66944com:2015年高中数学 第一章 解三角形章末测试题(B)新人教版必修5

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第一章
有一项是符合题目要求的)

章末测试题(B)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只

1.在△ABC 中,已知 a= 3,b=1,A=130°,则此三角形解的情况为( A.无解 C.有两解 答案 B B.只有一解 D.解的个数不确定

)

解析 因为 a>b,A=130°,所以 A>B,角 B 为锐角.因此该三角形只有一解. 2.在△ABC 中,若 B=120°,则 a +ac+c -b 的值( A.大于 0 C.等于 0 答案 C 解析 根据余弦定理,得 cos120°=
2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.小于 0 D.不确定

a2+c2-b2 1 =- , 2ac 2
2

即 a +c -b =-ac.故 a +ac+c -b =0. 3. 已知△ABC 中, sinA∶sinB∶sinC=1∶1∶ 3, 则此三角形的最大内角的度数是( A.60° C.120° 答案 C 解析 ∵在△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c, ∴a∶b∶c=1∶1∶ 3.设 a=b=k,c= 3k(k>0), 则 cosC= B.90° D.135° )

k2+k2-

3k

2

2×k×k

1 =- .故 C=120°,应选 C. 2
2 2

4.若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b) -c =4,且 c=60°,则 ab 的值为( A. 4 3 ) B.8-4 3 D. 2 3

C.1 答案 A

解析 由(a+b) -c =4,得(a +b -c )+2ab=4.① ∵a +b -c =2abcosC, ∴方程①可化为 2ab(1+cosC)=4. 因此,ab= 2 4 .又∵C=60°,∴ab= . 1+cosC 3
1
2 2 2

2

2

2

2

2

5.设 a,b,c 为△ABC 的三边,且关于 x 的方程(a +bc)x +2 b +c x+1=0 有两个相 等的实数根,则 A 的度数是( A.120° C.60° 答案 C 解析 ∵由题意可知题中方程的判别式 Δ =4(b +c )-4(a +bc)=0,∴b +c -a = 1 2
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

) B.90° D.30°

bc,cosA= .
又∵0°<A<180°,∴A=60°. 6.若△ABC 的三边分别为 a,b,c,且满足 b =ac,2b=a+c,则此三角形是( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 答案 D 解析 ∵2b=a+c,∴4b =(a+c) . 又∵b =ac,∴(a-c) =0.∴a=c. ∴2b=a+c=2a.∴b=a,即 a=b=c. 故此三角形为等边三角形. 7. 已知在△ABC 中, a=x, b=2, B=45°.若此三角形有两解, 则 x 的取值范围是( A.x>2 C.2<x<2 2 答案 C 解析 方法一 要使三角形有两解,则 a>b,且 sinA<1. ∵由正弦定理可得 = , sinA sinB B.x<2 D.2<x<2 3 )
2 2 2 2 2

)

B.直角三角形 D.等边三角形

a

b

x>2, ? ? asinB 2x 即 sinA= = ,∴? 2 b 4 x<1.

? ?4

∴2<x<2 2.

方法二 ∵要使三角形有两解,则?
? ?2<x, 即? ?2>xsin45°, ?

? ?b<a, ?b>asinB, ?

∴2<x<2 2.

8. 某人站在山顶看见一列车队向山脚驶来, 他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他 看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车和第二辆车之间的距离 d1 与第二辆车和第三 辆车之间的距离 d2 之间的关系为( )

2

A.d1>d2 C.d1<d2 答案 C 解析

B.d1=d2 D.不能确定大小

设山顶为点 P,山高为 PD,第一、二、三辆车分别为 A,B,C,俯角差为 α ,作出图像 如右图,由题知∠CPB=∠BPA=α ,由正弦定理,得 即 PBsinα =d2sin∠PCB=d1sin∠PAB, 又∵sin∠PAB>sin∠PCB,∴d1<d2. 9.已知锐角三角形的三边长分别为 3,4,a,则 a 的取值范围为( A.1<a<5 C. 7<a<5 答案 C 解析 由锐角三角形及余弦定理知: 3 +a -4 >0, ? ? 2 2 2 ?3 +4 -a >0, ? ?a>0
2 2 2

d2
sinα



, = , sin∠PCB sinα sin∠PAB

PB

d1

PB

)

B.1<a<7 D. 7<a<7

a >7, ? ? 2 ??a <25, ? ?a>0

2

? 7<a<5.

