【全程复习方略】2014版高考数学 10.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理课时提升作业 理 北师大版

【全程复习方略】2014 版高考数学 10.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原 理课时提升作业 理 北师大版
一、选择题 1.将 3 张不同的奥运会门票分给 10 名同学中的 3 人,每人 1 张,则不同的分法种数有( (A)2 160 (B)720 (C)240 (D)120 )

2.已知集合 A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则 确定的不同点的个数为( (A)33 ) (C)35 (D)36 )

(B)34

3.a,b,c,d,e 共 5 个人,从中选 1 名组长 1 名副组长,但 a 不能当副组长,不同的选法总数是( (A)20 (B)16 (C)10 (D)6

4.如图所示,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边 的三角形的个数为( (A)8 (C)40 ) (B)32 (D)48

5.(2013·安庆模拟)有四位老师在同一年级的 4 个班级中,各教一个 班的数学, 在数学考试时,要求每位老师均不在本班监考,则安排监考的方法总数是( (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 )

6.三张卡片的正反面分别写有 1 和 2,3 和 4,5 和 6,若将三张卡片并列,可得到不同的三位数(6 不能作 9 用) 的个数为( (A)8 ) (B)6 (C)14 (D)48

7.(2013·铜陵模拟)计划在四个体育馆举办排球、篮球、足球三个项目的比赛,每个项目的比赛只能安排 在一个体育馆进行,则在同一个体育馆进行比赛的项目不超过两项的 安排方案共有( (A)24 种 (B)36 种 (C)42 种 (D)60 种 )

8.新学期开始,学校接受 6 名师大学生到校实习,学校要把他们分配到三个年级,每个年级 2 人,其中甲必须 在高一年级,乙和丙均不能在高三年级,则不同的安排种数为( (A)18 (B)15 (C)12 (D)9 )

9.(2013· 长安模拟)在如图所示的 2× 2 方格中的每一个方格中填入一个数字,数字可以 是 1,2,3,4 中的任何一个,允许重复.若填入方格 A 的数字大于方格 B 的数字,则不同的 填法共有( )
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(A)192 种

(B)128 种

(C)96 种

(D)12 种

10.(2012·南昌模拟)若自然数 n 使得作竖式加法 n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称 n 为“良数”. 例如,32 是“良数”,因为 32+33+34 不产生进位现象;23 不是“良数”,因为 23+24+25 产生进位现象.那么 小于 1000 的“良数”的个数为( (A)27 二、填空题 11.已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问 : (1)P 可表示平面上 (2)P 可表示平面上 (3)P 可表示 个不同的点? 个第二象限的点? (B)36 ) (C)39 (D)48

个不在直线 y=x 上的点?

12.在平面直角坐标系内,点 P(a,b)的坐标满足 a≠b,且 a,b 都是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素,又点 P 到原 点的距离|OP|≥5.则这样的点 P 的个数为 .

13.(2013·九江模拟)从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中选出五个数组成子集,使得这五个数中的任何两个 数的和都不为 11,这样的子集共有 14.(能力挑战题)若 m,n∈ 并且 m+n=606,则实数对(m,n)表示平面上不同点的个数为 三、解答题 15.(能力挑战题)某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如图). 现要栽种 4 种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的 花,不同的栽种方法有多少种(用数字作答). . 个. ,其中 ai(i=0,1,2)∈ ,

答案解析 1.【解析】选 B.本题是将 3 张门票分给 3 人,是一个分步计数问题,第一张门票,应从 10 名同学中选择 1 人
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得到,共有 10 种分法;第二张门票,应从剩下的 9 名同学中选择 1 人得到,共有 9 种分法;第三张门票,应从 剩下的 8 名同学中选择 1 人得到,共有 8 种分法,根据分步乘法计数原理知,共有 10×9×8=720(种)分法. 2.【解析】选 A.从集合 A,B,C 中各取一个数有 1×2×3=6 种取法.其中 1,1,5 三数可确定空间不同点的个 数为 3 个,另 5 种每种可确定空间不同点的个数都是 6.所以可确定空间不同点的个数为 3+5×6=33. 3.【解析】选 B.分步完成此事:第一步选副组长有 4 种选法;第二步选组长有 4 种选法,由分步乘法计数原 理知共有 4×4 =16(种)不同的选法. 4.【解析】 选 C.把与正八边形有公共边的三角形分为两类: 第一类:有一条公共边的三角形共有 8×4=32(个); 第二类:有两条公共边的三角形共有 8 个. 由分类加法计数原理知,共有 32+8=40(个). 5.【思路点拨】利用树状图或利用分步乘法计数原理计算. 【 解析】选 B.设 4 个班级分别为一班、二班、三班、四班,对应的任课老师分别为甲、乙、丙、丁. 方法一:树状图法 监考安排如图:



