2016年石家庄市第二次模拟考试试题答案数学理科


2016 年石家庄市第二次模拟考试试题答案(数学理科)
一、选择题 二、填空题 1-5 BAACB 13. 6-10CABBA 14. 240 11-12CC 15. -6 16. 1 或 9

4 5

三 、 解 答 题

17. ( I ) 由 正 弦 定 理

a b c ? ? ? 2R 可 得 : sin A sin B sin C
, -----3 分 即

2 R sin A=3 ? 2R sin B cos C …………………1 分

? A? B ?C ??

?sin A ? sin( B ? C )=3sin B cos C

sin B cos C ? cos B sin C =3sin B cos C cos B si C n ? cos B sin C =2sin B cos C ? =2 sin B cos C



tan C =2 . -------------------------5 分 tan B

(II) (法一)由 A ? B ? C ? ? ,得 tan( B ? C ) ? tan(? ? A) ? ?3 , 即

tan B ? tan C ? ?3 , 1 ? tan B ? tan C
1 tan B ? ? 或

将 tan C ? 2 tan B 代 入 得 :

3 t B a n ? ?3 , 1? 2 2 tB a n

-------------------------7 分

B? 解得 tan

1 tan B 同 正 , 所 以 , 根 据 tan C ? 2 tan B 得 tan C、 2

tan B ? 1, tan C ? 2 . ………8 分
则 tan A ? 3 ,可得 sin B ?

2 2 5 3 10 , sin C ? , sin A ? , 2 5 10
3 b = , ? b ? 5 , … … 10 分 3 10 2 10 2
所 以

代 入 正 弦 定 理 可 得

1 1 2 5 S?ABC ? ab s i C n ? ? ? 3 ? 5 ? -------12 3 分 2 2 5
(法二)由 A ? B ? C ? ? 得 tan( B ? C ) ? tan(? ? A) ? ?3 , 即

tan B ? tan C ? ?3 , 1 ? tan B ? tan C
1 tan B ? ? 或

将 tan C ? 2 tan B 代 入 得 :

3 t B a n ? ?3 , 1? 2 2 tB a n

-------------------------7 分

B? 解得 tan

1 tan B 同 正 , 所 以 , 根 据 tan C ? 2 tan B 得 tan C、 2

tan B ? 1, tan C ? 2 .………8 分 又因为 a ? 3b cos C ? 3 ,所以 b cos C ? 1 ,? ab cos C ? 3 1 1 ? ab cos C tan C ? 6 . --------------10 分 ? S?ABC ? ab sin C ? ? 6 ? 3 . ---------------12 2 2

分 18.解析: (1) 在矩形 ABCD 中,AB : BC ? 2 :1 , 且 E 是 AB 的中点, ∴ tan ∠ ADE = tan ∠ CAB ?

1 ,…1 分 2

? ? ∴∠ ADE =∠ CAB ,∵∠ CAB ? ∠ DAC ? 90 ,∴∠ ADE ? ∠ DAC ? 90 ,即 AC ⊥

DE .…………3 分
由题可知面 PAC ? 面 ABCD ,且交线为 AC ,∴ DE ? 面 PAC .∴…………5 分 (2) 解法一:令 AC 与 BD 交于点 O ,∵ PA ? PC ,且 O 是 AC 的中点,∴ PO ? AC . ∵面 PAC ? 面 ABCD ,∴ PO ? 面 ABCD . 取 BC 中点 F ,连接 OE , OF ,因为底面 ABCD 为矩形,所以 OE ? OF .建立如右图所示的 空间直角坐标系:
z P

D O A x E B F

C y

??? ? A(1, ? 2,0), B(1, 2,0), D(?1, ? 2,0 ), P(0,0, a), AP ? (?1, 2, a) ……………6 分 ? ??? ? ??? ? 设 面PBD 的法向量为 c ? ( x1, y1, z1 ) , DB ? (2, 2 2,0) , OP ? (0,0, a) ? ??? ? ? ?2 x ? 2 2 y1 ? 0 ?c ? DB ? 0 ? ?? 1 由 ? ? ??? , 令x1 ? 2, 则y1 ? ?1 ∴ 面PBD 的法向量为 ? az ? 0 c ? OP ? 0 ? ? ? 1 ? ? c ? ( 2, ?1,0) ? ??? ? c ? AP 6 由 ? ??? ? a ? 1 …………8 分 ? ? 3 c AP
设平面 PAD 的法向量为 m ? ( x2 , y2 , z2 ), AD ? (?2,0,0) , AP ? (?1, 2,1)

?

????

??? ?

