数列基础知识&例题讲解_图文

第六章 数列
第一节 数列的概念

一.数列及其有关的概念
(1)数列的定义:按照一定次序排列的一列数. (2)项: 数列中的每一个数叫做这个数列的项,第1项称 作首项,若是有穷数列,最后一项叫做末项.
(3)数列的表示: 从函数的观点看:数列是以定义域为 N ? 的函数f(n), 当自变量从n从1开始依次取正整数时,对应的一列函 数值为f(1),f(2),…,f(n),…, 通常用 an 代替f(n). 于是数列的一般形式为:a1 , a2 , a3 ,..., an ,... 简记为 {an }

其中 an 是数列 {an } 的第n项.

一.数列及其有关的概念
(4)数列的通项公式:
一个数列{an }的第n项 an 与项数n之间的函数关系,如 果可以用一个公式 an ? f (n) 来表示,我们就把这个 公式叫做这个数列的通项公式. (5)数列的分类: ①按照项数的有限还是无限来分:有穷数列、无穷数列.

②按照项与项之间的大小关系来分:递增数列、递减数 列、摆动数列、常数数列.

二.已知

(1)数列 an 及数列前n项和 Sn 之间的关系:

Sn 求 an

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ???? ? an , an ?

{S ? S
n

S1 (n ? 1),
n ?1

(n ? 2).

注:由 Sn 求 an 时要注意三点: ①要重视分类讨论的应用,分 n ? 1 和 n ? 2两种情况讨论, 特别要注意的是由 Sn ? Sn?1 ? an 推出 an 的时候 n ? 2 . ②由 Sn ? Sn?1 ? an 推出的 an 当 n ? 1 时,a1合适“ an 式”, 则数列的通项公式需要统一“合写”.

③由 Sn ? Sn?1 ? an 推出的 an 当 n ? 1 时,a1不合适“ an 式”, 则数列的通项公式应分段表示.

三.数列的递推公式
如果已知数列{an }的第一项(或者前几项),且从第二项 (某一项)开始的任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几 (n ? 2, n ? N? )间的关系可以用一个公式表示,那么这 项) 个公式就叫做这个数列的递推公式.
? 例如:a1 ? 1, an ? 2an?1 (n ? 2, n ? N )

例题讲解
1 2 n ?1 (1)2014, 2016, 2018, 2020, 2022; (2)0, 2 , 3 , ???, n , ???; n ?1 1 1 1 2 3 ( ? 1) ?n (3)1, , , ???, n ?1 , ???; (4)1, ? , , ???, , ???; 2 4 2 3 5 2n ? 1 n? (5)1, 0, ?1, ???,sin , ???; (6)9,9,9,9,9,9. 2
(1)(6) 其中,有穷数列是: 无穷数列是: (2)(3)(4)(5) 递增数列是: (1)(2) 递减数列是: ( 3) 摆动数列是: (4)(5) 常数列是: ( 6) 类型一:数列的分类 【例1】已知下列数列:

例题讲解
类型二:由数列的前几项写出数列的一个通项公式 【例2】书P73例题1: 【规律总结】 (1)充分观察项,如果有分式,则同时观察分式中分子 分母的特征,进行恰当的变形,寻找分子、分母各自规律 以及分子、分母间的关系. (2)对于正负符号的变化,可用 (?1) n 和 (?1)n?1来调整.

例题讲解
类型三:通项公式的简单应用 2 n 【例3】已知数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 (1)写出该数列的第4项和第7项;

n ?1

.

9 1 (2)试判断 和 是否是该数列中项,若是,求出它是第 10 10
几项,若不是说明理由.

例题讲解

类型四:已知 Sn 求 an 【例4】书P74例题2

S1 (n ? 1), an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2). 注:由 Sn 求 an 时要注意三点: ①要重视分类讨论的应用,分 n ? 1 和 n ? 2两种情况讨论, 特别要注意的是由 Sn ? Sn?1 ? an 推出 an 的时候 n ? 2 . ②由 Sn ? Sn?1 ? an 推出的 an 当 n ? 1 时,a1合适“ an 式”,
则数列的通项公式需要统一“合写”.

