a≤0,则 a=0.

【解答】方法一:取 a=2,则 M=2,N= 方法二:由 a>1 知 a-1>0.

4 3

5 ,P= ,由此知 M>P>N,应选 D. 3

解得 x≤2 又 x≥0 ∴0≤x≤2 ∴整数 x=0,1,2 ∴可得三种购买方案: 方案一:购买乙种机器 6 台; 方案二:购买甲种机器 1 台,乙种机器 5 台; 方案三:购买甲种机器 2 台,乙种机器 4 台. (2)列表如下: 日生产量/个 方案一 方案二 方案三 360 400 440 总购买资金/万元 30 32 34

2a ? 1 a ? 1 = >0,∴M>P; 3 3 2a ? 1 a ? 2 a ? 1 P-N= = >0,∴P>N. 3 3 3
又 M-P=a∴M>P>N,应选 D. 【点评】应用特值法来解题的条件是答案必须确定.如,当 a>1 时,A 与 2a-2?的大小 关系不确定,当 1<a<2 时,当 a>2a-2;当 a=2 时,a=2a-2;当 a>2 时,a<2a-2,因此,? 此时 a 与 2a-2 的大小关系不能用特征法. 例 3 若不等式-3x+n>0 的解集是 x<2,则不等式-3x+n<0 的解集是_______. 【分析】一方面可从已知不等式中求出它的解集,?再利用解集的等价性求出 n 的值, 进而得到另一不等式的解集.

由于方案一的日生产量小于 380 个,因此不选择方案一;?方案三比方案二多耗资 2 万元, 故选择方案二. 【点评】①部分实际问题的解通常为整数;②方案的各种情况可以用表格的形式表达. 例 5 某童装加工企业今年五月份,?工人每人平均加工童装 150 套,最不熟练的工人加工 的童装套数为平均套数的 60%.为了提高工人的劳动积极性,按照完成外商订货任务,企业计

n 【解答】∵-3x+n>0,∴x< 3
即 n=6

n ,∴ 3

=2

划从六月份起进行工资改革.?改革后每位工人的工资分两部分:一部分为每人每月基本工资 例 4 某公司为了扩大经营,决定购进 6 台机器用于生产某种活塞.?现有甲,乙两种机 200 元;另一部分为每加工 1 套童装奖励若干元. 器供选择,其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示.经过预算,本 (1)?为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准 450 元, 次购买机器所耗资金不能超过 34 万元. 甲 价格/(万元/台) 每台日产量/个 (1)按该公司要求可以有几种购买方案? (2)若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不低于 380 个,那么为了节约资金应选择 哪种购买方案? 【解析】 (1)可设购买甲种机器 x 台,然后用 x 表示出购买甲,?乙两种机器的实际费 用,根据“本次购买机器所耗资金不能超过 24 万元”列不等式求解. (2)分别算出(1)中各方案每天的生产量,根据“日生产能力不低于 380 个”与“节 约资金”两个条件选择购买方案. 解(1)设购买甲种机器 x 台,则购买乙种机器(6-x)台,则 7x+5(6-x)≤34 7 100 乙 5 60 按五月份工人加工的童装套数计算, 工人每加工 1 套童装企业至少应奖励多少元 (精确到分) ? (2)根据经营情况,企业决定每加工 1 套童装奖励 5 元.?工人小张争取六月份工资不少 于 1200 元,问小张在六月份应至少加工多少套童装? 【分析】 (1)五月份工人加工的最少套数为 150×60%,若设平均每套奖励 x 元,则该工人 的新工资为(200+150×60%x) ,由题意得 200+150×60%x≥450; (2)六月份的工资由基本工资 200 元和奖励工资两部分组成,?若设小张六月份加工了 y 套,则依题意可得 200+5y≥1200. 【解答】 (1)设企业每套奖励 x 元,由题意得:200+60%×150x≥450. 解得:x≥2.78. 因此,该企业每套至少应奖励 2.78 元; (2)设小张在六月份加工 y 套,由题意得:200+5y≥1200, 解得 y≥200. 【点评】本题重点考查学生从生活实际中理解不等关系的能力,对关键词“不低于” 、 “至

代入-3x+n<0 得:-3x+6<0,∴x>2

少” 、 “不少于”的理解是解本例的关键. ◆强化训练 一、填空题 1.若不等式 ax<a 的解集是 x>1,则 a 的取值范围是______. 2.不等式 x+3>

14.如果不等式 A.a>5 A .0 C.-2

ax ? 1 2x ?1 5 +1> 的解集是 x< ,则 a 的取值范围是( 3 3 3
B.a=5 C.a>-5 B.-3 D.-1 D.a=-5 )



15.关于 x 的不等式 2x-a≤-1 的解集如图所示,则 a 的取值是(

1 2

x 的负整数解是_______.

