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1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算

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课标要求 素养达成

1.理解弧度制的定义,体会弧度也是度量角的单位. 2.掌握角度与弧度的换算公式,并能熟练地进行角度与弧 度的换算,熟记特殊角的弧度数. 3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式,会用弧长公 式、扇形面积公式解决有关问题.
通过学习弧度制,使学生了解不同单位的相互转化是经常 用到的,同时使学生养成用弧度制表示角的大小并进行运 算的习惯.

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知识探究
1.度量角的单位制 (1)角度制
1
用度作单位来度量角的制度叫做 角度制 ,规定周角的 360 为 1 度的角.其中
60 分等于 1度 ,60 秒等于 1分 .

(2)弧度制 长度等于 半径 长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作 1 rad .以
弧度 为单位来度量角的制度叫做弧度制.
2.弧度数与弧长、半径的关系
l
在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对圆心角为α rad,则α = r . 3.角度与弧度的换算
(1)将角度化为弧度: 360°= 2π rad,180°= π rad;
π
1°= 180 rad≈0.01745 rad.

(2)将弧度化成角度:
2π rad= 360° ,π rad= 180°;

1

rad=

? ??

180 π

? ??

°≈

57.30° = 57°18′.

4.弧长公式与扇形面积公式

扇形的半径为r,弧长为l,α 为圆心角. 弧长l= α ·r ,

扇形面积 S= 1 lr=

1 ar2 2

.

2

【拓展延伸】 1.角度制与弧度制的比较

角度制

弧长等于圆周长的 1 的弧 360
所对圆心角的大小

与半径 无关

单位 不能 省略

十进制或六 十进制

弧度制

长度等于半径长的弧所对的 圆心角的大小

与半径 无关

单位 可以 十进制 省略

温馨提示:弧度和角度是不同的计量单位,在同一个表达式中,二者不能

混用.

2.扇形的弧长与面积公式 (1)由上述公式可知,由α 、r、l、S中的两个量可以求出另外的两个量, 即知二求二. (2)运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式明显比角度制下的公式简 单得多,但要注意它的前提是α 为弧度制.
(3)在运用公式时,还应熟练地掌握这两个公式的变形运用:
①α = l ,r= l ; r?
②α = 2S . r2

自我检测
1.若α=-10 rad,则角α是( B ) (A)第一象限的角 (B)第二象限的角 (C)第三象限的角 (D)第四象限的角
解析:因为-10 rad≈-10×57.30°=-573°=-720°+147°,故角α为 第二象限的角.

2.-300°的弧度数是( D )

(A)- π 6

(B)- π 3

(C)- 5π 6

(D)- 5π 3

解析:-300°=-300× π rad=- 5 πrad,故选 D.

180

3

3.集合{α|-π<α<π}∩{β|β= kπ -π ,k∈Z}为( C )
25

(A){-π , 3π } 5 10

(B){- 7π , 4π } 10 5

(C){- 7π ,-π , 3π , 4π } 10 5 10 5

(D){ 3π , 7π } 10 10

解析: kπ -π = ?5k ? 2?π ,由-π< ?5k ? 2?π <π,可得- 8 <k< 12 ,又 k∈Z,所以

2 5 10

10

55

k=-1,0,1,2,对应角为- 7π ,-π , 3π , 4π ,故选 C. 10 5 10 5

4.已知扇形的周长是8 cm,圆心角是2 rad,则该扇形的面积是

.

解析:设扇形的半径为 r,弧长为 l,则由题意知,

?8 ??l

?l ?2

? 2r ?r

所以可解得

r=2,l=4,

所以扇形的面积 S= 1 l·r= 1 ×4×2=4 (cm2).

2

2

答案:4 cm2

课堂探究·素养提升
类型一 弧度制的概念 【例1】 下列各命题中,真命题是( ) (A)一弧度就是一度的圆心角所对的弧 (B)一弧度是长度为半径的弧 (C)一弧度是一度的弧与一度的角之和 (D)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位
思路点拨:将一弧度的角的定义与各选项比较,排除错误选项,选出正确 选项. 解析:由1弧度角的定义可知,A、B、C不正确,应选D.

方法技巧 弧度制是用“弧度”来度量角的一种度量制度,基本单位为 “弧度”,无辅助单位.不要受角度制的思维定势,注意理解弧度的意义, 逐步体会弧度制的合理性及优越性.

变式训练1-1:下列命题中,假命题是( )

(A)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

(B)1°的角是周角的 1 ,1 rad 的角是周角的 1

360



(C)1 rad 的角比 1°的角要大

(D)用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关

解析:考虑角度制与弧度制的定义,可知角度制与弧度制都与角所在圆 的半径的大小无关,故应选D.

类型二 角度制与弧度制的互化

【例 2】 设角α 1=-570°,α 2=750°,β 1= 3π ,β 2=- 7π .

