抛物线弦性质_图文

一、复习
⒈焦点弦的定义

| AB |? x1 ? x2 ? p

⒉焦半径公式 若M ( x0 , y0 )在焦点为F的抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上, 则|MF| =
p x0 ? 2

y y
H2

M

⒊通径 | H1 H 2 |? 2 p

O O

F F
H1

x x

p x?? 2

例1.斜率为1的直线l经过抛物线y2 ? 4 x的焦点F, 且与抛物线相交于A、B两点,求 AB 的长。
归纳:
方法1:直接求A、B两点坐标 ,利用两点间距离公式(运算量大) 方法2:设而不求,运用韦达定理和弦长公式(运算量较大) 方法3:设而不求,数形结合及运用韦达定理(运算量较小) 抛物线焦点弦公式 |AB| =x1+x2+p

y
B

变式训练:过抛物线y2 ? 2 px( p ? 0)的焦点F作直线l,M 与抛物线相交于A、B两点。
F
O

x

A 求证:以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

例2.过抛物线y2 ? 2 px( p ? 0)的焦点F 作直线 与抛物线相交于A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ), 求证:y1 y2 ? ? p 2
思考1:在同样条件下,注意到y1 y2 ? ? p2,那么x1x2 ? ?

y
若过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0)的焦点 的直线与抛物线两个交点的横坐标分别 p 为x1、x2,则 x1 x2 ? . 4
2

B

F
O

x
A

思考2 : 若直线与抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0)的两个交点的纵坐标 y1、y2, 满足 y1 y2 ? ? p 2,则该直线是否经过焦点F ?

设交点为A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )

1) 若 x1 ? x2, 则| y1 | ? | y2 | ? p
?直线AB过焦点F

? x1 ? x2 ?

p 2

2) 若 x1 ? x2 , 则k AB
k AF ? y1 p x1 ? 2
? y1
2

y2 ? y1 ? x2 ? x1

?

2 py1 2p 2 py 1 ? y1 p ? 2 2 ? 2 ? y1 ? p y1 ? y1 y2 y1 ? y2 2p 2

y2 ? y1 2p 2 2 ? y2 y y1 ? y2 ? 1 2p 2p

y
B

? k AB ? k AF

?直线AB过焦点F
2

F
O

若A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )在抛物线 y ? 2 px ( p ?A 0)上, 则 y1 y2 ? ? p 2 ? 直线AB过焦点F

x

思考2 : 若直线与抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0)的两个交点的纵坐标 y1、y2, 满足 y1 y2 ? ? p 2,则该直线是否经过焦点F ?

A、B、F三点共线

uur uur FA // FB

y
B

F
O

x
A

归纳小结(一)
1.设而不求,数形结合及运用韦达定理,是解决直线与 双曲线的位置关系问题的常用方法;

2.抛物线y2 ? 2 px( p ? 0)的焦点弦的性质:

y

(1)|AB|=x1 +x2 +p (2)y1 y2 ? ? p p (3) x1 x2 ? 4
2 2
O

B

F

x
A

课堂练习
1.直线l经过抛物线y2 ? 8 x的焦点F,与抛物线交于A、B两点, 且点A的坐标为(8,8),则线段AB的中点到准线的距离为( A) 25 25 25 A. B. C. D.25 4 2 8
2.已知抛物线 y 2 ? 6 x的焦点弦两端点为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ), y1 y2 则 ? x1 x2

-4

例3.过抛物线y ? 2 px( p ? 0)的焦点F 作直线l,
2

与抛物线相交于A,B两点, 1 1 2 求证: ? ? | AF | | BF | p
y
B F
O

x
A

例4.过抛物线y2 ? 2 px( p ? 0)的焦点F 作直线l, 与抛物线相交于A,B两点,若直线l的倾斜角为?, 2p 求证:(1) |AB |? 2 ; sin ? p2 (2)S?AOB ? 2sin ?

