江西省萍乡市高中数学 第一章 立体几何初步 1.5.1.2 平面与平面平行的判定课件 北师大版必修2_图文

第2课时

平面与平面平行的判定

1.掌握面面平行的判定定理. 2.能利用面面平行的判定定理证明面面的平行关系.

平面与平面平行的判定定理

平面与平面平行的判定定理告诉我们,可以通过直线与平面平行来 证明平面与平面平行.通常我们将其记为“若线面平行,则面面平行”.

名师点拨对两个平面平行的判定定理的三点说明: (1)两个平面平行是指两个不重合的平面无公共点. (2)判断平面与平面平行问题可以转化为判断直线与平面平行问 题,即要证明两平面平行,只要在其中一个平面内找到两条相交直 线都与另一个平面平行,就可断定已知的两个平面平行. (3)利用判定定理证明两个平面平行时必须具备的两个条件:①有 两条直线平行于另一个平面;②这两条直线必须为相交直线.

【做一做1】 已知直线l,m,平面α,β,且l?α,m?α,l∥β,m∥β,则α与β 的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.重合 答案:C 【做一做2】 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,与平面ABCD平行的平 面是( ) A.平面A'B'C'D' B.平面AA'D'D C.平面ABB'A' D.平面BCC'B' 答案:A

题型一

题型二

题型三

题型一

两平面位置关系的判断

【例1】 判断下列给出的各种说法是否正确? (1)如果直线a和平面α不相交,那么a∥α; (2)如果直线a∥平面α,直线b∥a,那么b∥α; (3)如果直线a∥平面α,那么经过直线a的平面β∥α; (4)如果平面α内的两条相交直线a和b与平面β内的两条相交直线 a'和b'分别平行,那么α∥β. 分析:按照线面平行、面面平行的定义及判定定理对每个命题进 行分析判断即可.

题型一

题型二

题型三

解:(1)不正确.当直线a和平面α不相交时,可能有a?α,a∥α两种情 况,当a?α时,a与α不平行; (2)不正确.当直线b∥a时,如果b?α,则有b∥α,如果b?α,则没有b∥α; (3)不正确.当a∥α时,经过直线a的平面β可能与α平行,也可能与α 相交; (4)正确.由线面平行的判定定理,知a∥β,b∥β,且a,b?α,a与b相交, 所以必有α∥β. 反思1.运用线面平行、面面平行的判定定理判定结论是否正确 时,一定要紧扣两个定理的条件,忽视条件,很容易导致判断错误. 2.在判断一些命题的真假时,一方面要善于列举反例来否定一个 命题,另一方面要充分考虑线线关系、线面关系、面面关系中的各 种情形,以对一个命题的真假作出合理的判断.

题型一

题型二

题型三

【变式训练1】 设α,β为两个不重合平面,在下列条件中,可判断平 面α与β平行的是 . ①α,β都平行于γ. ②α内存在不共线的三点到β的距离相等. ③l,m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β. ④l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β. 解析:①正确.②中如果平面α内三个点在平面β的两侧,满足不共线 的三点到平面β的距离相等,此时这两个平面相交,故②错误.③中若 l与m平行,则α与β可能相交,故③错误.④正确. 答案:①④

题型一

题型二

题型三

题型二

证明平面与平面平行

【例2】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是 CC1,B1C1,C1D1的中点. 求证:平面PMN∥平面A1BD.

分析:可把面面平行转化为线面平行或线线平行来解决.

题型一

题型二

题型三

证明:如图所示,连接B1D1,B1C. ∵P,N分别是D1C1,B1C1的中点, ∴PN∥B1D1. 又B1D1∥BD,∴PN∥BD. 又PN?平面A1BD,BD?平面A1BD, ∴PN∥平面A1BD. 同理可得MN∥平面A1BD. 又MN∩PN=N, ∴平面PMN∥平面A1BD. 反思证明平面与平面平行的方法: (1)利用定义,证明面面无公共点. (2)利用面面平行的判定定理转化为证明线面平行,即证明一个平 面内的两条相交直线都平行于另一个平面.

题型一

题型二

题型三

【变式训练2】 如图所示,若本例中去掉侧棱上的三个中点,如何 证明平面AB1D1∥平面C1BD?

解:∵BB1DD1,

∴四边形BDD1B1为平行四边形, ∴BD∥B1D1.
又B1D1?平面C1BD,BD?平面C1BD, ∴B1D1∥平面C1BD. 同理可得AD1∥平面C1BD. 又B1D1∩AD1=D1, ∴平面AB1D1∥平面C1BD.

