数学:2.2.1《条件概率》课件(新人教A版选修2-3)_图文

2.2 二项分布及其应用

2.2.1 条件概率

探究 3张奖券中只有张能中奖,现分别由 名同学无 1 3 放回地抽取问最后一名同学抽到中 , 奖券的概率是否 比其他同学小 ? 若抽到中奖奖券用" Y" 表示,没有抽到用" Y" 表示,那么
示最后一名同学抽到中奖奖券的事件, 则B ? Y Y Y?. 由古典概率可知, 最后一名同学抽到中奖奖券的概率 n?B? 1 为P?B? ? ? . n?Ω? 3 用n?A ?表示事件A中基本事件的个数 . 思考 如果已经知道第一名同 学没有抽到中奖奖券 , 那么最后一名同学抽到 中奖奖券的概率又是多 ? 少 所有可能的抽取情况为Ω ? Y Y Y, YY Y, Y Y Y?.用B表

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因为已经知道第一名同 学没有抽到中奖奖券那么 , 所有可能的抽出情况变 A ? Y YY, YY Y .由古典 为 概率型可知 最后一名同学抽到中奖 , 奖券的概率为 n?B? 1 ? ,不妨记为P?B | A ?. n?A ? 2 显然,知道第一名同学的抽出 结果, 即知道了事件A 的发生, 会影响事件B发生的概率 从而导致了P?B ? , ? P?B | A ?.

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知道第一名同学的抽奖 结果为什么会影响最后 一名同学抽到奖票的概 率呢? 思考 对于上面事件 和B,计算P?B | A ?的一般想 A 法是什么?

既然已经知道事件 必然发生 所以只需局限在 A , A 发生的范围内考虑问题 .在事件A发生的情况下事 件B发生, 等价于事件A和事件B同时发生即AB发 , 生.对于古典概型由于组成事件 的各个基本事件 , A 发生的概率相等因此其条件概率为 , n?AB? P?B | A ? ? . n?A ? 为了把条件概率推广到 一般情形 我们对上述公式作 , n?AB? n?AB? / n?Ω? P?AB? 如下变形: P?B | A ? ? ? ? . n?A ? n?A ? / n?Ω? P?A ? P?AB? 因此有P?B | A ? ? .这个式子已经不涉及古 典 P?A ? 概型 可以把它作为条件概率 , 的推广定义 .

P?AB? P?B | A ? ? P?A ?

一般地,设A,B为两个事件且P?A ? ? 0, 称 .

为在事件A发生的条件下, 事件B发生的 条件 概率 (conditional probability ).一般把P?B | A ? 读作A发生的条件下B的概率.
条件概率具有概率的性 , 任何事件的条件 质 概率都在0和1之间,即 0 ? P?B | A ? ? 1.
如果B和C是两个互斥事件 则 ,

P?B ? C | A ? ? P?B | A ? ? P?C | A ?.

例1 在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回 地依次抽取2道题, 求 ?1?第1次抽到理科题的概率 ; ?2?第1次和第2次都抽到理科题的概率 ; ?3?第1次抽到理科题的条件下第2次抽到理科题的概率 , . 解 设第 1 次抽到理科题为事件A,第2次抽到理科题为 事件B, 则第1次和第2次都抽到理科题的事件为AB.

?1?从5道题中不放回地依次抽出2道的事件为n?Ω? ?

2 A 5 ? 20. 根据分步乘法计数原理, n?A ? ? A1 ? A1 ? 12,于是 3 4 n?A ? 12 3 P?A ? ? ? ? . n?Ω? 20 5

?2?因为n?AB? ? A ? 6, 所以 n?AB? 6 3 P?AB? ? ? ? . n?Ω? 20 10 ?3?解法1 则?1??2?可得, 在第1次抽到理科题的条
2 3

件下,第2次抽到理科题的概率为 P?AB? 3 / 10 1 P?B | A ? ? ? ? . P?A ? 3/5 2

解法2 因为n?AB? ? 6, n?A ? ? 12, 所以 n?AB? 6 1 P?B | A ? ? ? ? . n?A ? 12 2 在实际应用中解法2是一种重要的求条件概 , 率的方法 .

例 2 一张储蓄卡的密码共有 位数字 每位 6 , 数字都可从0 ~ 9中任选一个某人在银行自 . 动提款机上取钱时忘记了密码的最后一位 , 数字.求 ?1? 任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对 的概率; ?2?如果它记得密码的最后 一位是偶数 不超 , 过 2次就按对的概率 .

解 设第i次按对密码为事件 i , ?i ? 1 2?, A , 则A ? A1 ? A1A 2 表示不超过2次就按 对密码.

?

?

?1?因为事件A1与事件A1A 2互斥,由概率
的加法公式得 P?A ? ? P?A1 ? ? P A1A 2

?

?

?2?用B表示最后一位按偶数的 ,则 事件 P?A | B? ? P?A1 | B? ? P?A1A 2 | B?
1 4 ?1 2 ? ? ? . 5 5? 4 5

1 9 ?1 1 ? ? ? . 10 10 ? 9 5

作业 :P60习题2.2A组(1—2)

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