高考调研2016年专题研究9-2圆锥曲线中的最值与范围


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专题研究二

圆锥曲线中的最值
与范围

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第九章

解析几何

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专题讲解

题 组 层 级 快 练

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专 题 讲 解

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题型一

最值问题
P在x轴 上 的 射

1 2 例1 已 知 P为 抛 物 线 y= x 上 的 动 点 , 点 4 影 为 M, 点 A的 坐 标 是 ( 2 0 ,) ________.

, 则 |PA|+|PM|的 最 小 值 是

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【 解 析 】 F( 0 1 ,) 如 图 , 抛 物 线

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1 2 y= 4 x , 即 x2=4y的 焦 点 为 l:y= - 1上 的 投 影 为 P′, 根

, 记 点 P在 抛 物 线 的 准 线

据 抛 物 线 的 定 义 知 , |PA|≥|AF|=

|PP′|=|PF|, 则 |PP′|+|PA|=|PF|+ 5 .所 以 (|PA|+|PM|)m n i =(|PA|+

22+?-1?2 =

|PP′|-1)m n i = 5-1.

【答案】

5-1

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【讲评】

一看到本题,不少同学可能会依常理 “ 出

牌”——构造函数,将问题转化为求函数的最值,然而其最值

很难求得,这也恰恰落入了命题者有意设置的 “ 圈套 ” 之
中.事实上,与抛物线的焦点(或准线)相关的最值问题,更多 的是考虑数形结合,利用抛物线的定义进行转化,然后再利 用三点共线或三角形的三边关系加以处理.

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探究1 圆锥曲线中最值的求法有两种:

(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及
意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法. (2) 代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函 数,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,求函 数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函

数的单调性法等.

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思考题1 已知点P在直线x+y+5=0上,点Q在抛 物线y2=2x上,则|PQ|的最小值等于________.
【解析】 设与直线x+y+5=0平行且与抛物线y2=2x ? ?x+y+m=0, 相切的直线方程是x+y+m=0,则由 ? 2 消去 ? ?y =2x, 1 2 x,得y +2y+2m=0.令Δ=4-8m=0,得m= ,因此|PQ|的 2 1 最小值等于直线x+y+5=0与x+y+ 2 =0间的距离,即等于 1 |5-2| 9 2 = . 4 2 9 2 【答案】 4
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例2

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(2013· 浙江文) 已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0) ,焦点

为F(0,1).

(1)求抛物线C的方程; (2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若直线AO,BO 分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.
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【 解 析 】 ( 1 ) 由 题 意 可 设 抛 物 线

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C的 方 程 为 x2=

p 2py(p>0),则 =1,所以抛物线C的方程为x2=4y. 2 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.
? ?y=kx+1, 由? 2 ? ?x =4y,

消去y,整理,得x2-4kx-4=0.

所以x1+x2=4k,x1x2=-4. 从而|x1-x2|=4 k2+1.

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y1 ? ?y= x, 由 ? x1 ? ?y=x-2, 8 = . 4-x1

2x1 2x1 解得点M的横坐标为xM= = 2 x1 x1-y1 x1- 4

8 同理,点N的横坐标xN= . 4-x2 8 8 所以|MN|= 2|xM-xN|= 2| - | 4-x1 4-x2

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x1-x2 8 2 k2+1 =8 2| |= . x1x2-4?x1+x2?+1 6 |4k-3| t+3 令4k-3=t,t≠0,则k= . 4 2 5 6 当t>0时,|MN|=2 2· 2 + +1>2 2; t t 5 32 1 6 8 当t<0时,|MN|=2 2· ? + ? + ≥ 2. t 5 2 5 5 2 5 4 综上所述,当t=- 3 ,即k=- 3 时,|MN|的 最 小 值 是 2. 8 5

8 【答案】 (1)x =4y (2)5 2
2
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思考题2

x2 y2 椭圆C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 a b

6 3 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆C的方程; (2)设存在斜率的直线l与椭圆C交于A,B两点,坐标原 3 点O到直线l的距离为 2 ,求△AOB面积的最大值.

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【解析】

?c 6 ? = , ( 1 ) 设椭圆的半焦距为c,依题意?a 3 ? ?a= 3,

x2 2 ∴b=1,∴所求椭圆方程为 3 +y =1 . ( 2 ) 设A(x1,y1),B(x2,y2)①当AB⊥x轴时,|AB|= 3. 当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m. |m| 3 3 2 2 由已知 ). 2= 2 ,得m =4(k +1 1+k

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把y=kx+m代 入 椭 圆 方 程 , 整 理 , 得 +3m2-3=0. -6km 3?m2-1? ∴x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 3k +1 3k +1 ∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2
2 ? 36k2m2 12 ? m -1?? ? 2 ? =(1+k )? 2 2- 2 3k +1 ? ??3k +1? ?

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(3k2+1)x2+6k m x

12?k2+1??3k2+1-m2? 3?k2+1??9k2+1? = = ?3k2+1?2 ?3k2+1?2 12k2 =3+ 4 9k +6k2+1
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1 2 =3+ (k≠0 ) 1 9k2+k2+6 1 2 ≤3+ =4 . 2×3+6

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1 3 当且仅当9k = 2,即k=± 时等号成立. k 3
2

当k=0时,|AB|= 3,综上所述|AB|m . a x =2 ∴当|AB|最大时,△A O B 面积取最大值 1 3 3 S= ×|AB|m = . a x × 2 2 2 x2 2 3 【答案】 (1) 3 +y =1 (2) 2
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题型二 例3

范围问题

(2015· 福建福州质检 ) 如图所示,直线 y = m 与抛物

线y2=4x交于点A,与圆(x-1)2+y2=4的实线部分交于点B,F 为抛物线的焦点,则△ABF的周长的取值范围是________.

