上海交通大学附属中学2008-2009学年度第一学期高一数学期末试卷

上海交通大学附属中学 2008-2009 学年度第一学期高一数学期末试卷
一、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 1、 已知全集 U={0,1,2,3}且 ? U A ={2},则集合 A 的真子集共有________个。 解: (期中考试第 1 题)A={0,1,3},∴集合 A 的真子集共有 23-1=7 个。▋ 2、 已知 a>1,则不等式 a+ 解: a+
2 的最小值为___________。 a ?1

2 2 2 2 =a-1+ +1≥1+2 2 , 当且仅当 a-1= , 即 a=1+ 2 时等号成立。 ∴不等式 a+ a ?1 a ?1 a ?1 a ?1

的最小值为 1+2 2 。▋ 3、 不等式

6 ? 1 的解集为___________。 x?2 6 6 4? x ? 1 ,∴ ?1 ? ? 0 ,∴(x-4)(x+2)<0, x?2 x?2 x?2

解: (不等式单元测验第 17 题)∵ ∴解集为(-2,4)。▋

4、 已知 f(x)=x2+4x-6,若 f(2m)>f(m+1),则实数 m 的取值范围是___________。

5 解:(2m)2+4(2m)-6>(m+1)2+4(m+1)-6,∴3m2+2m-5>0,∴m∈(-∞, ? )∪(1,+∞)。▋ 3
5、 函数 f(x)=-x2+2(a-1)x+2 在(-∞,4)上为增函数,则 a 的范围是__________。 解: (函数性质单元测验第 8 题)对称轴 x=a-1≥4,∴a≥5。▋

1 6、 幂函数 y=f(x)的图像经过点( ,2),则 f(x)=__________。 8
? 1 1 解:设 f(x)=xk,∴ ( )k ? 2 ,∴ k ? log 1 2 = ? ,∴ f ( x) ? x 3 。▋ 8 3 8 1

7、 函数 f(x)= 1 ? 2 x ,反函数为 y= f ?1 ( x) ,则 f ?1 (9) =__________。 解:设 f ?1 (9) =a,∴f(a)=1+2a=9,∴a=3,即 f ?1 (9) =3。▋ 8、 已知 log23=m,试用 m 表示 log 6 9 =___________。 解: log 6 9 =
log 2 9 2 log 2 3 2m = = 。▋ log 2 6 1 ? log 2 3 1 ? m

9、 函数 y= ln(4 ? x) 的定义域为__________。 解:ln(4-x)≥0,∴4-x≥1,∴x≤3,∴函数的定义域为(-∞,3]。▋ 10、 已知函数 f(x)=2x,它的反函数为 y= f ?1 ( x) ,则方程 f(x)+ f ?1 ( x) =0 的解是______。 (按四舍五入精确到 0.1) (提示:利用二分法) 解:2x+log2x=0,x=0.4。▋

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11、 函数 y=-2x2+4x-1(x∈[0,3])的最大值是 M,最小值是 m,则 M-m=__________。 解: (一课一练 P80/7)y=1-2(x-1)2,∴M=1(当 x=1 时) ,m=-7(当 x=3 时) , ∴M-n=8。▋
x ? [0,1] ?1 12、 已知函数 f(x)= ? ,则不等式 f[f(x)]>0 的解集为________。 x ? [0,1] x ? 3 ?

解:[0,1]∪[3,4]∪(6,+∞)。▋

二、选择题: (本大题共 4 题,每题 3 分,满分 12 分) 13、 原命题“若 A∪B≠B,则 A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是 ( (A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 4 个 )

解: (集合单元测验第 3 题)否命题: “若 A∪B=B,则 A∩B=A”为真命题;逆否命题: “若 A∩B=A, 则 A∪B=B”为真命题。因此逆命题与原命题也为真命题。∴选(D)。▋ 14、若 a<b<0,则下列关系中不能成立的是 (A)
1 1 ? a b

( (D) a2>b2

)

(B)

