福建省泉州市2014届高三数学3月质检试题 理_图文

福建省泉州市 2014 届高三数学 3 月质检试题 理(扫描版)新人教 A 版

1

2

3

4

5

6

2014 届泉州市普通中学高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法 与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分.

1. D

2. A

3. A

4. B

5. C

6. B

7. C

8. D

9. C

10. A

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分. 11.

2 3

12. 2

13. 6

14. 4

15.①④

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.本小题主要考查概率、统计的基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识,考查必然 与或然思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)由题意,可得该校普理生、普文生、艺体生的人数比例为 2:2:1, …………2 分 所以 10 人的样本中普理生、普文生、艺体生的人数分别为 4 人,4 人,2 人.…………4 分 (Ⅱ)由题意,可知 ? ? 0,1, 2 , …………5 分

P (? ? 0) ?

0 1 1 2 C83C2 C82C2 C8 C2 56 7 56 7 8 1 , , ? ? P ( ? ? 1) ? ? ? P ( ? ? 2) ? ? ? , 3 3 3 C10 120 15 C10 120 15 C10 120 15

所以随机变量 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

7 15

7 15

1 15
…………9 分

7

8

18.本题主要考查直线、圆锥曲线的方程和性质,直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证 能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ) k MG ?

y? 3 y? 3 ( x ? 0), k NG ? ( x ? 0), …………2分 x x
y? 3 y? 3 3 x2 y 2 ? ? ? ( x ? 0) ,化简得轨迹 ? 的方程为 ? ? 1( x ? 0) . …5分 4 3 x x 4
…6分 …7分

由已知有

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? kx ? 3(k ? 0) , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ( x1 ? 0, x2 ? 0 ). 因为 BA ? AP , P (0,3) ,

??? ?

??? ?

所以 x2 ? 2 x1 . ……………………………① ,消去 y 得 (4k ? 3) x ? 24kx ? 24 ? 0 ,
2 2

联立方程组 ?

? y ? kx ? 3, ?3 x ? 4 y ? 12
2 2

……(*)…8分

?24k 24 ………②, x1 ? x2 ? ………………③. 2 4k ? 3 4k 2 ? 3 2 2 由①得 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) , 9 ?8k 2 12 9 3 2 又由②③得, ( 2 ,所以 k ? , k ? ? . ) ? 2 4k ? 3 4k ? 3 4 2 ?24k 3 因为 x1 ? 0, x2 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? ? 0 , k ? 0 ,所以 k ? ? . 4k 2 ? 3 2 3 2 当 k ? ? 时,方程(*)可化为 x ? 3 x ? 2 ? 0 ,解得 x1 ? 1 , x2 ? 2 , 2 3 所以 B (2, 0) ( A(1, ) ). …12分 2 2 法一:因为 QP ? QB , A 是 PB 的中点,所以 QA ? l , k AQ ? . 3
所以 x1 ? x2 ?

…9分

…………11分

3 2 5 设 Q (m, 0) ,则 2 ? ,解得 m ? ? , 1? m 3 4
所以 Q 的坐标为 (? 法二:设 Q(m, 0) , 因为 QP ? QB ,所以 m ? 9 ? ( m ? 2) ,解得 m ? ?
2 2

5 , 0) . …………13分 4

5 , 4

所以 Q 的坐标为 (?

5 , 0) . …………13分 4

19.本题主要考查函数、导数、函数的零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与 方程思想、 数形结合思想、 化归与转化思想、 分类与整合思想、 特殊与一般思想、 有限与无限思想等. 满

9

分 13 分. 解: (Ⅰ)当 a ? b ? n ? 3 时, f ( x ) ? ? x 3 ? 3 x ? 3 , f ?( x ) ? ?3 x 2 ? 3 . 解 f ?( x ) ? 0 得 ?1 ? x ? 1 ;解 f ?( x ) ? 0 得 x ? 1或x ? ?1 . …1 分 …………2 分

