文科实验班数学考练4试题答案_图文

瑞泉中学 2013 级文科实验年级考练(4)

数学试题(文科) 瑞泉中学 张振荣 2012.8.15
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.复数 z ? (2 ? i )i 的虚部是( ※ ) A. 2 B. ? 2 C. 2i D. ? 2i

2. 已知全集 U ? R, 集合 A ? ?1,2,3,4,5? , B ? ? 2, ??? , 则图中阴影部分所表示的集合为( ※ ) A. {0,1, 2} C. {1, 2} 3. 在 ?ABC 中, a ? 5, 值为 A. ?20 B. 20 C. 20 3 D. ?20 3 B. {0,1} D. {1}
? b ? 8, C ? 60 ,则

A

B

(第 2 题图)



?x ? y ?1 ? 0 ? 4. 若实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z=x+2y 的最小值是 ?x ? 1 ?
A、5 B、

1 2

C、1

D、-1

2 2 5、已知命题 p :对任意 x ? [1, 2] , x ? a ≥ 0, 命题 q : 存在 x ? R , x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ,

若命题 p 且 q 是真命题,则实数 a 的取值范围为( A. a ≤ ?2 或 1 ≤ a ≤ 2 a ≥ 1 D. ?2 ≤ a ≤ 1 B. a ≤ ?2 或 a ? 1

) C.

6. 函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? log 2 x 在定义域内的零点个数为 ( A.0 B. 2 C. 1 D. 3


主视图

左视图

7. 如图所示, 一个空间几何体的主视图和俯视图都是边长为1 的
俯视图 (第 7 题图)

1

正方形,侧视图是一个直径为 1 的 圆,那么这个几何体的表面积为( A. 4? C. 2? D. B. 3? )

3 ? 2


开始 A=1

8. 按照程序框图执行,第 3 个输出的数是( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

S=1 输 出 A S=S+1 S ≤ 5?否 A=A+2 是

(第 8 题 结束 x y 图) 9. 已知点 F1,F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x
2 2

a

b

轴的直线与双曲交于 A, B 两点,若 ?ABF 2 是锐角三角形,则该双曲线离心率 e 的取值范 围是 A. (1, 3) 10. 若 x ? A, B. ( 3, 2 2) C. (1 ? 2, ??) D. (1,1 ? 2)

1 1 1 ? ? ? A ,则称 A 是“伙伴关系集合” ,在集合 M ? ??1, 0, , ,1, 2, 3, 4 ? x 3 2 ? ? 1 51 7 255 4 255

的所有非空子集任选一个集合,则该集合是“伙伴关系集合”的概率为 A.

1 17

B.

C.

D.

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡相应题号后的 横线上) 11. 设 f ( x) ? ?

?

2x , x ? 0

? f ( x ? 1), x ≤ 0

,则 f (2) ? f (?2) ?

12、已知 x 与 y 之间的一组数据如右表,根据表中提供 的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为

x
y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

2

y ? bx ? 0.35 ,那么 b 的值为
3 3? ,? ? ? ? ,则 sinα +cosα 的值为_____ 4 2 1 3 1 1 5 1 1 1 7 14. 观察下列不等式: 1 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? , ?,照此规 2 2 2 3 3 2 3 4 4
13、已知 sin2α = 律,第 n 个不等式为 15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) A.(不等式选做题)若不等式 | 2a ? 1|≤ x ?

1 对一切非零实数 x

P C

A

B

O

x 恒成立,则实数 a 的取值范围是
B.(几何证明选做题)如图 PAB、PCD 为 ? O 的两条割线,若

?

D

PA ? 5, AB ? 7, CD ? 11, AC ? 2, 则 BD 等于去
C.(坐标系与参数方程选做题)曲线 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数)与曲线 ? 2 ? 2? cos? ? 0 ? y ? 1 ? sin ?

的交点个数为 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a5 ? 9, S12 ? 144 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an (Ⅱ)设 bn ? 6 ? 2 n ? 2n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a

m 17. 本小题满分 12 分) a, b, c 分别为 ?ABC 的内角 A,, 的对边, ? (cos ( 设 B C ? C C ?? ? ? n ? (cos , ? sin ), m 与 n 的夹角为 . 2 2 3
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)已知 c ?