16.初中九年级一班几名同学,毕业前合影留念,每人交 0.70 元,一张彩色底片 0.68 元,扩 印一张照片 0.50 元,每人分一张,将收来的钱尽量用掉的前提下,?这张照片上的同学最 少有( A.2 个 是( ) B.Q>S>P>R D.S>P>R>Q ) B.3 个 C.4 个 D.5 个

3.不等式 5x-9≤3(x+1)的解集是______. 4.不等式 4(x+1)≥6x-3 的正整数解为______. 5.已知 3x+4≤6+2(x-2) ,则│x+1│的最小值等于______. 6.若不等式 a(x-1)>x-2a+1 的解集为 x<-1,则 a 的取值范围是______. 7.满足

17.四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为 P,Q,R,S,如图所示,则他们的体重大小关系 A.P>R>S>Q C.S>P>Q>R

2 ? x 2x ?1 ≥ 的 x 的值中,绝对值不大于 10 的所有整数之和等于______. 2 3

8.小明用 100 元钱去购买笔记本和钢笔共 30 件,已知每本笔记本 2 元,?每支钢笔 5 元, 那么小明最多能买______支钢笔. 9.某商品的进价是 500 元,标价为 750 元,商店要求以利润不低于 5%的售价打折出售,售 货员最低可以打______折出售此商品. 10.有 10 名菜农,每个可种甲种蔬菜 3 亩或乙种蔬菜 2 亩,?已知甲种蔬菜每亩可收入 0.5 万元,乙种蔬菜每亩可收入 0.8 万元,若要总收入不低于 15.6 万元,?则最多只能安排 _______人种甲种蔬菜. 二、选择题 11.不等式-x-5≤0 的解集在数轴上表示正确的是( )

18.某班学生在颁奖大会上得知该班获得奖励的情况如下表: 三好学生 市级 校级 3 18 优秀学生干部 2 6 优秀团员 3 12

已知该班共有 28 人获得奖励,其中只获得两项奖励的有 13 人,那么该班获得奖励最多的 一位同学可能获得的奖励为( A.3 项 三、解答题 19.解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来. (1 ) B.4 项 ) D.6 项 C.5 项

3x ? 4 2 x ? 1 ? ; 6 3

(2)x-3≥

3x ? 5 . 4

A 误的是( A.a-b>0 的解集是( A.x>0 ) B.x>2 ) B.ab<0

B

C

D

12.如图所示,O 是原点,实数 a,b,c?在数轴上对应的点分别为 A,B,C,则下列结论错 20.王女士看中的商品在甲,乙两商场以相同的价格销售,两商场采用的促销方式不同:在甲 商场一次性购物超过 100 元,超过的部分八折优惠;在乙商场一次性购物超过 50 元,超过 C.a+b<0 D.b(a-c)>0 的部分九折优惠,那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠? 21.甲,乙两家超市以相同的价格出售同样的商品,为了吸引顾客,?各自推出不同的 C.x>-3 D.-3<x<2 优惠方案:在甲超市累计购买商品超出 300 元之后,?超出部分按原价 8 折优惠;在乙

13. 如图所示, 一次函数 y=kx+b 的图象经过 A, B 两点, 则不等式 kx+b>0?