题型一

题型二

题型三

题型三

平行关系的综合应用

【例3】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD 的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,试说明当点Q在什么位置 时,平面D1BQ∥平面PAO.

分析:由P是DD1的中点,猜想Q应是CC1的中点.

题型一

题型二

题型三

解:当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO. 证明如下: 设Q为CC1的中点, 则 PDQC,连接 PQ,则由 PQDCAB, 可知四边形ABQP是平行四边形, ∴AP∥BQ. ∵AP?平面D1BQ,BQ?平面D1BQ, ∴AP∥平面D1BQ. ∵O,P分别为BD,DD1的中点,∴OP∥BD1. 又OP?平面D1BQ,BD1?平面D1BQ, ∴OP∥平面D1BQ. 又AP∩PO=P,∴平面D1BQ∥平面PAO, ∴当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.

题型一

题型二

题型三

反思对于条件缺失的探索性问题,解答过程中要明确目的,结合题 目本身的特点与相应的定理大胆地猜想,然后加以证明.特别要注 意中点、顶点等特殊点.

题型一

题型二

题型三

【变式训练3】

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E为PB的中 点. (1)求证:CE∥平面PAD. (2)在线段AB上是否存在一点F,使得平面PAD∥平面CEF?若存在, 证明你的结论;若不存在,说明理由.

题型一

题型二

题型三

(1)证明 :如图 ①所示 ,取 PA 的中点 H,连接 DH,EH. 因为 E 是 PB 的中点 ,所以 HE∥AB,且 HE= . 又 CD∥AB,且 CD=
1 , 所以CDHE, 2 1 2

所以四边形 DCEH 是平行四边形 ,所以 CE∥DH, 又 DH?平面 PAD,CE?平面 PAD, 所以 CE∥平面 PAD.

图①

题型一

题型二

题型三

(2)解 :当 F 为线段 AB 的中点时 ,满足平面 PAD∥平面 CEF. 证明如下 :

图② 如图 ②所示 ,取 AB 的中点 F,连接 CF,EF,所以 AF= 又 CD=
1 , 所以AF=CD, 2

1 . 2

又 AF∥CD,所以四边形 AFCD 为平行四边形 ,因此 CF∥AD, 又 CF?平面 PAD,AD?平面 PAD,所以 CF∥平面 PAD. 由 (1)可知 CE∥平面 PAD.因为 CE∩CF=C, 所以平面 PAD∥平面 CEF.

1

2

3

4

1.若直线l∥平面α,直线m∥平面α,直线l与m相交于点P,且l与m确定 的平面为β,则α与β的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.重合 D.平行或相交 答案:B

1

2

3

4

2.下列命题中正确的是( ) ①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平 行; ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面 平行; ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面 平行; ④若一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平 面平行. A.①③ B.②④C.②③④ D.③④

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3

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解析:如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,在平面ABCD内,在AB 上任取一点E,过点E作EF∥AD交CD于F,则由线面平行的判定定理 知,EF,BC都平行于平面ADD1A1. 用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数 条直线都与平面ADD1A1平行,但是平面ABCD 与平面ADD1A1不平行. 因此,命题①②都不正确. 命题③正确,事实上,因为一个平面内任意一条直线都平行于另 一个平面,所以这两个平面必无公共点(要注意“任意一条直线”与 “无数条直线”的区别). 命题④是平面与平面平行的判定定理,故正确. 答案:D

1

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3

4

3.已知直线a,b,c为三条不重合的直线,平面α,β,γ为三个不重合平面, 则以下三个命题: ①a∥c,b∥c?a∥b;②γ∥α,β∥α?γ∥β;③a∥γ,α∥γ?a∥α. 其中正确命题的序号是 . 解析:由平行公理,知①正确;由平面平行的传递性知②正确;③不正 确,因为a可能在α内. 答案:①②

1

2

3

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4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别 是BC,DC和SC的中点.求证:

(1)直线EG∥平面BDD1B1; (2)平面EFG∥平面BDD1B1.

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2

3

4

证明:(1)如图所示,连接SB. ∵E,G分别是BC,SC的中点,∴EG∥SB. 又SB?平面BDD1B1,EG?平面BDD1B1, ∴直线EG∥平面BDD1B1. (2)如图所示,连接SD. ∵F,G分别是DC,SC的中点,∴FG∥SD. 又SD?平面BDD1B1,FG?平面BDD1B1, ∴直线FG∥平面BDD1B1. 又EG∥平面BDD1B1,且直线EG?平面EFG,直线FG?平面EFG,直 线EG∩直线FG=G, ∴平面EFG∥平面BDD1B1.


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