2019届高三数学(文)一轮复习课件:名师专题讲座1_图文

第 三 章 导数及其应用 名师专题讲座(一) 函数与导数的高考解答题型及求解策略 专题概述 导数的综合应用是历年高考必考的热点,试题难度较大,多 以压轴题形式出现,命题的热点主要有利用导数研究函数的单调 性、极值、最值;利用导数研究不等式;利用导数研究方程的根 (或函数的零点);利用导数研究恒成立问题等.体现了分类讨论、 数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用. 题型一 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题型概览:函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是 分类讨论. (1)单调性讨论策略:单调性的讨论是以导数等于零的点为分 界点,把函数定义域分段,在各段上讨论导数的符号,在不能确 定导数等于零的点的相对位置时,还需要对导数等于零的点的位 置关系进行讨论. (2)极值讨论策略:极值的讨论是以单调性的讨论为基础,根 据函数的单调性确定函数的极值点. (3)最值讨论策略:图象连续的函数在闭区间上最值的讨论, 是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标 准进行的,在极值和区间端点函数值中最大的为最大值,最小的 为最小值. 1 已知函数 f(x)=x- ,g(x)=alnx(a∈R). x (1)当 a≥-2 时,求 F(x)=f(x)-g(x)的单调区间; (2)设 h(x)=f(x)+g(x),且 h(x)有两个极值点为 x1,x2,其中 ? 1? ? x1∈?0,2? ?,求 ? ? h(x1)-h(x2)的最小值. [审题程序] 第一步:在定义域内,依据 F′(x)=0 根的情况对 F′(x)的 符号讨论; 第二步:整合讨论结果,确定单调区间; 第三步:建立 x1、x2 及 a 间的关系及取值范围; 第四步:通过代换转化为关于 x1(或 x2)的函数,求出最小值. 1 [规范解答] (1)由题意得 F(x)=x- -alnx, x x2-ax+1 其定义域为(0,+∞),则 F′(x)= , x2 令 m(x)=x2-ax+1,则 Δ=a2-4. ①当-2≤a≤2 时,Δ≤0,从而 F′(x)≥0,∴F(x)的单调递 增区间为(0,+∞); a- a2-4 ②当 a>2 时,Δ>0,设 F′(x)=0 的两根为 x1= , 2 a+ a2-4 x2 = , 2 ∴F(x)的单调递增区间为 ? a- ? ?0, ? 2 ? ? a2-4? ? ?a+ a -4 ? 和 ,+∞?, ? ? 2 2 ? ? ? ?a- F(x)的单调递减区间为? ? ? a2-4 a+ a2-4? ? , ?. 2 2 ? 综上,当-2≤a≤2 时,F(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当 a>2 时,F(x)的单调递增区间为 ? a- ? ?0, ? ?a+ a2-4 ? a2-4? ? ? ? 和 ,+ ∞ ? ? ?, 2 2 ? ? ? ?a- F(x)的单调递减区间为? ? ? a2-4 a+ a2-4? ? , ?. 2 2 ? 1 (2)对 h(x)=x- +alnx,x∈(0,+∞) x 2 1 a x +ax+1 求导得,h′(x)=1+ 2+ = , x x x2 设 h′(x)=0 的两根分别为 x1,x2,则有 x1· x2=1,x1+x2=- a, 1 1 ∴x2= ,从而有 a=-x1- . x1 x1 令 ?1? ? H(x)=h(x)-h? ? x? ? ? 1? 1 ? ? =x- +?-x- ? lnx- x? x ? ? ?1 ? ? 1? ? ? ? 1? ln ? ? x-x+?-x-x?· ? ? ? x? ?? 1? 1? ?? ? =2??-x- x?lnx+x-x? ?, ?? ? ? ?1 ? 2?1-x??1+x?lnx ? ? H′(x)=2?x2-1?lnx= . 2 x ? ? 当 ? 1? ? x∈?0,2? ?时,H′(x)<0, ? ? ? 1? ? ∴H(x)在?0, ? 上单调递减, 2? ? ? 又 ?1? ? H(x1)=h(x1)-h? ?x ?=h(x1)-h(x2), ? 1? ?1? ? ∴[h(x1)-h(x2)]min=H? ?2?=5ln2-3. ? ? [解题反思] 本例(1)中求 F(x)的单调区间,需先求出 F(x)的 定义域,同时在解不等式 F′(x)>0 时需根据方程 x2-ax+1=0 的根的情况求出不等式的解集,故以判别式“Δ”的取值作为分 类讨论的依据.在(2)中求出 h(x1)-h(x2)的最小值,需先求出其解 析式.由题可知 x1,x2 是 h′(x)=0 的两根,可得到 x1x2=1,x1 +x2=-a,从而将 h(x1)-h(x2)只用一个变量 x1 导出.从而得到 ?1? ? H(x1)=h(x1)-h? 这样将所求问题转化为研究新函数 ?x ?, ? 1? H(x)=h(x) ?1? ? 1? ? ? ? -h?x?在?0,2? ?上的最值问题,体现转为与化归数学思想. ? ? ? ? [答题模板] 解决这类问题的答题模板如下: [题型专练] 1.设函数 f(x)=(1+x)2-2ln(1+x). (1)求 f(x)的单调区间; (2)当 0<a<2 时,求函数 g(x)=f(x)-x2-ax-1 在区间[0,3]上 的最小值. [解] (1)f(x)的定义域为(-1,+∞). ∵f(x)=(1+x)2-2ln(1+x),x∈(-1,+∞), 2x?x+2? 2 ∴f′(x)=2(1+x)- = . 1+x x+1 由 f′(x)>0,得 x>0;由 f′(x)<0,得-1<x<0. ∴函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(- 1,0). (2)由题意可知 g(x)=(2-a)x-2ln(1+x)(x>-1), ?2-a?x-a 2 则 g′(x)=2-a

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