10. (2013·新课标全国Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,23cos A +cos2A=0,a=7,c=6,则 b=( A.10 C.8 答案 D 1 2 2 解析 由 23cos A+cos2A=0,得 cos A= . 25 π 1 ∵A∈(0, ),∴cosA= . 2 5 36+b -49 1 13 ∵cosA= = ,∴b=5 或 b=- (舍).故选 D 项. 2×6b 5 5
3
2

2

) B.9 D.5

11.

如图,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°方向上,与灯塔 S 相距 20 n mile,随后货轮按北偏西 30°的方向航行 30 min 后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货 轮的速度为( )

A.20( 2+ 6) n mile/h B.20( 6- 2) n mile/h C.20( 3+ 6) n mile/h D.20( 6- 3) n mile/h 答案 B 解析 在△MNS 中, ∠SMN=45°, ∠MNS=105°, ∠MSN=30°, 于是 解得 MN=10( 6- 2)(n mile). 10 故所求货轮的速度为 6- 2 1 2 ,即 20( 6- 2)(n mile/h) 20 = , sin30° sin105°

MN

12.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C=2B,则 cosC =( A. ) 7 25 7 B.- 25 D. 24 25

7 C.± 25 答案 A

解析 在△ABC 中,由正弦定理,得 = . sinB sinC ∴ sinC c sin2B 8 4 = ,∴ = ,cosB= . sinB b sinB 5 5

b

c

7 2 ∴cosC=cos2B=2cos B-1= . 25 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上)
4

7 8 13 13.已知在△ABC 中, = = ,则 C 的度数为________. sinA sinB sinC 答案 120°

a b c 7 8 13 解析 由 = = 及 = = ,得 a∶b∶c=7∶8∶13. sinA sinB sinC sinA sinB sinC
设 a=7k,b=8k,c=13k(k>0), 则有 cosC=

k

2

+ k - 2×7k×8k

2

k

2

1 =- . 2

又∵0°<C<180°,∴C=120°. 14.在△ABC 中,已知 D 为 BC 边上一点,BC=3BD,AD= 2,∠ADB=135°,若 AC= 2

AB,则 BD=________.
答案 2+ 5 解析

如图,设 AB=k,则 AC= 2k. 再设 BD=x,则 DC=2x. 在△ABD 中,由余弦定理,得

k2=x2+2-2·x· 2·(-

2 2 )=x +2+2x.① 2

在△ADC 中,由余弦定理,得 2k =4x +2-2·2x· 2· 即 k =2x +1-2x.② 由①②得 x -4x-1=0,解得 x=2+ 5(负值舍去). 故 BD=2+ 5. 15.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 2,则 A 的大小为________. 答案 π 6
2 2 2 2 2

2 2 =4x +2-4x, 2

π 解析 ∵sinB+cosB= 2sin( +B)= 2, 4

5

π π ∴sin( +B)=1.又∵0<B<π ,∴B= . 4 4 2× 2 2 2

由正弦定理,得 sinA=

asinB = b

1 = . 2

π 又∵a<b,∴A<B.∴A= . 6 16.在△ABC 中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,给出下列结论: ①由已知条件,这个三角形被唯一确定; ②△ABC 一定是钝角三角形; ③sinA∶sinB∶sinC=7∶5∶3; 15 3 ④若 b+c=8,则△ABC 的面积是 . 2 其中正确结论的序号是________. 答案 ②③ 解析 由(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,可设 a=7k,b=5k,c=3k(k>0),a,b,

c 随着 k 的变化而变化,可知结论①错误.
∵cosA=

k

2

+ k - 2×5k×3k

2

k

2

<0,

∴结论②正确. ∵sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3, ∴结论③正确. 1 3 15 3 ∵cosA=- ,sinA= ,若 b+c=8,不妨设 b=5,c=3,a=7,则 S△ABC= ,∴ 2 2 4 结论④不正确. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)解答下列各题: (1)在△ABC 中,已知 C=45°,A=60°,b=2,求此三角形最小边的长及 a 与 B 的值; (2)在△ABC 中,已知 A=30°,B=120°,b=5,求 C 及 a 与 c 的值. 解析 (1)∵A=60°,C=45°,∴B=180°-(A+C)=75°. ∴C<A<B.∴c<a<b,即 c 边最小. 由正弦定理可得 a=

bsinA 2sin60° = =3 2 - 6 , sinB sin75°

bsinC 2sin45° c= = =2 3-2. sinB sin75°
综上可知,最小边 c 的长为 2 3-2,a=3 2- 6,B=75°.