??

C C ,sin ) , 2 2

7 3 3 , ?ABC 的面积 S ? ,求 a ? b 的值. 2 2

18.(本小题满分 12 分)如图所示,正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直,∠ ADE=90°, AF ∥ DE ,DE=DA=2。 (Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求四面体 BDEF 的体积。.

3

19.(本小题满分 12 分)某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽出 60 名学生,将 其中考试的政治成绩(均为整数)分成六段 ? 40,50? , ?50,60? ,?, ?90,100? 后得到如 下部分频率分布直方图.

(Ⅰ)求分数在 ?70,80? 内的人数; (Ⅱ)用分层抽样的方法在 80 分以上(含 80 分)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将 该样本看成一个总体,从中任意选取 2 人,求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率。 20. 本小题满分 13 分) ( 已知焦距为 2 6 的椭圆中心在原点 O, 短轴的一个端点为 (0, 2) , 点 M 为直线 y ?

1 x 与该椭圆在第一象限内的交点,平行 OM 的直线 l 交椭圆与 A,B 两点. 2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 MA , MB 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1+k2=0。 21. (本小题满分 14 分)设 a ? R ,函数 f ( x ) ?

1 ? ln x . x

(Ⅰ)设 a>0,若函数在区间 (a, a ? ) 上存在极值,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ?

1 2

k2 ? k 恒成立,求实数 k 的取值范围. x ?1

4

参考答案: 一\选择题

5

6

7

8

9

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)

x x ? x ? 2? ? 0 B ? x x ?1 ? 0 1.设全集 U ? R , A ? , ,则 A ? B =(
A. (?2, 1) B. [1, 2) C. (?2, 1] D. (1, 2)

?

?

?

?


开始

S ?0

2.阅读右面的程序框图,则输出的 S 等于 (A) 68 (B) 38 (C) 32 3.已知 i 是虚数单位,设复数 z1 ? 1 ? 3i , z2 ? 3 ? 2i ,则 内对应的点在( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限

i?5

(D) 20

S ? S ? i(i ? 1)
i ? i ?1

z1 在复平面 z2
(D) 第四象限

i ?1?
是 输出 S 结束



(C) 第三象限

?x ? y ? 0 ? 4.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 4x ? y 的最大值是 ?3x ? y ? 4 ? 0 ?
(A) 0 5.“ cos ? ? (B) 2 (C) 5 (D) 6 1
主视图

(第 2 题) 2 1
左视图

1 π ”是“ ? ? ? 2kπ(k ? Z) ”成立的 2 3

1

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分又不必要条件 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (A) 2π ? 3 (B) 2π ?

3 3

(C) π ? 3

(D) π ?

3 3 俯视图

(第 6 题)

? ? ? ? ? 7.设非零向量 a , b 的夹角为 120? ,且 | a |? 1 ,则 | 2a ? b | 的最小值为
(A) 3 (B) 2 (C)

3

(D)

3 2

y

π 8.设函数 f ( x) = sin(? x ? ? ) (x ? R) (? ? 0,|? |? ) 的部分图像如图所示, 1 2 5? ?O π 5π x ? 如果 x1 , x2 ? (? , ) ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) ? 12 12 12 12 (第 8 题) 2 3 1 (A) (B) (C) (D) 1 2 2 2 y 2 x2 9.若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线和圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 相切,则该双曲线的 a b
离心率为

10

(A)

2 3 3

(B)

4 3

(C)

2

(D) 2

10.已知函数 f ( x) 的定义域为 D ,若对任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在 D 上为非减函数.设函数 f ( x) 在 [0,1] 上为非减函数,且满足以下三 个条件:① f (0) ? 0 ;② f ( ) ? (A) 1 (B)

x 3

3 2

1 1 1 f ( x) ;③ f (1 ? x) ? 2 ? f ( x) .则 f ( ) ? f ( ) ? 2 3 8 5 (C) 2 (D) 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

