江苏省江都中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学试题


江苏省江都中学 2012—2013 学年度第一学期期中考试
高二数学试卷
一、填空题: (每小题 5 分,共 70 分) 1、命题 “对任意 x ? R ,有 x ? 1 ≥ 2 x ”的否定是
2

. . 。 ____

2、若直线 (a ? 2a) x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为钝角,则实数 a 的取值范围是 3、 L1: 过 x-y-9=0 和 L2: x+y+1=0 的交点, 且平行于 L3: x+2y-5=0 的直线方程为
2

4、经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C,且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是___
2 2

5、“ a ? 3 ”是“直线 ax ? 2 y ? 2a ? 0 和直线 3x ? (a ? 1) y ? a ? 7 ? 0 平行”的____ ___条件 (填充分而不必要、必要而不充分、充要、既不充分又不必要) 6、如果实数 x、y 满足等式 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ,则

y 最大值____ ________ 。 x
___。

7、椭圆 2x2 ? 3 y 2 ? 12 的两焦点之间的距离为______

2 8 、 已 知 圆 ( x ? a) ? ( y ? b2) ? 2的 圆 心 为 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 焦 点 , 且 与 直 线 r 3x ? 4 y ? 2 ? 0 相切,则该圆的标准方程为_____ __

x2 y 2 ? ? 1 上一点 M 到左焦点 F1 的距离是 2, N 是 MF1 的中点, O 为坐标原点, 9、椭圆 25 9 则 ON ? .
x2 ? 1 的上焦点为圆心,离心率为半径的圆的标准方程是_________ 3 11、抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上一点 P(m,1)到焦点距离为 5,则抛物线方程 为_______ ___ 12、已知方程 mx+3m= 4-x2有两个不同的实数解,则实数m的取值范围是____ _____。 13、下列命题中,真命题是_____ ________(写出所有真命题的序号) . x0 x 2 ① ?x0 ? R , 3 ≤ 0 ② ?x ? R , 2 > x ③ a >1, b >1 是 ab >1 的充分条件
10、以双曲线 y 2 ? ④ b ? ac 是 a , b , c 成等比数列的充要条件 14、如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1 ,点 M 在棱 AB 上, 1 且 AM ? ,点 P 是平面 ABCD 上的动点,且动点 P 到直线 A1 D1 3 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1 ,则动点 P 的轨迹是 _______ _____ ①.圆 ②.抛物线 ③.双曲线 ④.直线 二:解答题:
2

| 15、本小题满分 14 分) ( 已知 p:1 ?

x ?1 |? 2 , x 2 ? 2x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) , ?p是?q q: 若 3

的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围。

0) 16、 (本小题满分 14 分)直角三角形 ABC 的顶点坐标 A( ?2, ,直角顶点 B(0, ?2 2) ,顶点 C 在 x 轴上 (Ⅰ)求 BC 边所在直线方程; (Ⅱ) M 为直角三角形 ABC 外接圆的圆心,求圆 M 的方程;

17、 (本小题满分 15 分)抛物线 y ? 4 x 上有两个定点 A、 B 分别在对称轴的上、下两侧,
2

F 为抛物线的焦点,并且 FA ? 2, FB ? 5 。 (1)求直线 AB 的方程;

(2)在抛物线 AOB 这段曲线上求一点 P ,使 ?PAB 的面积最大,并求最大面积.(其中 O 为坐标原点) 18、 (本小题满分 16 分) 一束光线从点 F1 (?1,0) 出发, 经直线 l : x ? 2 y ? 6 ? 0 上一点 M 反 射后,恰好穿过点 F2 (1, 0) . (1) 求点 F1 关于直线 l 的对称点 F1? 的坐标; (2) 求以 F1、F2 为焦点且过点 M 的椭圆 C 的方程; (3) 若 P 是(2)中椭圆 C 上的动点,求 PF ? PF2 的取值范围. 1

y2 ? 1. 19、 (本小题满分 15 分)已知双曲线 x ? 3 (1) 若一椭圆与该双曲线共焦点,且有一交点 P(2,3) ,求椭圆方程. (2) 设(1)中椭圆的左、 右顶点分别为 A 、B , 右焦点为 F , 直线 l 为椭圆的右准线,N 为 l 上的一动点, 且在 x 轴上方, 直线 AN 与椭圆交于点 M. 若 AM ? MN ,求 ?AMB 的
2

余弦值; (3) 设过 A、F、N 三点的圆与 y 轴交于 P、Q 两点,当线段 PQ 的中点为 (0,9) 时, 求这个 圆的方程. 20、 (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2. (1)当 1 ? x ? m时,不等式 ( x ? 3) ? x恒成立, 求实数 m 的最大值; f (2)在曲线 y ? f ( x ? t ) 上存在两点关于直线 y ? x 对称,求 t 的取值范围; (3)在直线 y ? ?