超市累计购买商品超出 200 元之后,超过部分按原价 8.5 折优惠.设顾客预计累计购物 1.a<0 x 元(x>300) . (1)请用含 x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用; (2)试比较顾客到哪家超市购物更优惠?说明你的理由. 22.福林制衣厂现有 24 名制作服装工人,?每天都制作某种品牌衬衫和裤子,每人每天可 制作衬衫 3 件或裤子 5 条. (1)若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等,则应安排制作衬衫和裤子各多少人? (2)已知制作一件衬衫可获得利润 30 元,制作一条裤子可获得利润 16 元,?若该厂要 求每天获得利润不少于 2100 元,则至少需要安排多少名工人制作衬衫? 23.某零件制造车间有工人 20 名,?已知每名工人每天可制造甲种零件 6 个或乙种零件 5 个,且每制造一个甲种零件可获利 150 元,?每制造一个乙种零件可获利 260 元,在这 20 名工人中,车间每天安排 x 名工人制造甲种零件,?其余工人制造乙种零件. (1)请写出此车间每天所获利润 y(元)与 x(人)之间的关系式; (2)若要使每天所获利润不低于 24000 元,?你认为至少要派多少名工人去制造乙种零 件才合适? 24.足球比赛的记分规则为:胜 1 场得 3 分,平 1 场得 1 分,负 1?场得 0 分,一支足球队 在某个赛季中共需比赛 14 场,现已比赛 8 场,负了 1 场,得 17 分,请问: (1)前 8 场比赛中,这支球队共胜了多少场? (2)这支球队打满了 14 场比赛,最高能得多少分? (3)通过对比赛情况的分析,这支球队打满 14 场比赛得分不低于 29 分,?就可以达到 预期目标,请你分析一下,在后面的 6 场比赛中这支球队至少要胜几场,才能达到 预期目标? 25.宏志高中高一年级近几年招生人数逐年增加,去年达到 550 名,?其中面向全省招收的 “宏志班”学生,也有一般普通班学生.由于场地、师资等限制,今年招生最多比去 年增加 100 人,其中普通班学生可以招 20%,?“宏志班”学生可多招 10%,问今年最 少可招收“宏志班”学生多少名?

2.-5,-4,-3,-2,-1 7.-19 16.C 17.D 18.B

3.x≤6 4.1,2,3 5.1 6.a<1 8.13 9.7 10.4 11.B 12.B 19. (1)x≥-2 13.C 14.B 15.D

(2)x≥7 数轴上表示略

20.设她在甲商场购物 x 元(x>100) ,就比在乙商场购物优惠, 由题意得:100+0.8(x-100)<50+0.9(x-50) ∴x>150 答:她在甲商场购物超过 150 元就比在乙商场购物优惠. 21. (1)在甲超市购物所付的费用是: 300+0.8(x-300)=(0.8x+60)元; 在乙超市购物所付的费用是: 200+0.85(x-200)=(0.85x+30)元. (2)当 0.8x+60=0.85x+30 时,解得 x=600. ∴当顾客购物 600 元时,到两家超市购物所付费用相同; 当 0.8x+60>0.85x+30 时,解得 x<600,而 x>300,∴300<x<600. 即顾客购物超过 300 元且不满 600 元时,到乙超市更优惠; 当 0.8x+60<0.85x+30 时,解得 x>600,即当顾客购物超过 600 元时,?到甲超市更优惠. 22. (1)设应安排 x 名工人制作衬衫,由题意得: 3x=5×(24-x) ∴x=15 ∴24-x=24-15=9 答:应安排 15 名工人制作衬衫,9 名工人制作裤子. (2)设应安排 y 名工人制作衬衫,由题意得: 3×30y+5×16×(24-y)≥2100 ∴y≥18 答:至少应安排 18 名工人制作衬衫. 23. (1)依题意,得 y=150×6x+260×5(20-x)=-400x+26000(0≤x≤20) . (2)依题意得,-400x+26000≥24000. 解得 x≤5,20-x=20-5=15. 答:至少要派 15 名工人去制作乙种零件才合适. 24. (1)设这支球队胜 x 场,则平了(8-1-x)场,

答案:

依题意得:3x+(8-1-x)=17,解得 x=5.

答:前 8 场比赛中这支球队共胜了 5 场. (2)最高分即后面的比赛全胜,因此最高得分为: 17+3×(14-8)=35(分) . 答:这个球打完 14 场最高得分为 35 分. (3)设胜 x 场,平 y 场,总分不低于 29 分,可得 17+3x+y≥29,3x+y≥12,x+y≤6 ∵x,y 为非负整数, ∴x=4 时,能保证不低于 12 分; x=3,y=3 时,也能保证不低于 12 分. 所以,在以后的比赛中至少要胜 3 场才能有可能达到预期目标. 25.设去年招收“宏志班”学生 x 名,普通班学生 y 名.