故 f ( x) 的单调递增区间是 (?1,1) ,单调递减区间是 ( ??, ?1) 和 (1, ??) . …………4 分 另解:当 a ? b ? n ? 3 时, f ( x ) ? ? x 3 ? 3 x ? 3 , f ?( x ) ? ?3 x 2 ? 3 . 令 f ?( x ) ? 0 解得 x ? ?1 或 x ? 1 . …1 分 ………2 分

f ?( x ) 的符号变化规律如下表: x (??, ?1) ?1 (?1,1) f ?( x ) ? 0 +

1
0

(1, ??) ?
…………3 分

故 f ( x ) 的单调递增区间是 (?1,1) ,单调递减区间是 ( ??, ?1) 和 (1, ??) . …………4 分 (Ⅱ)当 a ? b ? 1 且 n ? 2 时, h( x) ? sin x ? x ? x ? 1 ,则 h?( x ) ? cos x ? 2 x ? 1 , ……5 分
2

令 ? ( x) ? h?( x) ,则 ? ?( x) ? ? sin x ? 2 ,……6 分 因为 ? ?( x) ? ? sin x ? 2 的函数值恒为正数,所以 ? ( x) 在 (??, ??) 上单调递增, 又注意到 ? (0) ? 0 , 所以,当 x ? 0 时, ? ( x) ? h?( x) ? h?(0) ? 0 , h( x) 在 (0, ??) 单调递增; 当 x ? 0 时, ? ( x) ? h?( x) ? h?(0) ? 0 , h( x) 在 (??, 0) 单调递减 . ……8 分 所以函数 h( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) 的最小值 h( x) min ? h(0) ? ?1 .
2

…………9 分

另解:当 a ? b ? 1 且 n ? 2 时, h( x) ? sin x ? x ? x ? 1 ,则 h?( x ) ? cos x ? 2 x ? 1 , ……5 分 令 h?( x) ? cos x ? 2 x ? 1 ? 0 ,得 cos x ? ?2 x ? 1 . 考察函数 y ? cos x 和 y ? ?2 x ? 1 的图象,可知: 当 x ? 0 时,函数 y ? cos x 的图象恒在 y ? ?2 x ? 1 图象的下方, h?( x) ? 0 ; 当 x ? 0 时,函数 y ? cos x 的图象恒在 y ? ?2 x ? 1 图象的上方, h?( x) ? 0 . 所以 h( x ) 在 (??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增, 所以函数 h( x ) ? g ( x ) ? f ( x) 的最小值 h( x) min ? h(0) ? ?1 . (Ⅲ)因为对任意 x ? [?1,1] ,都有 f ( x) ? ……8 分 …………9 分

1 1 1 1 ,所以 f (0) ? , f (1) ? , f ( ?1) ? , 2 2 2 2
1 ? 1 ?? 2 ? b ? 2 , ?? (1) ? 3 ?1 ? ? a +b ? ,?? (2) 2 2 ? 3 ?1 ? 2 ? ? a +b ? 2 ,?? (3) ?

1 ? 1 ?? 2 ? b ? 2 , ? 1 ? 1 即 ?? ? ?1 ? a +b ? , 2 2 ? 1 ? 1 ?? 2 ? ?1 ? a +b ? 2 , ?
由(2)+(3)得

亦即

1 3 1 (4) ,得 b ? , ? b ? ? (4) ,再由(1) 2 2 2

10

将b ?

1 代入(2) (3)得 a ? 0 . 2

当 a ? 0 ,b ?

1 1 4 时, f ( x) ? ? x ? . 2 2
2 4

…………10 分
4

因为 x ? [?1,1] ,所以 0 ? x ? 1 , 0 ? x ? 1 , ?1 ? ? x ? 0 , ? 所以 f ( x) ? ? x ?
4

1 1 1 ? ? x4 ? ? , 2 2 2

1 符合题意. …………11 分 2 1 4 设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? x ? ? sin x . 2 1 1 1 ? 1 因为 F (?2) ? ?16 ? ? sin(?2) ? 0, F ( ?1) ? ?1 ? ? sin(?1) ? sin1 ? ? sin ? ? 0 , 2 2 2 6 2 1 1 1 F (0) ? ? sin 0 ? 0, F (1) ? ?1 ? ? sin1 ? ? ? sin1 ? 0 , ……12 分 2 2 2
又因为已知方程 f ( x) ? g ( x) 有且只有两个实数根 x1 , x2 (不妨设 x1 ? x2 ) , 所以有 ?2 ? x1 ? ?1, 0 ? x2 ? 1 ,故 x1 ? x2 ? 0 . …………13 分