6

(2)∵A=30°,B=120°,∴C=180°-(A+B)=30°. ∴A=C.∴a=c. 由正弦定理可得 a=

bsinA 5sin30° 5 3 = = . sinB sin120° 3
5 3 . 3

综上可知,C=30°,a=c=

1 18.(12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos2C=- . 4 (1)求 sinC 的值; (2)当 a=2,2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 1 2 解析 (1)∵cos2C=1-2sin C=- ,0<C<π , 4 ∴sinC= 10 . 4

(2)当 a=2,2sinA=sinC 时, 由正弦定理 = ,得 c=4. sinA sinC 1 2 由 cos2C=2cos C-1=- 及 0<C<π , 4 得 cosC=± 6 . 4
2 2 2 2

a

c

由余弦定理 c =a +b -2abcosC,得 b ± 6b-12=0(b>0),解得 b= 6或 b=2 6. 故?

?b= 6, ?c=4

或?

?b=2 6, ?c=4.

19.(12 分)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,asinA+csinC- 2asinC =bsinB. (1)求 B; (2)若 A=75°,b=2,求 a,c. 解析 (1)由题意结合正弦定理,得 a +c - 2ac=b . 由余弦定理,得 b =a +c -2accosB,故 cosB= 又 B 为三角形的内角,因此 B=45°. (2)由于 sinA=sin(30°+45°) =sin30°cos45°+cos30°sin45°= 2+ 6 . 4
2 2 2 2 2 2

2 . 2

7

故 a=

bsinA 2+ 6 = =1+ 3, sinB 2

bsinC sin60° c= =2× = 6. sinB sin45°
20.(12 分)在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 3a=2csinA. (1)求角 C 的值; 3 3 (2)若 c= 7,且 S△ABC= ,求 a+b 的值. 2 解析 (1)由 3a=2csinA 及正弦定理,得 = 3 . 2

a 2sinA sinA = . c sinC 3

∵sinA≠0,∴sinC=

π 又∵△ABC 是锐角三角形,∴C= . 3 π (2)方法一 c= 7,C= , 3 1 π 3 3 由面积公式,得 absin = ,即 ab=6.① 2 3 2 π 2 2 由余弦定理,得 a +b -2abcos =7, 3 即 a +b -ab=7.② 由②变形得(a+b) =3ab+7.③ 将①代入③得(a+b) =25,故 a+b=5. 方法二 前同方法一,联立①②得
? ?a +b -ab=7, ? ?ab=6 ?
4 2 2 2 2 2 2

? ?a +b =13, ?? ?ab=6, ?
2

2

2

消去 b 并整理得 a -13a +36=0, 解得 a =4 或 a =9, 即?
? ?a=2, ?b=3 ?
2 2

或?

? ?a=3, ?b=2. ?

故 a+b=5.

21.(12 分)已知△ABC 的面积是 30,其内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,且 cosA 12 = . 13 → → (1)求AB·AC; (2)若 c-b=1,求 a 的值.

8

12 解析 由 cosA= ,得 sinA= 13 1 又∵ bcsinA=30,∴bc=156. 2

1-

12 13

2

5 = . 13

12 (1)AB·AC=bccosA=156× =144. 13 12 2 2 2 2 (2)a =b +c -2bccosA=(c-b) +2bc(1-cosA)=1+2×156×(1- )=25. 13 又∵a>0,∴a=5. 22.(12 分)(2013·山东)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,





b=2,cosB= .
(1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 解析 (1)由余弦定理 b =a +c -2accosB, 得 b =(a+c) -2ac(1+cosB). 所以 ac=9,解得 a=3,c=3. 4 2 2 (2)在△ABC 中,sinB= 1-cos B= . 9 由正弦定理得 sinA=
2 2 2 2 2

7 9

asinB 2 2 = . b 3

因为 a=c,所以 A 为锐角. 1 2 所以 cosA= 1-sin A= . 3 10 2 因此 sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB= . 27

9


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