?? ???? ?? ? ?m ? AD ? 0 ? ??2 x2 ? 0 ?? 由 ? ?? ??? 令y2 ? 1, 则z2 ? ? 2 ?m ? (0,1, ? 2) ? ?? x2 ? 2 y2 ? z2 ? 0 ?m ? AP ? 0 ? ? ? ??? ? ??? ? 设平面 PAB 的法向量为 n ? ( x3 , y3 , z3 ) AB ? (0, 2 2,0), AP ? (?1, 2,1) ,



? ??? ? ? ? ?n ? AB ? 0 ? ?2 2 y3 ? 0 ? ? 令 x ? 1, 则 y ? 0, z ? 1. ? n ? (1,0,1) …………… ? ??? ? ? ? 3 3 3 n ? AP ? 0 ? x ? 2 y ? z ? 0 ? ? ? 3 3 ? 3
∴二面角 D ? PA ? B 的余弦值为

…10 分

?? ? m?n ? 2 3 cos ? ? ?? ? ? ?? 3 3 2 m n

?

3 3

……………12 分

解法二:令 AC 与 BD 交于点 O ,过点 A 作 AH ? BD 于点 H ,连结 PH , ∵ PA ? PC ,且 O 是 AC 的中点,∴ PO ? AC .∵面 PAC ? 面 ABCD ,∴ PO ? 面

ABCD .
P

F D H O A E B

C

∴ PO ? AH ,∵ AH ? BD ,∴ AH ? 面 PBD .∴∠ APH 为 PA 与面 PBD 所成的 角. …………………7 分 ∴ sin ∠ APH ? 分 取 PA 的中点 F ,连结 FD, FE .∵ PA ? AD ? PD ? 2 ,∴ PA ? FD 在 △PAB 中, PA ? PB ? 2 , AB ? 2 2 ,∴ PA ? PB ? AB ,即 PA ? PB
2 2 2

AH 6 2 2 ,∵ AH ? ,∴ PA ? PB ? PC ? PD ? 2 .……………8 ? PA 3 3

∵ E , F 分别是 AB, AP 的中点,∴ EF ∥ PB ,∴ PA ? FE .所以∠ DFE 是二面角

D ? PA ? B 的平面角.………10 分
在 △DFE 中,∵ FD ? 3 , ED ? 6 , FE ? 1 .∴ cos ∠ DFE ? ?

3 3

∴二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 ?

3 ……………12 分 3

19.解: (1)由茎叶图可知抽取的 10 户中用水量为一阶的有 2 户,二阶的有 6 户,三阶的有 2 户。 第二阶梯水量的户数 X 的可能取值为 0,1,2,3 ……1 分

P( X ? 0) ?

3 0 C4 ? C6 1 ? 3 C10 30

P( X ? 1) ?

2 1 C4 ? C6 3 ? 3 C10 10

1 2 C4 ? C6 1 P( X ? 2) ? ? 3 C10 2

0 3 C4 ? C6 1 P( X ? 3) ? ? 3 C10 6

所以 X 的分布列为 ………………………5 分 EX=

X P

0

1

2

3

0?

1 3 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? 30 10 2 6 9 ? ………6 分 5

1 30

3 10

1 2

1 6

(2)设 Y 为从全市抽取的 10 户中用水量为二阶的家庭户数,依题意得 Y~B (10, ) , 所以 P(Y ? k ) ? C10 ( ) ( )
k k

3 5

3 5

2 5

10?k

,其中 k ? 0,1, 2,L ,10 ………………8 分

k 3 k 2 10?k C10 ( ) ( ) P(Y ? k ) 3(11 ? k ) 5 5 设t ? ? ? P(Y ? k ? 1) C k ?1 ( 3 )k ?1 ( 2 )11?k 2k 10 5 5

…………………10 分

若 t ?1 , 则 k ? 6 . 6 , P(Y ? k ? 1) ? P(Y ? k ) ; 若 t ? 1 , 则 k ? 6 . 6 ,

P(Y ? k ? 1) ? P(Y ? k ) 。
6 3 6 2 4 C10 ( ) ( ) P(Y ? 6) 5 5 ? 7 ? 1 所以 n 的取值为 所以当 k ? 6 或 7 , P(Y ? k ) 可能最大, ? P(Y ? 7) C 7 ( 3 )7 ( 2 )3 6 10 5 5

6。………12 分 20.解析: (1)

???? ? ???? ? c2 2 2 2 ? c 2 ? y0 ? 2 x0 ? b 2 ? c 2 ,………2 分 DF1 ? DF2 ? (?c ? x0 , ? y0 )(c ? x0 , ? y0 ) ? x0 a ???? ? ???? ? a2 2 2 因为 0 ? x ? a ,所以当 x ? a 时, DF ,故 1 ? DF 2 得最大值 b .……3 分 所以 b ? 4
2 0 2 2 0 2

离心率 e ?