20.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间向量、三角函数等基础知识, 考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方 程思想、特殊与一般思想及应用意识. 满分 14 分. 解: (Ⅰ) (i)连结 O ' M , O ' N ,

∵ O ' O ? 底面O ' , O ' M ? 底面O ' ,∴ O ' O ? O ' M . …1 分 ∵ O ' M ? A ' B ' , O ' O ? 平面AA ' B ' B , A ' B ' ? 平面AA ' B ' B , A ' B '? O ' O ? O ' , ∴ O ' M ? 平面AA ' B ' B . …2 分 类似可证得 ON ? 平面AA ' B ' B ,∴ O ' M / / ON . 又∵ O ' M ? ON , ∴四边形 ONO ' M 为平行四边形, ∴ OM ? O ' N . …3 分 又∵ OM ? 平面A ' B ' N , O ' N ? 平面A ' B ' N , ∴ OM ? 平面 A ' B ' N . …………4 分
(ii)由题意,可得 AA ' ?

6 ,底面上的椭圆的长轴长 2 2 ,短轴长为 2.

…5 分

如图, 以 O 为原点, OO ' 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz . AB 所在直线为 x 轴, 则有 F 2 (1, 0, 0), N (0,1, 0), A '( ? 2, 0, 6), B '( 2, 0, 6) , ∴ NA ' ? ( ? 2, ?1, 6), NB ' ? ( 2, ?1, 6) , ∵ z 轴 ? 平面 ABN , ∴可取平面 ABN 的一个法向量 n1 ? (0, 0,1) .

???? ?

???? ?

…6 分

??

11

设平面 A ' B ' N 的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z ) ,

?? ?

? ???? ? ? ? ?n ? NA ' ? ? 2 x ? y ? 6 z ? 0, ? x ? 0, 则 ? ? ???? ,化简得 ? , ? ? ? ?? y ? 6 z ? 0 ?n ? NB ' ? 2 x ? y ? 6 z ? 0
取 z ? 1 ,得 n2 ? (0, 6,1) .

?? ?

…8 分

设平面 ABN 与平面 A ' B ' N 所成锐二面角为 ? .

?? ?? ? n1 ? n2 7 ?? ? ? 则 cos ? ? ?? . 7 | n1 | ? | n2 |

…………9 分

(Ⅱ)当点 N 为下底面上椭圆的短轴端点时,

NF1 ? NF2 ? 2 , tan ? ? tan ? ?

NN ' 6 ? = ? 3, ? ? ? ? , NF1 3 2

? ?? ?

2? , tan(? ? ? ) ? ? 3 ; 3

当点 N 为下底面上椭圆的长轴端点(如右顶点)时,

NF1 ? 2 ? 1 , NF2 ? 2 ? 1 , tan ? ?

NN ' 6 NN ' 6 = , tan ? ? = , NF1 NF2 2 ?1 2 ?1

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 4 3 . ?? 1 ? tan ? tan ? 5
4 3 ]. 5
…10 分
'

直观判断 tan(? ? ? ) 的取值范围为 [ ? 3, ? (说明:直观判断可以不要求说明理由.)

∵ N ' 是点 N 在上底面的投影,∴ N ' N ? 上底面 O , ∵上下两底面互相平等, ∴ N ' N ? 下底面 O ,即 N ' N ? 平面 ABN ,

12

∴ ?N ' F1 N , ?N ' F2 N 分别为 N ' F1 , N ' F2 与下底面所成的角, 即 ?N ' F1 N ? ? , ?N ' F2 N ? ? . 又∵ NF1 , NF2 ? 平面 ABN , ∴ NN ' ? NF1 , NN ' ? NF2 . 设 NF1 ? m, NF2 ? n , …11 分

则 m ? n ? 2 2 ,且 tan ? ?