{

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ???? ? an?1 ? an Sn?1 ? a1 ? a2 ? a3 ???? ? an?1

③由 Sn ? Sn?1 ? an 推出的 an 当 n ? 1 时,a1不合适“ an 式”, 则数列的通项公式应分段表示.

例题讲解
☆类型五:由递推关系求通项 an?1 ? 3an ? 1,试求数列 {an } 的通项 【例1】已知 a1 ? 1 , 公式. 【技巧】: ①已知首项 a1 ? a ,递推关系为 an?1 ? qan ? b(n ? N ? ) :

☆求数列 {an } 的通项公式的关键是将 an?1 ? qan ? b转化
为 an?1 ? m ? q(an ? m) ,其中m 的值可以用待定系数法确

定,即 qan ? b ? an ?1

1 【跟1】已知 a1 ? , an?1 ? 2an ? 1,试求数列 {an } 的通项 2 公式.

b ? qan ? (q ? 1)m ? m ? (q ? 1) q ?1

例题讲解
☆类型五:由递推关系求通项 an ? an?1 ? (2n ?1),试求数列 {an }的 【例2】已知 a1 ? 0 , 通项公式. 【技巧】: ②已知 a1 ? a且 an ? an?1 ? f (n) ,可用“迭加法”,即:

an ? an?1 ? f (n) an?1 ? an?2 ? f (n ?1) ??? a3 ? a2 ? f (3) a2 ? a1 ? f (2)

所有式子左右两边分别相加得:

(an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ??? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? f (n) ? f (n ? 1) ? ??? ? f (3) ? f (2)

即: an ? a1 ? f (n) ? f (n ?1) ???? ? f (3) ? f (2)

例题讲解
☆类型五:由递推关系求通项 【例3】已知 a1 ? 1 ,nan ? (n ? 1)an?1 ,试求数列 {an }的 通项公式. 【技巧】:

an ③已知 a1 ? a且 ? f (n) 可用“迭乘法”,即: an?1 an 所有式子左右两边分别相乘得: ? f ( n) an an ?1 a3 a2 an?1 ? ???? ? ? an?1 an?1 an?2 a2 a1 ? f (n ? 1) an?2 f (n) ? f (n ? 1) ??? f (3) ? f (2) ??? a3 即: ? f (3) a2 an ? a1 ? f (n) ? f (n ?1) ??? f (3) ? f (2) a2 ? f (2) a1

第六章 数列
第 二节 等差数列及其前n项和

一.等差数列及其相关概念

(1)等差数列的定义: 一般地,如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数 列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差, 公差常用字母d表示. 定义的表达式为:an ? an?1 ? d (n ? N ? , n ? 2)

an?1 ? an ? d (n ? N ? ) (2)等差中项: 如果三个数a、A、b成等差数列,则A叫 做a和b的等差中项,即: a?b A? 2
在等差数列中,从第2项起,每一项都是它的前一项 与后一项的等差中项,即:

2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N ? )

一.等差数列及其相关概念
an ? a1 ? (n ?1)d (3)等差数列的通项公式: an ? am ? (n ? m)d an , am 必须是数列中的项. 其中,m,n大小任意,但是,
(4)等差数列的前n项和公式(由倒序相加得到):

n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

二.等差数列的性质与应用
(1)若公差d>0,则此数列是递增数列;若d<0,则此数列 是递减数列;若d=0,则此数列是常数列. (2)有穷数列中,与首末两项距离相等的两项和相等, 并且等于首末两项之和,即:

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ???
(3)在等差数列中若 m, n, p, k ? N ? ,且 m ? n ? p ? k , 则:am ? an ? ap ? ak 特别的,当 m ? n ? 2 p 时,有:am ? an ? 2a p (4)在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来 的顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列. 即:an , an?m , an?2m ,... 是等差数列,公差为md.