8. x 的

3 与 12 的差不小于 6,用不等式表示为__________________; 5

9.不等式组 ?

?2 x ? 3 ? 0 的整数解是______________; ?3x ? 2 ? 0 ?3x ? 2 y ? p ? 1 的解满足 x > y ,则 P 的取值范围是_________; ?4 x ? 3 y ? p ? 1

10.若关于 x 的方程组 ?

二.选择题: (每小题 3 分,共 30 分) 11.若 a > b ,则下列不等式中正确的是 ( (A) )

? x ? y ? 550, 由条件得: ? ?10% x ? 20% y ? 100.
将 y=550-x 代入不等式,可解得 x≥100. 于是(1+10%)x≥110, 答:今年最少可招收“宏志班”学生 110 名.

a?b ? 0


(B)

? 5a ? ?5b

(C)

a ?8 ? b?8

(D)

a b ? 4 4

12.在数轴上表示不等式 x ≥ ? (

2 的解集,正确的是

(A) 2010—2011 学年度第二学期第一单元测试题 一元一次不等式和一元一次不等式组 班别:_________学号:_________姓名:_________评分:_________ 一.填空题: (每小题 2 分,共 20 分) 1.若 x < 2.若 ? ( (A) (C) )

(B)

(C)

(D)

13.已知两个不等式的解集在数轴上如图表示,那么这个解集为

x ≥?1
? 3 ? x ? ?1

(B) (D)

x ?1
x ? ?3

y ,则 x ? 2

y ? 2; (填“<、>或=”号)
3.不等式 2 x ≥ x

14.不等式 2( x ? 2) ≤ x

? 2 的非负整数解的个数为
2 (C) 3 (D) 4

a b ? ? ,则 3a _____b ; (填“<、>或=”号) 3 9

? 2 的解集

(A)

1

(B)

15.下列不等式求解的结果,正确的是 (A)不等式组 ?

是_________;

3 ? 2y 4.当 y _______时,代数式 的值至少为 1;5.不等式 6 ? 12 x ? 0 的解集是___ 4
___; 6. 不等式 7 ? __时,

? x ? ?3 的解集是 x ? ?3 x ? ? 5 ?

(B)不等式组 ?

? x ? ?5 的解集是 x ? ?5 x ? ? 4 ?

x ? 1 的正整数解为:

; 7. 若一次函数

y ? 2 x ? 6 ,当 x ___

(C) 不等式组 ?

?x ? 5 无解 ? x ? ?7

(D) 不等式组 ?

? x ? 10 的解集是 ? 3 ? x ? 10 ? x ? ?3

y ? 0;

?x ? 1 ? 0 16.把不等式组 ? 的解集表示在数轴上,正确的是图中的 ?x ? 1 ? 0
( )

三.解下列不等式(组) ,并把解集在数轴上表示出来: (每小题 6 分,共 24 分) 21.

2 x ? 5 ? 3x ? 4

22. 10 ? 4( x ? 3)

? 2( x ? 1)

17.如图⑴所示,天平右盘中的每个破码的质量都是 1g,则物体 A 的质量 m (g)的取值范 围.在数轴上:可表示为图 1-1―1⑵中的 ( ) 23.

?3x ? 2 ? 5 x ? 6 ? ?3 ? 2 x ? 2 ? x

? x ? 3( x ? 2) ? 4 ? 24. ?1 ? 2 x ? x ?1 ? ? 3

18.已知关于 x 的不等式 (1 ? a) x ( (A) )

? 3 的解集为 x ?
(C)

3 ,则 a 的取值范围是 1? a
a?0
(D)

a?0

(B)

a ?1

a ?1

x ? 3 x ?1 ? 的值是非负数? 2 5 x ? m 2x ? 1 ? ? m 的解是非正数,求 m 的取值范围. 26、 (6 分)已知:关于 x 的方程 3 2
25. (6 分) x 为何值时,代数式 27. (7 分)我市移动通讯公司开设了两种通讯业务,A 类是固定用户:先缴 50 元基础费,然 后每通话 1 分钟再付话费 0.4 元;B 类是“神州行”用户:使用者不缴月租费,每通话 1 分钟会 话费 0.6 元(这里均指市内通话) ;若果一个月内通话时间为 x 分钟,分别设 A 类和 B 类两种 通讯方式的费用为