1 上取一点 P, 过点 P作曲线 y ? f ( x ? t ) 的两条切线 l1、l2,求证: 4

l1⊥l2

(第 19 题图)

江苏省江都中学 2012—2013 学年度第一学期期中考试
高二数学试卷答案
一、填空题: 1、 ?x ? R ,使得 x ? 1 ? 2 x
2

2、 (?2, 0) 5、充分而不必要条件 8、 ( x ?1) ? y ? 1
2 2

3、x+2y+6=0 6、 3 9、4 2 12、 [0, 5) 5

4、 x ? y ? 1 ? 0 7、 2 2 10、 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 13、③ 二:解答题: 15、解:∵p: | 1 ?

11、 x 2 ? 16y 14、②

x ?1 x ?1 ? 3 ? x ?1 ? 9 |? 2 ∴ ? 2 ? ?1 ? 2 ∴ 3 3 ∴ p: ? 2 ? x ? 10 ----------------------------------------------4 分 又 q: ?x ? ?1 ? m???x ? ?1 ? m?? ? 0 ∴ q: 1 ? m ? x ? 1 ? m ----------------------------------------------4 分 又∵ ?p是?q 的充分不必要条件 ∴ ?p ? ?q ∴ q ? p -------------3 分

?1 ? m ? 10 ? ∴ ?1 ? m ? ?2 ?不同时取等于号 ?
0) 16、解: (1) ∵ A( ?2, , B(0, ?2 2)

∴0 ? m ? 3

------------------------3 分

∴ k AB ? ? 2

k BC ?

2 2

(2)

∴BC 边所在直线方程: x ? 2 y ? 4 ? 0 -------------------------------7 分 ∵直角三角形 ABC ,圆心为斜边的中点,半径为斜边的一半。 ∴圆 M 的方程: ?x ? 1? ? y 2 ? 9
2

-------------------------------7 分

17、解: (1)由已知得 F (1,0) ,设点 A 坐标为 ( x1 , y1 ) ,由 FA ? 2 得 x1 ? 1 ? 2, x1 ? 1 , 所以 A(1, 2) 同理 B(4, ?4) 所以直线 AB 的方程为 2 x ? y ? 4 ? 0 . ----------------------------6 分 (2)设在抛物线 AOB 这段曲线上任一点 P( x0 , y0 ) ,且 ? 4 ? y0 ? 2

则点 P 到直线 AB 的距离 d ?

2 x0 ? y0 ? 4

1? 4 9 5 所以当 y0 ? ?1 时, d 取最大值 , 10 又 AB ? 3 5

?

2 y0 2 ? ? y0 ? 4 4

5

1 9 ( y0 ? 1)2 ? 2 2 ? 5

---------------------------4 分 ---------------------------2 分

所以 ?PAB 的面积最大值为 S ? 此时 P 点坐标为 ( ,?1) .

1 9 5 27 ?3 5 ? ? , 2 10 4
---------------------------3 分

1 4

18、解:(1) 设 F ?( x0 , y0 ) ,则 1

x ?1 y y0 ? 2? 0 ? 6 ? 0, ?2且 0 2 2 x0 ? 1

解得 x0 ? ?3, y0 ? ?4 ,故点 F1? 的坐标为 (?3, ?4) . (2) 由对称性知, MF ? MF ? ,根据椭圆定义,得 1 1

---------------------------5 分

2a ?| MF1?| ? | MF2 |?| F1?F2 | ? (?3 ? 1) 2 ? (?4 ? 0) 2 ? 4 2 ,即 a ? 2 2 .
∵ c ? 1 ,∴ b ? a2 ? c2 ? 7 .

x2 y 2 ? ? 1. ---------------------------5 分 8 7 7 2 2 (3) 设 P ( x, y ) ,则 y ? 7 ? x , 8 ???? ???? ? 1 2 2 2 ∴ PF1 ?PF2 ? (?1 ? x, ? y ) ? (1 ? x, ? y ) ? x ? y ? 1 ? x ? 6 . 8 2 ∵ x ?[?2 2, 2 2] ,则 x ?[0,8] ,
∴椭圆 C 的方程为 ∴ PF ? PF2 的取值范围是 [6, 7] . 1 19、解:(1)? 双曲线焦点为 (?2, 0) ,设椭圆方程为 ---------------------------6 分

x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2 ?a 2 ? b2 ? 4, ? 则? 4 9 ? 2 ? 2 ? 1. ?a b

? a2 ? 16, b2 ? 12 .
x2 y 2 ? ?1 16 12













.