(5)若数列 {an } 与{bn } 是公差分别为 d1 和 d2 等差数列, md1 ? kd2 则 {man ? kbn }仍是等差数列,且公差为: (6)若 {an } 成等差数列,且 Sn 为其前n项和,则:

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ??? 成等差数列,公差为 n2 d
(7)项数为n的等差数列中,n为奇数时:

S奇 ? S偶 ? an?1

S奇 n ? 1 ? 2 S偶 n ? 1 n n为偶数时: S偶 ? S奇 ? d 2

Sn ? na中 ? nan?1
2

例题讲解
类型一:等差数列中基本量的求解 【例1】在等差数列数列 {an } 中.

(1)已知 a15 ? 33 , a45 ? 153,求 a61 .

S12 ? 168,求 a1 和 d . (2)已知 S8 ? 48 ,
(3)已知 a6 ? 10 , S5 ? 5 ,求 a8 和 S8 .
(4)已知 a16 ? 3 ,求 S31 .

第六章 数列
第 三节 等比数列及其前n项和

一.等比数列及其相关概念

(1)等比数列的定义: 一般地,如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数 列就叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比, 公比常用字母q表示. (q ? 0)

an ? q (n ? N ? , n ? 2) 定义的表达式为: an ?1 (2)等比中项:如果三个数a、G、b成等比数列,则G叫 做a和b的等比中项,即: G 2 ? ab
在等比数列中,从第2项起,每一项都是它的前一项 与后一项的等比中项,即:

an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N )
2

?

一.等比数列及其相关概念 (3)等比数列的通项公式: an ? a1 ? qn?1 (n ? N ? ) n ?m a ? a q (累乘法得到) n m
an , am 必须是数列中的项. 其中,m,n大小任意,但是,
(4)等比数列的前n项和公式(由错位相减得到):

Sn ? na1 当 q ? 1 时:
当 q ? 1 时:

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q Sn ? 或 Sn ? 1? q 1? q
注:等比数列在不知道公比q的取值时,一定要分类讨 论.

二.等比数列的性质与应用
(1)有穷数列中,与首末两项距离相等的两项积相等, 并且等于首末两项之积,即:

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ???
(2)在等比数列中若 m, n, p, k ? N ?,且 m ? n ? p ? k , 则: am ? an ? a p ? ak
2 a ? a ? a 特别的,当 m ? n ? 2 p 时,有: m n p

(3)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来 的顺序排列,构成的新数列仍然是等比数列. 一个等比数列的奇数项,仍组成一个等比数列,新公比 为原公比的二次幂. 一个等比数列的偶数项,仍组成一个等比数列,新公比 为原公比的二次幂.

三.等比数列的判定方法
(1)定义法:

an ?1 ?q ? {an } 是等比数列 (q是不为0的常数) an
(2)通项公式法:

? {an }是等比数列 an ? cq (c、q是不为0的常数)
n

(3)中项公式法:

an?12 ? an ? an?2 (an ? an?1 ? an?2 ? 0) ? {an } 是等比数列

例题讲解
类型一:等比数列中基本量的求解 【例1】在等比数列数列 {an } 中.

(1)已知 a4 ? 2 , a7 ? 8 ,求 a10 .

an ? 1 ,求 n . a3 ? a6 ? 9 , (2)已知 a2 ? a5 ? 18,
(3)已知 S2 ? 30 , S3 ? 155,求 Sn .

an ? 96 ,求 a1和 n . (4)已知 Sn ? 189, q ? 2 ,


相关文档

数列基础知识和典型例题
数列专题--基础知识+典型例题
数列基础知识与习题
数列典型例题(基础篇)
等差数列基础习题选
3数学基础知识与典型例题复习--数列
数列书上基础习题
数列——高中数学基础知识与典型例题541(好)
等差数列基础习题
等比数列基础习题选
电脑版