19.一次函数 当?3? ( (A) (C) )

3 y ? ? x ? 3 的图象如图所示, 2

y ? 3 时, x 的取值范围是
(B) (D)

y1元和y 2 元 ,

x?4 0? x?4

0? x?2 2? x?4

(1)写出

y1 、 y 2 与 x 之间的函数关系式;

20.观察下列图像,可以得出不等式组

(2)一个月内通话多少分钟,用户选择 A 类合算?还是 B 类合算? (3)若某人预计使用话费 150 元,他应选择哪种方式合算? 28. (6 分)有一群猴子,一天结伴去偷桃子,在分桃子时,如果每个猴子分了 3 个,那么还剩 59 个;如果每一个猴子分 5 个,就都能分得桃子,但剩下一个猴子分得的桃子不够 5 个,你能 求出有几只猴子,几个桃子吗

? 3x ? 1 ? 0 的解集 ? ?? 0.5x ? 1 ? 0
( (A) )

x?

1 3

(B)

?

1 ?x?0 3

(C)

0? x?2

(D)

选作: (10 分) (10 广西桂林)某校初三年级春游,现有 36 座和 42 座两种客车供选择租用,若只租用 36 座 客车若干辆,则正好坐满;若只租用 42 座客车,则能少租一辆,且有一辆车没有坐满,但超

?

1 ?x?2 3

过 30 人;已知 36 座客车每辆租金 400 元,42 座客车每辆租金 440 元. (1)该校初三年级共有多少人参加春游? (2)请你帮该校设计一种最省钱 的租车方案. ... 参考答案: 一. 1. ? ; 2. ? ; 3. x 8.

10.解: (1)设租 36 座的车 x 辆. 据题意得: ?

?36 x ? 42( x ? 1) ?36 x ? 42( x ? 2) ? 30

解得: ?

?x ? 7 ?x ? 9

由题意 x 应取 8:,则春游人数

为:36 ? 8=288(人).

? 2 ; 4. ? ?
9. 0 , 1 ;

1 2

; 5. x

?

1 2

; 6.1,2,3,4,5; 7. ?

3;

(2)方案①:租 36 座车 8 辆 的费用:8 ? 400=3200 元, 方案②:租 42 座车 7 辆的费用: 7 ? 440 ? 3080 元 方案③:因为 42 ? 6 ? 36 ? 1 ?

3 x ? 12 ? 6 ; 5

10. P

? ?6 ;

288 , 租 42 座车 6 辆和 36 座车 1 辆 的总费用: 6 ? 440 ? 1? 400 ? 3040 元
所以方案③:租 42 座车 6 辆和 36 座车 1 辆最省钱.

二. 11.B; 12.B; 13.A; 14.C; 15.C; 16.B; 17.A; 18.B; 19.C; 20.D; 三. 21. x 25. x 26. x

? ?9 ,图略;

22. x

? 4 ,图略;

23. x

?

1 ; 3

24. x

? 1;

??

17 3



? ?m ?

3 3 ,m ? ; 4 4

27. (1) y1

(2) y 2 ? 0.6 x ; (3)一个月内使用少于 250 分钟时,选择 ? 0.4x ? 50 ;

B 类合算;个月内使用多于 250 分钟时,选择 A 类合算;个月内使用等于 250 分钟时,无 论选择 A 或 B 类都合算;150 元分别代入解析式,两个解析式的值一样,所以 A、B 类都 一样合算。 28.解:设苹果单价为 x 元,由题意得:

? 3 ? 4 ? 5 x ? 100 ? 60 ? ?3 ? 10 ? 4 x ? 100 ? 60
解得:

5 28 ?x? ,又∵苹果的单价是个整数,且比饮料的单价(3 元)贵; 2 5 28 ∴3 ? x ? 5
∵苹果单价为整数:

∴x

? 4 或5 ;

答:略


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