2013年“北约”“华约”自主招生力学部分模拟试题 3

2013 年“北约” “华约”自主招生力学部分模拟试题
一.选择题(以下每题中有一个或一个以上选项符合题意,每小题 3 分,共 30 分)

2013-1-10

1.从空间某点经大小不同的速率沿同一水平方向射出若干小球,则它们的动能增大到射出时的 2 倍时的 位置处于 ( ) (B)同一圆上 (D)同一抛物线上

(A)同一直线上 (C)同一椭圆上

2.如图所示,固定的光滑半球球心的正上方有一个定滑轮,细线的一端拴一小球,置于 半球面上的 A 点,另一端绕过定滑轮并施加一拉力,今缓慢地将小球从 A 点拉到最高点 B, 在此过程中, 小球对半球面的压力 N 和细线拉力 T 的变化情况是 (A)N 变大,T 变小, (C)N 不变,T 变小, (B)N 变小,T 变小, (D)N 变小,T 不变。 ( )
A B

3.如图所示,甲、乙两物体质量分别为 m1=3 kg,m2=4 kg,叠放在水平桌面上。已知甲、乙间的动摩 擦因素为?1=0.6,物体乙与水平桌面间的动摩擦因素为?1=0.5。现用水平拉力 F 作用在乙物体上,两物 体一起沿水平面向右做匀速直线运动。如果 F 突然变为零,且甲、乙两物体仍保持相对静止,则( (A)物体甲在水平方向上受到向左的力 (B)物体甲在水平方向上受力大小为 18 N (C)物体甲的加速度方向向右 (D)物体甲的加速度大小为 5 m/s2 4.已知地球半径为 R,地面重力加速度为 g,设有一颗人造卫星在离地 R 高处绕地球做匀速圆周运动,则 ( ) Rg/2 。 )

甲 乙 F

(A)卫星的线速度 v=

(B)卫星的角速度ω = g/4R 。 (C)卫星的周期 T=2π 4R/g 。

(D)卫星的向心加速度 a=g/4。 5.一根长为 L,质量不计的硬杆,杆的中点及右端各固定一个质量为 m 的小球,杆可以带着球在竖直平面 内绕 O 点转动,若开始时杆处于水平位置,并由静止释放,如图,当杆下落到竖直位置时( (A)外端小球的速率为 12gL/5。 (B)外端小球的机械能减少 mgL/5。 (C)中点小球的机械能减少 mgL/5。 (D)每个小球的机械能都不变。
O



6.a,b 两球在光滑水平面上沿同一直线,同一方向运动,a 球的动量为 5 kgm / s,b 球的动量为 7 kgm / s, 若 a 球追上 b 球并发生碰撞,则碰后 a,b 两球的动量可能值是( (A)Pa=6 kgm / s,Pb=6 kgm / s。 (B)Pa=3 kgm / s,Pb=9 kgm / s。 (C)Pa=-2 kgm / s,Pb=14 kgm / s。 (D)Pa=-5 kgm / s,Pb=17 kgm / s。 7. 子弹在射进固定木板前的动能为 E1,动量为 P1,子弹射穿此木板后的动能为 E2,动量为 P2,则子弹在 木板中运动时的平均速度大小等于(设木板对子弹的阻力恒定) (A) (C) E1+E2 , P1+P2 E1 E2 + , P1 P2 (B) (D) E1-E2 , P1-P2 E1 E 2 - 。 P1 P2 )

8.一小球从倾角为 ? 的斜面顶端以初速度 v0 水平抛出,落到斜面上某处,空气阻力不计,如图所示。设 小球落到斜面时的速度方向与斜面的夹角为 ?,则当 v0 增大时(设仍落在斜面上) (A)? 不变 (B)? 减小 (C)? 增大 (D)可能增大也可能减小 9.有一质量为 m 的小球从半径为 R,质量为 M 的光滑圆弧槽右侧的 a 点滑下,槽置于光滑水平面上,如 右图所示,则 ( (

(A)运动过程中小球相对地面的最大位移为 MR/2(m+M) (B)运动过程中小球相对地面的最大位移为 2MR/(m+M) (C)小球能滑到 b 点 (D)小球不能滑到 b 点 10. 如图所示,一条轻质弹簧一端固定在墙上,一端连接在物体 P 上,将物体放在粗糙的水平面上,弹簧为 原长 L0 时,物体静止在 O 点。现将物体一拉使之振动,下述哪些说法是正确的(A)振动中合力始终指 向 O 点, (B)在振动中摩擦力不变, (C)P 通过 O 点时若不停下来,则合力不为零, (D)最后 P 可能静 止于 O 点,O 点的左边或右边。 ( )
b R M m a

P L0 O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二.填空题(每空 4 分,共 20 分) 11.足够长的直杆 MN 固定,一圆环与直杆在同一平面内,且以垂直于 MN 的恒定速 度 v 向右运动,AB 为圆环的一直径,且 AB 垂直于 MN,当 AB 的四等分点 C 经过直 杆瞬间,圆环与直杆的交点的运动速度大小是_____________。
M

A C N

O

Bv

A

12.如图所示,用匀质板材制成的正三角形 ABC 的边长为 2a,如果切去等腰三角形 BCD 后,剩余部分的重心恰好在 D 点,则 DH=_________。
B