1 1 ? a?b a

(C) |a|>|b|

解:取 a=-2,b=-1,∴ 选(B)。▋

1 1 1 ? ?1 ? ? ? ,∴(B)不能成立。其余(A)、(C)、(D)都能证明,证明略。∴ a ?b 2 a

y

y

y O x

y O
( )

x

15、 函数 f(x)=

x ?1 1 1 解: (课本 P81-82 例 4)f(x)= ,可由函数 y ? 右移 2 个单位再上移 1 个单位而得。∴ ?1? x?2 x?2 x

O

x ?1 的大致图像是 x?2

x

O

x (C) (D)

(A)

(B)

选(A)。▋ 16、 下列对数运算中,一定正确的是 (A) lg(M+N)=lgM· lgN (C) lnMn=nlnM (B) lg(M· N)=lgM+lgN (D) logab=
lg b lg a

(

)

解:(A)显然错误;取 M=-2,N=-1,发现(B)不成立;取 M=-2,n=2,发现(C)不成立;(D)一定正确。 ∴选(D)。▋
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三、解答题: (本大题共 5 题,满分 40 分) 17、 (本题满分 6 分)
?| x ? 2 |? 3 解不等式组 ? 2 (答案用区间表示) 。 ? x ? 4 x ? 3≥ 0

解:|x-2|<3,∴-3<x-2<3,∴x∈(-1,5)。 x2-4x+3=(x-1)(x-3)≥0,∴x∈(-∞,1]∪[3,+∞)。 ∴原不等式组的解集为(-1,1]∪[3,5)。▋

?2 分 ?2 分 ?2 分

18、 (本题满分 6 分) 已知全集 U=R, 集合 A={x∣x≤a-1}, 集合 B={x∣x>a+2}, 集合 C={x∣x<0 或 x≥4}。 若 ?U ( A B) ? C , 求实数 a 的取值范围。 解: (练习册 P11 第 8 题) 显然 a-1<a+2,∴ ?U ( A B) =(a-1,a+2], 为使 ?U ( A B) ? C 成立,∴①a+2<0,解得 a<-2; ②a-1≥4,解得 a≥5。 综上,∴a∈(-∞,-2)∪[5,+∞)。▋ ?2 分 ?2 分 ?2 分

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19、 (本题满分 8 分,其中第一小题满分 4 分,第二小题满分 4 分) 小张在淘宝网上开一家商店,他以 10 元每条的价格购进某品牌积压围巾 2000 条。定价前,小 张先搜索了淘宝网上的其它网店,发现: A 商店以 30 元每条的价格销售,平均每日销售量为 10 条; B 商店以 25 元每条的价格销售,平均每日销售量为 20 条。假定这种围巾的销售量 t(条)是售价 x (元) (x∈Z+)的一次函数,且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响。 (1)试写出围巾销售每日的毛利润 y(元)关于售价 x(元) (x∈Z+)的函数关系式(不必写出定义 域) ,并帮助小张定价,使得每日的毛利润最高(每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的 差价) ; (2)考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为 200 元/天(只要围巾没有售完,均须支付 200 元/天,管 理、仓储等费用与围巾数量无关) ,试问小张应该如何定价,使这批围巾的总利润最高(总利润=总毛利润 -总管理、仓储等费用)?
?k ? 30 ? b ? 10 解:设 t=kx+b,∴ ? ,解得 k=-2,b=70,∴t=70-2x。 ?k ? 25 ? b ? 20

?1 分 ?1 分 ?2 分

(1)y=(x-10)· t=(x-10)· (70-2x)=-2x2+90x-700, ∵

90 1 ? 22 ? ,∴围巾定价为 22 元或 23 元时,每日的利润最高。 2?2 2

(2)设售价 x(元)时总利润为 z(元) ,

2000 ∴z=2000· (x-10)-200· 70 ? 2 x
=2000· (25-((35-x)+ 当 35-x=
100 100 ))≤2000· (25- 2 (35 ? x) ? )=10000 元。 35 ? x x ? 35

?1 分 ?1 分 ?1 分 ?1 分

100 时,即 x=25 时,取得等号。 x ? 35

∴小张的这批围巾定价为 25 元时,这批围巾的总利润最高。▋

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20、 (本题满分 10 分,其中第一小题满分 3 分,第二小题满分 4 分,第三小题满分 3 分)

