2016届高三数学一轮复习三角函数与解三角形第八讲正弦定理和余弦定理应用举例

第八讲 正弦定理和余弦定理应用举例 基础自测 1.从 A 处望 B 处的仰角为 α ,从 B 处望 A 处的俯角为 β ,则 α , β 之间的大小关系是________. 2.如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等,灯 塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°,则灯 塔 A 在灯塔 B 的________方向. 3.如图所示,为了测量某障碍物两侧 A、B 间的距离,给定下列四组 数据,不能确定 A、B 间距离的是________(填序号). ①α ,a,b;②α ,β ,a;③a,b,γ ;④α ,β ,b. 4.在 200m 高的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是 30°、60°,则塔高为________m. 5 3 5.△ABC 中,D 为边 BC 上的一点,BD=33,sinB= ,cos∠ADC= ,求 AD. 13 5 题型分类 深度剖析 探究点一 与距离有关的问题 例 1 如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的 两个观测点,现位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一 艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海 里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/时,该救 援船到达 D 点需要多长时间? 探究点二 与高度有关的问题 例 2 如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测 点 C 与 D,现测得∠BCD=α ,∠BDC=β ,CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ ,求塔 高 AB. 1 探究点三 三角形中的最值问题 例 3 某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m),示意图如图所示,垂直放置的 标杆 BC 的高度 h=4m,仰角∠ABE=α ,∠ADE=β . (1)该小组已测得一组 α 、β 的值,算出了 tanα =1.24,tanβ =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m),使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精度.若电视塔实际高度为 125 m,试问 d 为多少时,α -β 最大? 2 课时规范训练八 班级 姓名 1.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为________. 2.如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所在的河 岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后, 就可以计算出 A、B 两点的距离为________m. 3.某人向正东方向走 x km 后,向右转 150°,然后朝新方向走 3km,结果他离出发点 恰好是 3km,那么 x 的值为________. 4.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上, 继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西 60°方向, 另一灯塔在船的南偏西 75°方向, 则这只船的速度是________海里/小时. 5.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为 15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得 旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一排的距离为 10 6米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长 度约为 50 秒,升旗手应以________米/秒的速度匀速升旗. 6.如图,A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰 角分别为 75°、30°,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°, AC=0.1km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后 求 B、D 的距离(计算结果精确到 0.01 km, 2≈1.414, 6≈2.449). 7.如图所示,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行,乙船 按固定方向匀速直线航行. 当甲船位于 A1 处时, 乙船位于甲船的南偏西 75° 3 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的 南偏西 60°方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里.问乙船每小时航行多少海里? 8.如图,某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲 线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ω x(A>0,ω >0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为 S(3,2 3);赛道的后一部分为折线段 MNP,为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°. (1)求 A,ω 的值和 M,P 两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长? 4 第八讲 正弦定理和余弦定理应用举例 基础自测 400 2.北偏西 10° 3.① 4. 3 3 π 12 4 5.解 由 cos∠ADC= >0 知 B< ,由已知得 cosB= ,sin∠ADC= , 5 2 13 5 从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB 4 12 3 5 33 = × - × = . 5 13 5 13 65 5 33× 13 AD BD BD·sinB 由正弦定理得, = ,所以 AD= = =25. sinB sin∠BAD sin∠BAD 33 65 题型分类 深度剖析 例 1 解 由题意知 AB=5(3+ 3)海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°- 45°=45°, ∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°. 1.α =β 在△DAB 中,由正弦定理,得 ∴ DB = = , sin∠DAB sin∠ADB DB AB

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