针对练习高中数学竞赛特级教师培训教材(49页)-含答案

高中数学竞赛培训教材 编者:全国特级教师 (一)集合与容斥原理 集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课,而且是整个数 学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上,而要随着数学学习的进程 而不断深化,自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词,主动使用集合工具来表示各种数 量关系。如用集合表示空间的线面及其关系,表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组) 的解、表示充要条件,描述排列组合,用集合的性质进行组合计数等。 一、学习集合要抓住元素这个关键 例 1 设 A={X∣X=a2+b2,a、b∈Z},X1,X2∈A,求证:X1X2∈A。 O 分析:A 中的元素是自然数,即由两个整数 a、b 的平方和构成的自然数,亦即从 0、1、4、9、 16、25……,n2,……中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数,本题要证明的是:两个 这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式,即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2,M,N∈Z 证明:设 X1=a2+b2,X2=c2+d2,a、b、c、d∈Z 则 X1X2=(a2+b2)(c2+d2) O =a2c2+b2d2+b2c2+a2d2=a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2 又 a、b、c、d∈Z,故 ac+bd、bc-ad∈Z,从而 X1X2∈A 练习: 1 设两个集合 S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z} 求证:S=T。 O O 2 设 M={a|a= x2-y2,x,y∈Z} 求证: (1)一切奇数属于 M; O O (2)4k-2(k∈Z)不属于 M; (3)M 中任意两个数的积仍属于 M。 3 已知函数 f(x)=x2+ax+b,a,b∈R,且 A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]} O O (1)求证:A B; (2)若 A={-1,3}时,求集合 B 二、集合中待定元素的确定 例 2 已知集合 M={X, XY, lg(xy)}, S={0, ∣X∣, Y}, 且 M=S, 则(X+1/Y)+(X2+1/Y2)+…… O O +(X2002+1/Y2002)的值等于( ) O 分析:解题的关键在于求出 X 和 Y 的值,而 X 和 Y 分别是集合 M 与 S 中的元素。这一类根据集合 的关系反过来确定集合元素的问题,要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集 合之间的基本关系(子、全、补、交、异、空、等)有本质的理解,对于两个相等的有限集合(数集), 还会用到它们的简单性质:(a)相等两集合的元素个数相等;(b)相等两集合的元素之和相等;(c)相 等两集合的元素之积相等 O 解:由 M=S 知,两集合元素完全相同。这样,M 中必有一个元素为 0,又由对数的性质知,0 和 负数没有对数,所以 XY≠0,故 X,Y 均不为零,所以只能有 lg(XY)=0,从而 XY=1 ∴M={X,1,0}, O S={0,∣X∣,1/X} 再由两集合相等知 O 当 X=1 时,M={1,1,0},S={0,1,1},这与同一个集合中元素的互异性矛盾,故 X=1 不满足 题目要求; 当 X=-1 时,M={-1,1,0},S={0,1,-1},M=S,从而 X=-1 满足题目要求,此时 Y=- 1,于是 X2K+1+1/Y2K+1=-2(K=0,1,2,……),X2K+1/Y2K=2(K=1,2,……),故所求代数式 的值为 0 O 练习: 4 已知集合 O 2 2 2 2 a ,a ,a ,a ,a A ? a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , B ? a12 , a2 , a3 , a4 , a5 ,其中 1 2 3 4 5 是正整数, ? ? ? ? 且 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , a1 ? a4 ? 10, 若A ? B 中的所有元素之和为 234, 并满足 A ? B ? ?a1 , a4 ?, 求集合 A。 三 容斥原理 O 基 本 公 式 :(1)card(A ∪ B) = card(A) + card(B) - card(A ∩ B) ; (2)card(A ∪ B ∪ C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C) 问题:开运动会时,高一某班共有 28 名同学参加比赛,有 15 人参加游泳比赛,有 8 人参加田径 比赛,有 14 人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人,同时参加游泳比赛和球类比 赛的有 3 人,没有人同时参加三项比赛,问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人?只参加游泳一 项比赛的有多少人? 设 A = { 参加游泳比赛的同学 } , B = { 参加田径比赛的同学 } , C = { 参加球类比赛的同学 }, 则 card(A)=15,card(B)=8,card(C)=14,card(A∪B∪C)=28,且 card(A∩B)=3,card(A∩C)=3,card(A ∩B∩C)=0,由公式②得 28=15+8+14-3-3-card(B∩C)+0,即 card(B∩C)=3,所以同时参加田径 和球类比赛的共有 3 人,而只参加游泳比赛的人有 15-3-3=9(人) 四、有限集合子集的个数 例 3 一个集合含有 10 个互不相同的两位数。试证,这个集合必有 2 个无公共元素的子集合,此 O 两子集的各数之和相等。 分析: 两位数共有 10,11, ……,99, 计 99-9=90 个, 最大的 10 个两位数依次是 90,91, ……,99, 其和为 945,因此,由 10 个两位数组成的任意一个集合中

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