1 1 1 给出集合 A={-2,-1, ? , ? , ,1,2,3}。已知 a∈A,使得幂函数 f(x)=xa 为奇函数;指数函 2 3 2
数 g(x)=ax 在区间(0,+∞)上为增函数。 (1)试写出所有符合条件的 a,说明理由; (2)判断 f(x)在(0,+∞)的单调性,并证明; (3)解方程:f[g(x)]=g[f(x)]。 解: (1)a=3。 ?1 分

∵指数函数 g(x)=ax 在区间(0, +∞)上为增函数, ∴a>1, ∴a 只可能为 2 或 3。 而当 a=2 时, 幂函数 f(x)=x2 为偶函数,只有当 a=3 时,幂函数 f(x)=x3 为奇函数。 (只需简单说明理由即可,无需与答案相同) ?2 分

(2)f(x)=x3 在(0,+∞)上为增函数。 证明:在(0,+∞)上任取 x1,x2,x1<x2,

?1 分

1 3 2 3 3 2 f(x1)-f(x2)= x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )( x12 ? x1 x2 ? x2 ) = ( x1 ? x2 )[( x1 ? x2 )2 ? x2 ], 2 4
∵x1<x2,∴x1-x2<0, ( x1 ?

1 2 3 2 x2 ) ? x2 >0,∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2)。 2 4
?3 分

∴f(x)=x3 在(0,+∞)上为增函数。

(3)f[g(x)]=(3x)3=33x,g[f(x)]= 3x ,∴33x= 3x , 根据指数函数的性质,得 3x=x3,∴x1=0,x2= 3 ,x3= ? 3 。▋

3

3

?2 分 ?1 分

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21、 (本题满分 10 分,其中第一小题满分 3 分,第二小题满分 4 分,第三小题满分 3 分) 集合 Mk ( k ≥ 0 )是满足下列条件的函数 f(x) 全体:如果对于任意的 x1 , x2 ∈ (k , + ∞ ) ,都有 f(x1)+f(x2)>f(x1+x2)。 (1)函数 f(x)=x2 是否为集合 M0 的元素,说明理由; (2)求证:当 0<a<1 时,函数 f(x)=ax 是集合 M1 的元素; (3)对数函数 f(x)=lgx∈Mk,求 k 的取值范围。 解: (1)取 x1=2,x2=3∈(0,+∞), f(x1)=22=4,f(x2)=32=9,f(x1+x2)=52=25>f(x1)+f(x2), ∴函数 f(x)=x2 不是集合 M0 的元素。 ?1 分 ?1 分 ?1 分

(2)证明:任取 x1,x2∈(1,+∞), f(x1)+f(x2)-f(x1+x2)= a x1 ? a x2 ? a x1 ? x2 = 1 ? (1 ? a x1 )(1 ? a x2 ) , ∵0<a<1,x1>1,根据指数函数的性质,得 0 ? a x1 ? 1 ,∴ 0 ? 1 ? a x1 ? 1 , 同理, 0 ? 1 ? a x2 ? 1 ,∴ 0 ? (1 ? a x1 )(1 ? a x2 ) ? 1 ,∴ 1 ? (1 ? a x1 )(1 ? a x2 ) ? 0 。 ∴f(x1)+f(x2)>f(x1+x2),∴函数 f(x)=ax 是集合 M1 的元素。 ?2 分 ?1 分 ?1 分

(3)∵对数函数 f(x)=lgx∈Mk,∴任取 x1,x2∈(k,+∞),f(x1)+f(x2)>f(x1+x2)成立, 即 lgx1+lgx2=lg(x1· x2)>lg(x1+x2)成立, ∴x1· x2>x1+x2 对一切 x1,x2∈(k,+∞)成立, ∴1 ?
1 1 ? 对一切 x1,x2∈(k,+∞)成立, x1 x2 1 1 2 ? ∈(0, ), x1 x2 k

?1 分

∵x1,x2∈(k,+∞),∴ ∴

2 ≤1,∴k≥2。▋ k

?2 分

★第(1)题中,只要出现(0,+∞)或 R+,即可得 1 分;第(2)题中,只要出现比差或比商,即可得 1 分。

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