--------------------------5 分

(2) 由已知, A(?4, 0), B(4, 0), F (2, 0), 直线 l 的方程为 x ? 8 .设 N (8, t )(t ? 0). t ? AM ? MN , M ( 2, ) 2 由点 M 在椭圆上,得 t ? 6. 故所求的点 M 的坐标为 M(2, 3). ??? ? ???? ??? ???? ? 所以 MA ? (?6, ?3), MB ? (2, ?3), MA? MB ? ?12 ? 9 ? ?3 . ???? ???? MA ? MB ?3 65 ------------------------5 分 cos ?AMB ? ???? ???? ? ?? . 65 36 ? 9 ? 4 ? 9 MA ? MB
(3) 设圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0, 将 A、F、N 三点坐标代入,得

? D ? 2, ?16 ? 4 D ? F ? 0, ? 72 ? ? 得 ? E ? ?t ? , ?4 ? 2 D ? F ? 0, t ?64 ? t 2 ? 8 D ? Et ? F ? 0, ? ? ? F ? ?8. ? 72 72 2 2 2 圆的方程为 x ? y ? 2 x ? (t ? ) y ? 8 ? 0, 令 x ? 0, 得 y ? (t ? ) y ? 8 ? 0. t t 72 72 t? ? (t ? ) 2 ? 32 t t . 设 P(0, y1 ),Q(0, y2 ) ,则 y1,2 ? 2

72 ? 18 . t 此时,所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? 2x ?18 y ? 8 ? 0. ----------------------5 分 ?y ? x 20、解: (1)直线 y=x 与曲线 y ? f ( x ? 3) 的交点可由 ? ? x 2 ? 5x ? 4 ? 0 2 ? y ? ( x ? 2) 求得交点为(1,1)和(4,4) ,此时 y ? f ( x ? 3) 在区间[1,4]上图象在直线 y=x 的 下面,即 f ( x ? 3) ? x 恒成立,所以 m 的最大值为 4。 --------------------------5 分 (2)设曲线上关于直线 y=x 的对称点为 A( x1 , y1 )和 B( x2 , y2 ) ,线段 AB 的中点 M( x0 , y0 ) ,直线 AB 的方程为: y ? ? x ? b.
由线段 PQ 的中点为 (0,9) ,得 y1 ? y2 ? 18, t ?

? y ? ( x ? t ? 1) 2 ? x 2 ? (2t ? 3) x ? (t ? 1) 2 ? b ? 0 ? ? y ? ?x ? b ? ? (2t ? 3) 2 ? 4[(t ? 1) 2 ? b] ? 4t ? 5 ? 4b ? 0 (1) 2t ? 3 2t ? 3 x1 ? x 2 ? ?2t ? 3, x0 ? ? , y 0 ? ? x0 ? b ? ?b 2 2 又因为 AB 中点在直线 y=x 上,所以 y0 ? x0 , 7 得 b ? ?2t ? 3, 代入 (1)式, 得t ? ? . --------------------------6 分 4 1 1 (3)设 P 的坐标为 (a,? ) ,过 P 的切线方程为: y ? ? k ( x ? a) ,则有 4 4 2 ? y ? ( x ? t ? 1) 1 ? ? x 2 ? [2(t ? 1) ? k ]x ? (t ? 1) 2 ? ka ? ? 0 ? 1 4 ? y ? ? k ( x ? a) 4 ? 1 ? ? [2(t ? 1) ? k ] 2 ? ?4[( t ? 1) 2 ? ka ? ] ? k 2 ? 4(t ? 1 ? a)k ? 1 ? 0, 4 2 直线 l1 , l 2的斜率k1 和k 2的方程k ? 4(t ? 1 ? a)k ? 1 ? 0 的两根, 则 k1 ? k 2 ? ?1, 所以l1 ? l 2 . --------------------------5 分


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