D

H

C

13.甲,乙两质点相距为 L,乙在甲的正东,现甲以速率 v 向正东匀速运动,同时乙以速率 v 向正北匀速运动,如图,则它们运动过程中的最近距离为______________。

v
14.小滑块从长为 L 的光滑斜面项端静止开始下滑,滑到底端时与挡板 反向弹回。若每次与挡板碰僮后速度大小都为碰撞前速度的 4/5,则从 滑到最终停止于斜面底端的过程中,滑块通过的总路程为 ________________。 15.假设有一条穿过地心的平直隧道,一质点以初速为零开始由地面落入 此隧道



v



碰撞并 开始下

内,忽略空气阻力和地球自转的影响,并假设地球质量均匀分布,则质点将此隧道内做周期为 T1 的振动。 已知以第一宇宙速度沿地面运行的人造地球卫星的周期为 T2, T1_________T2。 “>” 则 (填 , “<” “=”。 或 ) 三、证明题(共 10 分) 16.洲际导弹以初速 v0 与发射地地平线成?角射出,不计空气阻力。证明此导弹在空中飞行能够到达的最 大高度为 Hmax= (v02-Rg)+ R2g2-(2Rg-v02)2v02 cos2? R, 2Rg-v02 (式中 R 为地球半径,g 为重力加速度,且 v02<2Rg。 )

四.计算题(每小题 10 分,共 40 分) 17.由个焊有横档的矩形金属框架组成的人字形梯子,其侧视图如图所示,梯子质量为 M,顶角为?。AC 和 CE 长为 L,且用铰链在 C 点处相连,BD 为一段轻绳,分别固定在 AC、CE 中点。设梯子与地面间的 摩擦可以忽略,一个质量为 m 的人在左侧矩形金属框架竖直对称面内, 从底部沿平行于 AC 的方向缓慢匀 速向上攀登梯子,求攀登过程中,地面对左半梯子和右半梯子的支持力 N1 和 N2 与人沿梯子移动的距离 x 的关系。 (人可视作质点) 。

C

?
B A D E

18. 将一摆长为 L 的单摆拉至水平位置,放手让其自由摆下,当摆到竖直位置时,在悬点 O 的正下方距 O 点距离为 d 的 D 点处,有一细钉挡着摆线,如图,当 d 为多少时,摆球将正好击中钉子?

L d D

O

19.光滑水平面上有一质量为 M 的小车,车上左端放一质量为 m 的物块(可视为质点) ,一起以初速 v0 向 右运动,然后与竖直右墙碰撞,并被弹回,向右运动后又与左墙碰撞, (设碰撞前后小车速度大小相等, 两墙距离足够大)如此反复碰撞,求: (1)小车第一次碰后弹回到小物块与小车间相对静止的过程中,小 物块相对小车滑动的距离, (2)小物块最后停在小车上何位置。

m M

v0

20.如图所示,在水平面 OB 上有一 A 点,已知 OA=L。现在从 A 点以初速度 v0 射出一小球,在不被倾 角为?(?<45?)的 OC 面板弹回的前提下,问: (1)若小球射出时的角度?=45?,为使得小球能射到最远,小球射出时的初速度 v0 应为多大? (2)若小球射出时的初速度 v0 已知,且大于第(1)小题中所得的结果,为使小球能射到最远,小 球射出时的角度?应为多大?

C

v0

?

?

O

L

A

B

17. 整体力平衡方程: 1+N2-mg-Mg=0, A 点为转轴有力矩平衡方程: N 以 mgxsin

?
2

+MgL sin

?
2

-2LN2 sin

?
2

,解得:N1=

MgL+mg(2L-x) MgL+mgx ,N2= 。 2L 2L

18. (2 3 -3)L。 19. 小车弹回后小车和小物块动量守恒 MV0+m(-V0)=(M+m)V1 V1=(M-m)V0/(M+m) -μ mgS1=(M+m)V12/2-MV02/2-mV02/2 所以 S1=2MV02/μ g(M+m) 同理 S2=2MV12/μ g(M+m) ,但方向相反 所以相对滑行位移为首项是 S1,公比是-(M-m)2/(M+m)2 的等比数列,其和为 S, S=(M+m)V02/2μ mg。 20. (1)解:以 A 点为坐标原点,AB 方向为 x 轴正方向建立坐标系, gx2 2 斜抛运动:x=v0tcos?,y=v0tsin?-gt /2,代入得:y=xtan?- 2 2 ,OC 线方程:y=(x+L) 2v0 cos ? gx2 gx2 tan?,可得:xtan?- 2 2 =(x+L)tan?,取?=45?,得: 2 +(tan?-1)+Ltan?=0,为使小 v0 2v0 cos ? 球以 45?抛出能实现射程最远而不被 OC 面板弹回,小球抛射轨迹应与斜面 OC 相切,即:?=(tan?-1)
2



4gL tan?=0,解得:v0= v02 (2)当 v0>

4gL tan? , (tan?-1)2

4gL tan? 时,为使小球以?角抛出能实现射程最远而不被 OC 面弹回,必有? (tan?-1)2 4gL tan?=0,即 sin2 v02cos2?

>?,小球抛射轨迹应与斜面 OC 相切,并可得判别式:?=(tan?-tan?)2- gL gLsin2? - (?-?)- 2 sin2?=0,因为?>?,所以?=?+sin 1 。 v0 v0


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