(x ? 1), ?log3 x 11.已知 f ( x) ? ? 则 f (?3) = ? f ( x ? 2) (x ? 1),





12.从直线 L: y ? x ? 2 上一点 P 向圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 引切线,则切线长的最小值 为 ▲ . 13.为了了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名 高三学生的视力情况, 得到频率分布直方图 如下图.由于将部 分数据丢失,但知道后 5 组频数和为 62, 设视力在 4.6 到 4.8 之间的学生数为 a,最大频率为 0.32,则 a 的值为 ▲ . 14. S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和, 设 若

(第 13 题)

S2 n ( n ? N* ) Sn

是非零常数, 则称该数列 ?a n ?为“和等比数 列”.若数列 {bn } 是首项为 3,公差为 d (d ? 0) 的等差数列,且数列 {bn } 是“和等比 数列”,则 d ? ▲ .

15.已知 x ? 0,y ? 0 ,且 x ? y ?

9 1 ? ? 10 ,则 x ? y 的最大值为 x y





三、解答题(本大题共 5 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

4π ? ? 2 16.设函数 f ( x) ? cos ? 2 x ? ? ? 2cos x . 3 ? ?
(Ⅰ)求 f ( x) 的最大值,并写出使 f ( x) 取最大值是 x 的集合;

11

(Ⅱ)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅲ)已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 f ( B ? C ) ?

3 ,b ? c ? 2 , 2

求 a 的最小值. 17. 已知数列 {an} 是首项为 a1=1 的等差数列,其前 n 项和为 Sn,数列 {bn} 是首项 b1 =2 的等比数列,且 b2S2=16,b1b3=b4. (Ⅰ)求数列 {an},{bn} 的通项公式; (Ⅱ) 若数列 {cn} 满足 c1 ? 3c2 ? 32 c3 ? ? ? 3n?1 cn ? an , 求数列 {cn} 的前 n 项和 Tn. 18. 已知在四棱锥 P- ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD=2,AB=1,PA⊥平面 ABCD, E、F 分别是线段 AB、BC 的中点. (1)证明:DF⊥平面 PAF; (2)在线段 AP 上取点 G 使 AG= 求证:EG∥平面 PFD.

1 AP, 4

19.为了比较注射A, B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只老鼠做试验,将这 200 只老鼠随机地分成两组,每组100 只,其中一组注射药物A (称为A 组),另一组注射药 物B (称为B 组),则A, B 两组老鼠皮肤疱疹面积(单位: mm 2 )的频率分布表、频率分布直 方图分别如下: 疱疹面积 [60, 65) [65, 70) [70, 75) [75,80)

频数

20

50

20

10

12

(1)为方便A, B 两组试验对比,现都用分层抽样方法从A, B 两组中各挑出20 只老鼠,求A、 B 两组成肤疱疹 面积同为 [60, 65) 的这一区间应分别挑出几只? (2)在(Ⅰ)的条件下,将A, B 两组挑出的皮肤疱疹面积 同为 [60, 65) 这一区间上的老鼠 放在一起观察,几天后,从中抽取两只抽血化验,求B 组中至少有1 只被 抽中的概率. 20.已知函数 f ( x) ? e x (ax2 ? a ? 1) (a ?R). (Ⅰ)若 a ? ?1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的的切线方程;

2 对任意 x? ? ?2, ?1? 恒成立,求实数 a 的取值范围. e2 2 y 21.抛物线 y =2px(p>0)上纵坐标为-p 的点 M 到焦点的距离为 2. B (Ⅰ)求 p 的值; A
(Ⅱ)若 f ( x) ? (Ⅱ)如图,A,B,C 为抛物线上三点,且线段 MA,MB,MC 与 x 轴交点的横坐标依次组成公差为 1 的等差数列,若△AMB 的 面积是△BMC 面积的 O M (第 21 题)

C

x

1 ,求直线 MB 的方程. 2

13

参考答案 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 选项 1 D 2 A 3 D 4 D 5 B 6 D 7 C 8 A 9 D 10 B

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)

30 13. 54 14. 6 2 三、解答题(本大题共 5 个小题,共 75 分) 16. (本题 14 分)
11.1 12. (Ⅰ) f ( x) ? cos( 2 x ?

