(新课标)高中数学《2.3.1抛物线及其标准方程》课件 新人教A版选修1-1_图文

2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程 【课标要求】 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.会求简单的抛物线的方程. 【核心扫描】 1.抛物线的定义及其标准方程的求法.(重点) 2.抛物线定义及方程的应用.(难点) 自学导引 1.抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(不经过点 F) 距离相等 的 点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的 焦点 ,直线 l 叫做 抛物线的 准线 . 试一试:在抛物线定义中,若去掉条件“l 不经过点 F”,点的 轨迹还是抛物线吗? 提示 当直线 l 经过点 F 时,点的轨迹是过定点 F 且垂直于定 直线 l 的一条直线;l 不经过点 F 时,点的轨迹是抛物线. 图形 标准方程 y =2px(p>0) 2 焦点坐标 准线方程 p ( ,0) 2 p (- ,0) 2 p (0, ) 2 p (0,-2) p x=- 2 p x= 2 p y=- 2 p y=2 y =-2px(p>0) 2 x =2py(p>0) 2 x2=-2py(p>0) 想一想:已知抛物线的标准方程,怎样确定抛物线的焦点位置 和开口方向? 提示 一次项变量为 x(或 y),则焦点在 x 轴(或 y 轴)上;若系 数为正则焦点在正半轴上;系数为负,则焦点在负半轴上.焦 点确定,开口方向也随之确定. 名师点睛 1.抛物线定义的理解 (1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”,一个动点,设为 M;一个定点 F 即抛物线的焦点;一条定直线 l 即抛物线的准 线;一个定值即点 M 与点 F 的距离和它到直线 l 的距离之比等 于 1. (2)在抛物线的定义中,定点 F 不能在直线 l 上,否则,动点 M 的轨迹就不是抛物线, 而是过点 F 垂直于直线 l 的一条直线. 如 到点 F(1,0)与到直线 l:x+y-1=0 的距离相等的点的轨迹方 程为 x-y-1=0,轨迹为过点 F 且与直线 l 垂直的一条直线. 2.抛物线标准方程的特点 四种抛物线及其标准方程的共同特点是:(1)原点在抛物线上; (2)对称轴为坐标轴;(3)p 为大于 0 的常数,其几何意义表示焦 点到准线的距离;(4)准线与对称轴垂直,垂足与焦点关于原点 2p p 对称;(5)焦点、准线到原点的距离都等于 4 =2. 抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标 准方程形式, 规律是: 焦点决定于一次项, 开口决定于正负号, 即标准方程中,如果含的是 x 的一次项,则焦点就在 x 轴上, p p p p 并且焦点的横坐标为2(或-2),相应的准线是 x=-2(或 x=2), 如果含的是 y 的一次项,有类似的结论. 题型一 求抛物线的标准方程 【例 1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点为(-2,0); (2)准线为 y=-1; (3)过点 A(2,3); 5 (4)焦点到准线的距离为2. [思路探索] 求抛物线方程要先确定其类型,并设出标准方程, 再根据已知求出系数 p.若类型不能确定,应分类讨论. p 解 (1)由于焦点在 x 轴的负半轴上,且2=2,∴p=4, ∴抛物线标准方程为 y2=-8x. p (2)∵焦点在 y 轴正半轴上,且2=1,∴p=2, ∴抛物线标准方程为 x2=4y. (3)由题意,抛物线方程可设为 y2=mx(m≠0)或 x2=ny(n≠0), 将点 A(2,3)的坐标代入,得 9 4 3 =m· 2 或 2 =n· 3,∴m= 或 n= . 2 3 2 2 9 4 2 ∴所求的抛物线方程为 y =2x 或 x =3y. 2 5 5 (4)由焦点到准线的距离为 ,可知 p= . 2 2 ∴所求抛物线方程为 y2=5x 或 y2=-5x 或 x2=5y 或 x2=-5y. 规律方法 求抛物线方程,通常用待定系数法,若能确定抛物 线的焦点位置, 则可设出抛物线的标准方程, 求出 p 值即可. 若 抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论.焦点在 x 轴上的 抛物线方程可设为 y2=ax(a≠0), 焦点在 y 轴上的抛物线方程可 设为 x2=ay(a≠0). 【变式 1】 根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)经过点(-3,-1); (2)焦点为直线 3x-4y-12=0 与坐标轴的交点. 解 (1)∵点(-3,-1)在第三象限, ∴ 设 所 求 抛 物 线 的 标 准 方 程 为 y2 = - 2px(p>0) 或 x2 = - 2py(p>0). 若抛物线的标准方程为 y2=-2px,则由(-1)2=-2p×(-3), 1 解得 p=6;若抛物线的标准方程为 x2=-2py,则由(-3)2=- 9 2p×(-1),解得 p= . 2 1 ∴所求抛物线的标准方程为 y =- x 或 x2=-9y. 3 2 (2)对于直线方程 3x-4y-12=0,令 x=0,得 y=-3; 令 y=0,得 x=4, ∴抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0). p 当焦点为(0,-3)时, =3, 2 ∴p=6,此时抛物线的标准方程为 x2=-12y; p 当焦点为(4,0)时,2=4, ∴p=8,此时抛物线的标准方程为 y2=16x. ∴所求抛物线的标准方程 x2=-12y 或 y2=16x. 题型二 抛物线定义的应用 【例 2】 如图,已知抛物线 y2=2x 的 焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又 有点 A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值, 并求此时 P 点坐标. [ 思路探索] 解题的关键是利用抛物线的定义得到 |PA|+ |PF|= |PA|+|PQ|,由图可知当 A、P、Q 三点共线时取最小值. 解 如图,作 PQ⊥l 于 Q,由定义知,抛物线上点 P 到焦点 F 的距 离等于点 P 到准线 l 的距离 d,由图可知,求|PA|+|PF|的最小值的 问题可转化为求|PA|

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