5

3

(1)将α 1、α 2用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的象限.

(2)将β 1、β 2用角度制表示出来,并在-720°~0°之间找出与它们有相同

终边的所有角.

思路点拨:本题实质是角度制与弧度制的转化问题,要注意转化依据2π =360°.

解:(1)因为 180°=π,

所以-570°=-570× π =- 19π . 180 6

所以α1=- 19 π=-2×2π+ 5π .

6

6

因为 750°=750× π = 25 π, 180 6

所以α2= 25 π=2×2π+π .

6

6

所以α1 是第二象限角,α2 是第一象限角.

(2)β1= 3π =( 3π × 180 )°=108°. 55π

设θ=k·360°+β1(k∈Z),
由-720°≤θ<0°, 所以-720°≤k·360°+108°<0°(k∈Z). 所以 k=-1 或-2. 所以在-720°~0°之间与β1 有相同终边的角为-252°和-612°.

β2=- 7π =-( 7π × 180 )°=-420°,

3



因为-420°=-360°-60°,

故在-720°~0°间与β2 有相同终边的角是-60°.

方法技巧 (1)熟练进行角度与弧度的互化,应用度数× π =弧度数,弧度数×
180

( 180 )°=度数.对于特殊角更要准确、熟练.如 30°= π ,45°= π ,60°= π ,

π

6

4

3

90°= π ,120°= 2π ,135°= 3π ,150°= 5π ,180°=π,270°= 3π ,360°=2π等.

2

3

4

6

2

(2)在某一指定范围内求某种特性的角:①解不等式求对应k的值;②将k赋

值找出相应的角.

变式训练2-1:(1)(2017·山西应县一中月考)-300°化为弧度是( )

(A)- 4π (B)- 5π

3

3

(C)- 2π (D)- 5π

3

6

解析:(1)-300× π =- 5 π,选 B. 180 3

(2)(2017·河南郑州月考)下列与 9π 的终边相同的角的表达式中正确的是( ) 4
(A)2kπ +45°(k∈Z) (B)k·360°+ 9 π (k∈Z)
4 (C)k·360°-315°(k∈Z) (D)kπ + 5π (k∈Z)
4

解析:(2)选项 A,B 度数与弧度数混写,C 选项

中,k·360°-315°=(k-1)·360°+45°=2mπ+ π , 4
因为 k∈Z,所以 k-1∈Z,m∈Z,正确. 对于 D,当 k=2m+1(m∈Z)时,

kπ+ 5π =2mπ+ 9π (m∈Z)与已知角终边相同,

4

4

当 k=2m(m∈Z)时,与 5π 角终边相同.故选 C. 4

类型三 扇形的弧长与面积公式的应用 【例3】 解答下列各题. (1)已知一扇形的圆心角是72°,半径为20,求扇形的面积; (2)已知一扇形的周长为4,当它的半径和圆心角取何值时,扇形面积最大?最 大是多少?

思路点拨:由 l=α·r 及 S= 1 l·r 单独应用或联立可知二求一.

2

解:(1)设扇形弧长为 l,因为 72°=72× π = 2 π rad,所以 l=α·r= 2 π×20=

180 5

5

8π,于是 S= 1 l·r= 1 ·8π·20=80π.

2

2

(2)设扇形圆心角的弧度数、半径、弧长、面积分别为α、r、l、S.则 l+2r=4.

所以 l=4-2r( 2 <r<2), π

所以 S= 1 lr= 1 ×(4-2r)×r=-r2+2r. 22

所以当

r=-

2
2? ??1?

=1

时,S

最大,且

Smax=1.

此时α= l = 4 ? 2 ?1 =2 rad. r1

方法技巧 灵活应用扇形弧长、面积公式列方程组求解是解决这类问题的 关键,同时应注意函数思想、转化思想的应用,本题只需将扇形面积表示为 半径的函数,即转化为关于r的二次函数问题.

变式训练3-1:(2017·河北衡水中学月考)已知扇形的周长是10 cm,面积是

4 cm2,则扇形的半径是

.

解析:设半径 r,弧长 l,由已知



?l ? 2r

?

?1 ?? 2

lr

?

? 10, 4,

解得

?l ??r

? 8, ?1



?l ?? r

? ?

2, 4,

其中 l=8 且 r=1 时,α= l =8>2π,舍去, r
所以 l=2,r=4.
答案:4 cm

类型四 易错辨析—混淆角的单位

【例4】 已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,则弧AB的长为

.

错解:弧AB的长l=120×6=720. 答案:720 纠错:在运用弧长公式时,混淆了角度与弧度的概念.

正解:因为∠AOB=120°= 120 π= 2 π,所以 l=6× 2 π=4π.

180 3

3

答案:4π

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