15.8

4? 4? 4? ) ? 2 cos 2 x ? (cos 2 x cos ? sin 2 x sin ) ? (1 ? cos 2 x) 3 3 3

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos(2 x ? ) ? 1 ???????? 3 2 2 3

f (x) 的最大值为 2 ???????? 4 分
要使 f (x) 取最大值, cos( 2 x ? 故 x 的集合为 ? x x ? k? ? (Ⅱ) [k? ?

?
3

) ? 1,2 x ?

?
3

? 2k? (k ? Z )

? ?

?

? , k ? Z ? ???????? 6 分 6 ?

?
3

, k? ?

5? ](k ? Z ) 6

(Ⅲ)由题意, f ( B ? C ) ? cos[ 2( B ? C ) ? 化简得 cos( 2 A ?

?
3

] ?1 ?

1 ???????? 8 分 3 2 ? ? 5? ? ? Q A ? ? 0,? ? ,? 2 A ? ? (? , ) ,只有 2 A ? ? , 3 3 3 3 3 )?

?

3 ? 1 ,即 cos( 2? ? 2 A ? ) ? . 2 3 2

A?

? . ??????? 10 分 3

2 2 2 在 ?ABC 中, 由余弦定理,a ? b ? c ? 2bc cos

?
3

? (b ? c) 2 ? 3bc ?????12

分 由 b ? c ? 2 知 bc ? (

b?c 2 ) ? 1 , a 2 ? 1 , b ? c ? 1 时 a 取最小值 1 . ?????14 分 即 当 2

注:不讨论角的范围扣 1 分. 17. (本题 14 分) (1)解: an ? 2n ? 1 , bn ? 2n

14

(2)解: c1 ? 3c2 ? 32 c3 ? L ? 3n?1 cn ? an

① ②

c1 ? 3c2 ? 32 c3 ? L ? 3n?1 cn ? 3n cn?1 ? an?1
②-①得: 3n ? cn?1 ? 2 ,? cn ?1 ? 2 ? 3? n 当 n ? 1 时, c1 ? a1 ? 1

?2 ? 31?n , n ? 2 ? cn ? ? ?1, , n ? 1

?Tn ? 2 ?

1 . 3n?1

19.

15

20. (本题 13 分) (Ⅰ)解:当 a ? ?1 时, f ( x) ? ? x 2 e x , f (1) ? ?e .

f ?( x) ? ? x 2 e x ? 2xe x ,
因为切点为( 1, ? e ) 则 k ? f ?(1) ? ?3e , , 所以在点( 1, ? e )处的曲线的切线方程为: y ? ?3ex ? 2e . (Ⅱ)解法一:由题意得, f (?2) ? e ?2 (4a ? a ? 1) ?

??2 分

??4 分

??7 分 e (注:凡代入特殊值缩小范围的均给 4 分)
2

2

,即a ?

1 . 5

f ?( x) ? e x (ax 2 ? 2ax ? a ? 1) ? e x [a( x ? 1) 2 ? 1] ,

1 ,所以 f ?( x) ? 0 恒成立,故 f (x) 在 ?? 2,?1? 上单调递增, 5 2 2 1 要使 f ( x) ? 2 恒成立,则 f (?2) ? e ?2 (4a ? a ? 1) ? 2 ,解得 a ? .??13 分 5 e e
因为 a ? 解法二: f ?( x) ? e x (ax 2 ? 2ax ? a ? 1) ? e x [a( x ? 1) 2 ? 1] (1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 [?2,?1] 上恒成立,故 f (x) 在 ?? 2,?1? 上单调递增,

f ( x) min ? f (?2) ? e ?2 (5a ? 1) ?

2 e
2

即a ?

1 . 5

??7 分

(2)当 a ? 0 时,令 u( x) ? a( x ? 1) 2 ? 1 ,对称轴 x ? ?1 ,

16

则 u (x) 在 ?? 2,?1? 上单调递增,又 u (?1) ? 1 ? 0, u (?2) ? (a ? 1) ① 当 a ? 1 ? 0 ,即 ?1 ? a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 ?? 2,?1? 上恒成立, 所以 f (x) 在 ?? 2,?1? 单调递增,

f ( x) min ? f (?2) ? e ?2 (5a ? 1) ?

2 e
2

即a ?