3 ……4 分 2

(2)由题意知 b ? 1 ,可得椭圆方程为:

x2 ? y 2 ? 1,设 B( x1, y1 ), C( x2 , y2 ), H ( x, y) 4

由?

? y ? kx ? m ?8kmx ,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4(m2 ? 1) ? 0 , x1 ? x2 ? , 2 2 1 ? 4k 2 ?x ? 4 y ? 4
4(m 2 ? 1) 1 ? 4k 2
………………6 分

x1 x2 ?

由 AB ? AC ? 0 得: x1 x2 ? ( y1 ?1)( y2 ?1) ? 0 即

??? ? ??? ?

(1 ? k 2 ) x1x2 ? k (m ?1)( x1 ? x2 ) ? (m ?1)2 ? 0 ,……………8 分
将韦达定理代入化简可得: m ? ? 线 BC 恒过定点 D(0, ? ) 由 AH ⊥ DH 可知,点 H 的轨迹为以 AD 为直径的圆,圆心 (0, ) ,半径为 故动点 H 的轨迹方程为 x ? ( y ? ) ?
2

3 3 ……10 分 所以直线 BC 的方程为: y ? kx ? ,即直 5 5

3 5

1 5

4 5

1 2 16 ( y ? 1) ……………………………12 分 5 25 21. 解析: (Ⅰ)当 k ? 1 时, f ( x) ? (ex ?1)( x ?1) , f (1) ? 0 , f ? (1) ? e ? 1
所以在 (1, f (1)) 处的切线方程是 y ? (e ? 1)( x ? 1) ………………………2 分 所 证 问 题 等 价 于 (ex ?1)( x ?1) ? (e ?1)( x ?1),( x ? 1) … … … … 3 分 即

(ex ? e)( x ?1) ? 0,( x ? 1)


x ?1





ex ? e ? 0 x ? , ?

e 1x ? e x 0? ,? (

当 )

( x ? 1 1 时)

0

ex ? e ? 0, x ?1 ? 0,(ex ? e)( x ?1) ? 0
( Ⅱ ) 当

k?2





f ( x) ? (ex ?1)( x ?1)2

, 因为

x ? (2, ??) f ?( x) ? ex ( x ?1)2 ? 2(ex ?1)( x ?1) ? ( x ?1)[ex ( x ?1) ? 2] … … 6 分

? , x( ? x ? ( 2 ,? ? )( x ? 1) ? 0e x ? (2, ??) 单调递增……………8 ,x x ( ? 1) ? 2 ?f )即函数在 0
分 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ),且2 ? x1 ? x2 ? x3 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) .∵ BA ? ( x1 ? x 2 , f ( x1 ) ? f ( x 2 )), BC ? ( x3 ? x 2 , f ( x3 ) ? f ( x 2 )),

∴ BA ? BC ? ( x1 ? x2 )(x3 ? x2 ) ? ( f ( x1 ) ? f ( x2 ))( f ( x3 ) ? f ( x2 )) . · · · · · · · · · · · · 10 分 ∵ x1 ? x2 ? 0, x3 ? x2 ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? 0, ∴ BA? BC ? 0,? cos B ? 0, ?B 为钝角. 故△ ABC 为钝角三角形.…………12 分 (注意:利用图象说明,需画图准确,说明充分,可给四分;只画图,不说明,给 2 分) 23 解: (I)由 ? cos 2 ? ? 3sin ? ,得 ? 2 cos2 ? ? 3? sin ? ,…2 分? 曲线 C1 的直角坐标 方程为 x2 ? 3 y , --4 分 (II)将 ? =

?
3

代入 C2 : ?

? x ? 2 cos? 5? 得 P(1, 3) ,由题意可知切线 AB 的倾斜角为 , 6 ? y ? 2sin?

---------------6 分

? 3 x ? 1? t ? ? 2 设 切 线 AB 的 参 数 方 程 为 ? ( t 为 参 数 ), 代 入 x2 ? 3 y 得 : ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
(1 ? 3 2 1 t ) ? 3( 3 ? t ) , 2 2



3 2 3 3 t ? t ? 2 ? 0 , ------8 分 设 方 程 的 两 根 为 t1 和 t 2 可 得 : t1 ? t2 ? 2 3 , 所 以 4 2
t1 ? t2 |? 3 ------10 分 2

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