NN ' 6 NN ' 6 , = , tan ? ? = NF1 m NF2 n

6 6 ? 6(m ? n) 4 3 m n ∴ tan(? ? ? ) ? . ? ? mn ? 6 mn ? 6 6 6 1? ? m n
∵m?n ? 2 2 , ∴ mn ? m(2 2 ? m) ? ?(m ? 2) ? 2 .
2

…12 分

又∵ 2 ? 1 ? m ?

2 ? 1 ,∴ 1 ? mn ? 2 .
4 3 4 ?? 3. mn ? 6 5 4 3 ]. 5

…13 分

∴ ?5 ? mn ? 6 ? ?4 , ? 3 ?

从而证得: tan(? ? ? ) 的取值范围为 [ ? 3, ?

…………14 分

21. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想.满分 7 分. 解: (Ⅰ)设 A ? ?

?a b ? ?1 ? ? a ? ?1 ? ? 0 ? ? b ? ?1 ? ? ,则 A ? ? ? ? ? ? ? ? , A ? ? ? ? ? ? ? ? , c d 0 c 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? d ? ? 2 ? ?1 1? ? ; …………3 分 ?0 2?

所以 A ? ?

(Ⅱ)矩阵 A 的特征多项式为 f (? ) ?

? ?1
0

?1

? ?2

? (? ? 1)(? ? 2) ,…………4

令 f (? ) ? 0 ,得矩阵 A 的特征值为 ?1 ? 1, ?2 ? 2 . …………5

对于特征值 ?1 ? 1 ,解相应的线性方程组 ?

?0 ? x ? y ? 0, ,即 y ? 0 , ?0 ? x ? y ? 0

13

令 x ? 1 ,得该方程的一组非零解 ?

? x ? 1, , ?y ? 0
…………6

所以 ξ1 ? ? ? 是矩阵 A 的属于特征值 ?1 ? 1 的一个特征向量.

?1? ?0?

对于特征值 ?2 ? 2 ,解相应的线性方程组 ?

? x ? y ? 0, ,即 x ? y , ?0 ? x ? 0 ? y ? 0

令 x ? 1 ,得该方程的一组非零解 ?

? x ? 1, , ?y ?1

所以 ξ 2 ? ? ? 是矩阵 A 的属于特征值 ?2 ? 2 的一个特征向量. …………7 分 (2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想、 函数与方程思想等.满分 7 分.

? 1? ? 1?

解: (Ⅰ)直线 l 的普通方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 , …………………………(*)
将 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 代入(*) ,得 ? cos ? ? 3? sin ? ? 2 ? 0 ,……1 分 化简得线 l 的方程为 ? cos(? ?

?
3

) ? 1 , ……2 分

圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 . …………3 分

? ? ? 2, ? 1 ? (Ⅱ)联立方程组 ? ,消去 ? 得 cos(? ? ) ? , ? 3 2 ? cos(? ? ) ? 1 ? 3 ? ? ? 5? 因为 ? ? [0, 2? ) , 所以 ? ? ? ? ? , 3 3 3
所以 ? ?

………4 分

?
3

??

?
3

或? ?

?
3

?

?
3

,………6 分

所以直线 l 和圆 C 的交点的极坐标为 (2, 0), (2, (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲

2? ) . …………7 分 3

本小题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力以及推理论证能力, 考查函数与方程思想、数形结合思想等.满分 7 分. 解: (Ⅰ) f ( x) ?

2 x ? 4 ? 5 ? x ? 2 x ? 2 ? 5 ? x ? 2 ? 1 ( x ? 2) ? (5 ? x) ? 3 ,……2 分
……3 分

当且仅当 x ? 4 时等号成立. 故函数 f ( x) 的最大值 M ? 3 .

14

(Ⅱ)由绝对值三角不等式,可得 x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 . ……4 分 所以不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 3 的解 x ,就是方程 x ? 1 ? x ? 2 ? 3 的解. ……5 分 由绝对值的几何意义,可得当且仅当 ?2 ? x ? 1 时, x ? 1 ? x ? 2 ? 3 . ……6 分 所以不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? M 的解集为 {x | ?2 ? x ? 1} . ……7 分

15


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