1 ,不合题意,舍去 5

??10 分 ?12 分 ??13 分

②当 a ? ?1 时, f ( x) ? e x (ax 2 ? a ? 1) ? 0 , 不合题意,舍去 综上所述: a ?

1 5 p , 2

21. (本题 15 分):(Ⅰ)解:设 M ( x0 ,? p) , 则 (? p) 2 ? 2 px0 , x0 ?

p 由抛物线定义,得 x0 ? (? ) ? 2 所以 p ? 2, x0 ? 1. 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线方程为 y 2 ? 4 x , M (1,?2) . 设 A(
y y1 y , y1 ) , B ( 2 , y 2 ) , C ( 3 , y 3 ) ( y1 , y 2 , y 3 均大于零) 4 4 4
2 2 2

??5 分

??6 分

MA , MB , MC 与 x 轴交点的横坐标依次为 x1 , x 2 , x3 .
(1)当 MB ? x 轴时,直线 MB 的方程为 x ? 1 ,则 x1 ? 0 ,不合题意,舍去. ??7 分 (2) MB 与 x 轴不垂直时,

k MB ?

y2 ? 2 y2 ?1 4
2

?

4 y2 ? 2 ,

设直线 MB 的方程为 y ? 2 ?

4 ( x ? 1) ,即 4 x ? ( y 2 ? 2) y ? 2 y 2 ? 0 , y2 ? 2

令 y ? 0 得 2 x 2 ? y 2 ,同理 2 x1 ? y1 ,2 x3 ? y 3 , 因为 x1 , x 2 , x3 依次组成公差为 1 的等差数列, 所以 y1 , y 2 , y 3 组成公差为 2 的等差数列. 设点 A 到直线 MB 的距离为 d A ,点 C 到直线 MB 的距离为 d C ,

??10 分

??12 分

17

因为 S ?BMC ? 2S ?AMB ,所以 d C =2 d A ,
y 3 2 ? ( y 2 ? 2) y 3 ? 2 y 2 16 ? ( y 2 ? 2) 2 ?2 y1 2 ? ( y 2 ? 2) y1 ? 2 y 2 16 ? ( y 2 ? 2) 2

所以

得 y 2 ? 4 ? 2 y 2 ,即 y 2 ? 4 ? 2 y 2 ,所以 y 2 ? 4 , 所以直线 MB 的方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0 解法二: (Ⅰ)同上. ??14 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线方程为 y 2 ? 4 x , M (1,?2) .

由题意,设 MA, MB, MC 与 x 轴交点的横坐标依次为 t ? 1, t , t ? 1 设 A( x1 , y1 ) , C ( x 2 , y 2 ) ( y1 , y 2 均大于零) . ??6 分

(1)当 MB ? x 轴时,直线 MB 的方程为 x ? 1 ,则 x1 ? 0 ,不合题意,舍去. ??7 分 (2) MB 与 x 轴不垂直时, k MB ? 设直线 MB 的方程为 y ? 2 ?

2 t ?1

2 ( x ? 1) ,即 2 x ? (t ? 1) y ? 2t ? 0 , t ?1 同理直线 MA 的方程为 2 x ? (t ? 2) y ? 2(t ? 1) ? 0 ,
得 y 2 ? 2(t ? 2) y ? 4t ? 4 ? 0

? y 2 ? 4x 由? ?2 x ? (t ? 2) y ? 2(t ? 1) ? 0

? ? x ? (t ? 1) 则 ?2 y1 ? ?4t ? 4, 所以 ? 1 , ? y1 ? 2t ? 2 ?
2

??12 分

? x ? (t ? 1) 2 ? 同理 ? 2 ,设点 A 到直线 MB 的距离为 d A ,点 C 到直线 MB 的距离为 ? y 2 ? 2t ? 2 ?
dC ,

因为 S ?BMC ? 2S ?AMB ,所以 d C =2 d A ,
2(t ? 1) 2 ? (t ? 1)(2t ? 2) ? 2t 4 ? (t ? 1) 2 ?2 2(t ? 1) 2 ? (t ? 1)(2t ? 2) ? 2t 4 ? (t ? 1) 2

所以

化简得 2t ? 4 ? 2 2t ,即 t ? 2 , 所以直线 MB 的方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0 ??14 分

18


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