y
B

F
O

x
A

二、抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点弦性质
2

下记AB为焦点弦, H1 H 2为通径 1. 若H1、H 2的纵坐标为 y1、y2,则 y1 y2 ? ? p 2 2. 若A、B的纵坐标为 y1、y2,则 y1 y2 ?? ? p2
2 y y ? ? p 1) 若AB ? x轴,则由1.知 1 2

课本P119习题 8.5的第7题

p 设 l AB : y ? k ( x ? ) 2) 若AB不垂直于 x轴,则 2 p ? y ? k( x ? 2 ) y 由? 2 ? y ? 2 px 2p 2 消x,得 : y ? y ? p2 ? 0 F k O

B

? y1 y2 ? ? p

2

x

A

二、抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点弦性质
2

下记AB为焦点弦, H1 H 2为通径 若A、B的纵坐标为 y1、y2,则 y1 y2 ? ? p 2 p2 1. 若A、B的横坐标为 x1、x2,则x1 x2 ? 4 2. 若直线与抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0)的两个交点的纵坐标 y1、y2,满足 y1 y2 ? ? p 2,则该直线是否经过焦 点F ?

p 焦半径 | AF | ? x A ? 2 焦点弦长 | AB | ? x A ? xB ? p

y
B

通径 | H1 H 2 | ? 2 p

2p 焦点弦长 | AB | ? 2 sin ?

(其中?为直线AB与

O

F A

x

? x1 ? x2 ? p ?

2 p 消 y,得:x 2 tan 2 ? ? ( p tan 2 ? ? 2 p) x ? tan 2 ? ? 0 4 2

p ? y ? ( x ? ) tan ? 2 由 ? 2 ? y ? 2 px
2p , 2 tan ?

的倾斜角) 对称轴的夹角) p p x?? 当? ? 90? 时, l AB : y ? ( x ? ) tan ? 2
2

x1 x2 ?

p 4

2p 2 p2 2 ? | AB |? 1 ? tan ? ( p ? ) ?4 2 tan ? 4

tan 2 ? ? 1 2p ? 2p ? 2 tan ? sin 2 ?

二、抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点弦性质
2

下记AB为焦点弦, H1 H 2为通径 若A、B的纵坐标为 y1、y2,则 y1 y2 ? ? p 2 p2 1. 若A、B的横坐标为 x1、x2,则x1 x2 ? 4 2. 若A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )在抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0)上, 则 y1 y2 ? ? p 2 ? 直线AB过焦点F

1) 焦点弦长 | AB | ? x1 ? x2 ? p
2p 2) 焦点弦长 | AB | ? sin 2 ? (其中?为直线AB与 对称轴的夹角)

⒈过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点.若 x1 ? x2 ? 6 ,则|AB|= ___________ 8 ⒉过抛物线 y 24 为________ ;一条焦点弦长为16,则弦所在的直线倾斜 ? 2 角为 _________ 或 ? .
3 3
2

3 ? 12 x的焦点作倾斜角为 ? 的弦,则此弦长 4

焦点弦长| AB | ? x1 ? x2 ? p

⒊过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的对称轴上有一点M (p, 0), 作一条直线与抛物线交于 A 、 B 两点,若 A 点纵坐标为 p ? ,则B点纵坐标为 ________ 4p 2
2

2p 焦点弦长 | AB | ? sin2 ?

(其中?为直线AB与对称轴的夹角)

m

2p ? y ? k ( x ? p) 2 由? 2 ?y ? y ? 2 p 2 ? 0 ? y1 y2 ? ?2 p 2 k ? y ? 2 px

2 y ? 2 px 的一条弦,O为坐标原点, 4.若AB是抛物线 则OA ?OB 的充要条件是弦AB过点(2p,0)。

5.过抛物线 焦点的一条直线,与它交于P、Q两点, 经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,求证直 线MQ平行于抛物线的对称轴。
(课本P123习题第6题)

变:设抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为F,经过点F 的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线 上,且BC?? x轴,证明AC经过原点O。 (01高考)

本节课,我们主要从代数(方程)的角度研究抛物线 的焦点弦的一些性质。而对于从几何观点去研究它的

性质,希望同学们课后完成。

探究抛物线焦点弦的其它性质


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