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【解析】

由抛物线和圆的对称性知,当A,B重合时,

三角形 ABF的周长达到最小值的极限,此时,值为 4 ;当 A为
抛物线的顶点, B 在 x 轴上时,三角形 ABF 的周长达到最大值 的极限,此时,值为6.故△ABF的周长的取值范围是(4,6). 【答案】 (4,6)

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探究2

求范围时注意椭圆、双曲线、抛物线的有界性,

还要注意判别式对范围的影响.

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思考题3

x2 y2 过椭圆C: 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点A a b

且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射 1 1 影恰好为右焦点F,若 <k< ,则椭圆离心率的取值范围为 3 2 ________.

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【 解 析 】 由 题 意 知 : b2 B(c, a ),

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b2 a-c a 1 1 ∴k= = a =1-e.又3<k<2, c+a 1 1 1 2 ∴ <1-e< ,解得 <e< . 3 2 2 3

1 2 【答案】 (2,3)

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例4 已 知 点 G是△ABC的 重 心 , A(0, - 1),B( 0 1 ,) x轴 上 有 一 点 → |=|MC → |,GM → =λAB → (λ∈R). M, 满 足 |MA

, 在

( 1 ) 求 点 C的 轨 迹 方 程 ; ( 2 ) 若 斜 率 为 k的 直 线 l与点C的 轨 迹 交 于 不 同 两 点 → |=|AQ → |, 且 满 足 |AP 试 求 k的 取 值 范 围 . P,Q,

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【解析】

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x y ( 1 ) 设C(x,y),则G(3,3).

→ =λAB → (λ∈R),所以GM∥AB. 因为GM x 又M是x轴上一点,则M(3,0 ). → |=|MC → |, 又|MA 所以 x2 ? ? +?0+1?2= 3 x ? -x?2+y2, 3 C的轨迹方程.

x2 2 整理得 3 +y =1 ( x≠0 ), 此 即 为 点
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( 2 ) ①当k=0时 , l和 椭 圆 C有 两 个 不 同 交 点 P、Q, 根 据 椭 圆 的 对 称 性 有 → |=|AQ → |. |AP

②当k≠0时,可设l的方程为y=kx+m, y=kx+m, ? ? 2 联立方程组?x 消去y整理,得 2 +y =1, ? ?3 (1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.① 因为直线l和椭圆C交于不同两点,

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所 以 Δ=(6km)2-4(1+3k2)· 3(m2-1)>0, 即1+3k2-m2>0.② 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1,x2是方程①的两相异实 3?m2-1? 6km 根,所以x1+x2=- 2,x1x2= 2 . 1+3k 1+3k 则PQ的中点N(x0,y0)的坐标是 x1+x2 3km m x0= 2 =- ,y =kx0+m= , 1+3k2 0 1+3k2 3km m → → 即N(- 2, 2).又|AP|=|AQ|, 1+3k 1+3k
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m 2+1 1 + 3 k → ⊥PQ → ,所以k· 所 以 AN kAN=k· 3km =-1. - 1+3k2 1+3k2 1+3k2 所以m= ,将m= 代入②,得1+3k2- 2 2 1+3k2 2 ( ) >0(k≠0),即k2<1,所以k∈(-1,0)∪(0,1). 2 综合①②得k的取值范围是(-1,1).

x2 2 【答案】 (1) 3 +y =1(x≠0) (2)(-1,1)
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思考题4

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已知曲线 C : y2 =- 4x(x> - 3) ,直线 l 过

点 M(1,0) 交曲线 C 于 A , B 两点,点 P 是 AB 的中点, EP 是 AB 的

中垂线,E点的坐标为(x0,0),试求x0的取值范围.
【解析】 由题意可知,直线l与x轴不垂直,可设l:y= k(x-1),代入曲线C的方程,得

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k2x2+2 ( 2 -k2)x+k2=0 ( -3 < x≤0 ) .① 设f(x)=k2x2+2 ( 2 -k2)x+k2,由直线l交曲线C于A,B两 点,则必有(等价代数形式) ? ?k≠0, ?Δ=4?2-k2?2-4k4>0, ? 3 ? |k|> 2 , ? ?
? 解之得k∈? ?-1,- ? ? ? 3? ? ? 3 ? ∪ , 1 ? ?. 2? ? ? 2 ?

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2?k2-2? 1 由 方 程 ①, 得 xA+xB= ,xP= (xA+xB)= k2 2 k2-2 2 - k. k2 ,yP=k(xP-1)=
2 k -2? 2 1? ? 所 以 直 线 EP的 方 程 为 y+ = - ?x- 2 ? . ? k k? k ?

2 令y=0, 得 x0= - 1-k2.

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3 2 ∵4<k <1,
? 11 ? 11 ∴- <x0<-3,即x0的取值范围是?- 3 ,-3?. 3 ? ?

【答案】

? 11 ? ?- ,-3? 3 ? ?

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题组层级快练

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