,丁

,丙

故共有 9 种安排方法. 方法二:利用计数原理 以甲为例来研究监考安排,甲有三个班可供选择 .若甲在二班监考 ,则乙有三个班可供选择 .甲在除一班之 外的哪个班监考,相应老师均有三个班可供选择,而剩余两 位老师的监考位置是确定的.由分步乘法计数原 理,得监考安排的方法共有 3×3×1×1=9(种). 6.【解析】选 D.方法一:第一步,选数字.每张卡片有两个数字供选择,故选出 3 个数字,共有 2 =8(种)选法. 第二步,排数字.要排好一个三位数,又要分三步,首先排百位,有 3 种选择,由于排出的三位数各位上的数字 不可能相同,因而排十位时有 2 种选择,排个位只有一种选择.故能排出 3×2×1=6(个)不同的三位数.由分 步乘法计数原理知共可得到 8×6=48(个)不同的三位数. 方法二:第一步,排百位有 6 种选择, 第二步,排十位有 4 种选择, 第三步,排个位有 2 种选择. 根据分步乘法计数原理,共可得到 6×4×2=48(个)不同的三位数.
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7.【思路点拨】将问题转化为求其对立事件的安排方案,用间接法求解. 【解析】选 D.每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行,共有 4 =64 种安排方案;三个项目的比赛都安排 在同一个体育馆进行,共有 4 种安排方案;所以在同一个体育馆进行比赛的项目不超过两项的安排方案共有 64-4=60(种),故选 D . 8.【解析】选 D.按乙、丙所在年级分类.乙和丙有一人分配到高一年级,另一人分配到高二年级时有 种安排法;乙和丙 两人都分配到高二年级时有 种安排法,综上,共有 + =9(种)安排法.
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9.【解析】选 C.可分三步:第一步,填方格 A,B 的数字,由于填入方格 A 中的数字大于方格 B 中的数字的填 法有 6 种(若方格 A 填 2,则方格 B 只能填 1,若方格 A 填 3,则方格 B 只能填 1 或 2, 若方格 A 填 4,则方格 B 只能填 1 或 2 或 3);第二步,填方格 C 的数字,有 4 种不同的填法;第三步,填方格 D 的数字,有 4 种不同的填 法.由分步乘法计数原理,得不同的填法共有 6×4×4=96(种). 【变式备选】如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现在要求在 其余四个区域中涂色,现有四种颜色可供选择.要求每一个区域只涂一 种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为( (A)64 (B)72 (C)84 (D)96 )

【解析】选 C.将四种颜色编号为①②③④,A 有 4 种涂法,设涂①,B 有 3 种涂法,设涂②,下面分 3 类: 若 C 涂①,则 D 可涂②③④,共 3 种方法; 若 C 涂③,则 D 可涂②④,共 2 种方法; 若 C 涂④,则 D 可涂②③,共 2 种方法; 于是,不同的涂法为 4×3×(3+2+2)=84(种). 【方法技巧】应用两个计数原理的解题方法 (1)首先弄清是分类还是分步,要根据元素的不同性质进行“分类”,根据事情发生的过程“分步”. (2)两种计数方法都必须弄清楚分类或分步的标准是什么,标准不同,往往求解方法也不同. (3)在分类中,“类”与“类”之间是确定的,并列的,不能有交叉;在分步中,“步”与“步”之间是相依的, 连续的. 10.【解析】选 D.完成此事,一类是一位数,“良数”有 0,1,2,共 3 个数字;一类是两位数 ,“良数”有 10,11,12,20,21,22,30,31,32, 共 9 个 数 字 ; 一 类 是 三 位 数 , “ 良 数 ” 有

100,101,102,110,111,112,120,121,122,130,131,132,200,201, 202,210,211,212,220,221,222,230,231,232,300, 301,302,310,311,312,320,321,322,330,331,332, 共
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36 个数字.由分类加法计数原理可知,小于 1000 的“良数”共有 3+9+36=48(个). 11.【解析】(1)确定平面上的点 P(a,b)可分两步完成: 第一步确定 a 的值,共有 6 种确定方法; 第二步确定 b 的值,也有 6 种确定方法. 根据分步乘法计数原理,得到平面上的点的个数是 6×6=36. (2)确定第二象限的点,可分两步完成: 第一步确定 a,由于 a<0,所以有 3 种确定方法; 第二步确定 b,由于 b>0,所以有 2 种确定方法. 由分步乘法计数原理,得到第二象限点的个数是 3×2=6. (3)点 P(a,b)在直线 y=x 上的充要条件是 a=b.因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素,共有 6 种取法,即在 直线 y=x 上的点有 6 个. 由(1)得不在直线 y=x 上的点共有 36-6=30(个). 答案:(1)36 (2)6 (3)30 【变式备选】某体育彩票规定:从 01 到 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注,每注 2 元.某人想先选定吉利号 18,然后从 01 至 17 中选 3 个连续的号,从 19 至 29 中选 2 个连续的号,从 30 至 36 中选 1 个号组成一注.若 这个人要把这种要求的号全买下,至少要花多少元钱? 【解析】先分三步选号,再计算总钱数. 按号段选号,分成三步. 第一步从 01 至 17 中选 3 个连续号,有 15 种选法; 第二步从 19 至 29 中选 2 个连续号,有 10 种选法; 第三步从 30 至 36 中选 1 个号,有 7 种选法. 由分步乘法计数原理可知,满足要求的号共有 15×10×7=1050(注), 故至少要花 1050×2=2100(元). 12.【解析】按点 P 的坐标 a 将其分为 6 类: (1)若 a=1,则 b=5 或 6,有 2 个点; (2)若 a=2,则 b=5 或 6,有 2 个点; (3)若 a=3,则 b=5 或 6 或 4,有 3 个点; (4)若 a=4,则 b=3 或 5 或 6,有 3 个点; (5)若 a=5,则 b=1,2,3,4,6,有 5 个点;
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(6)若 a=6,则 b=1,2,3,4,5,有 5 个点; ∴共有 2+2+3+3+5+5=20(个)点. 答案:20 13.【解析】和为 11 的数共有 5 组:1 与 10,2 与 9,3 与 8,4 与 7,5 与 6,子集中的元素不能取自同一组的两 个数,即这 5 个数只能从这 5 组中每组取 1 个,共有 2 =32(个). 答案:32 14.【解析】∵m+n=606,∴其个位数字为 6,∴a0 可有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2), (3,3)共 5 种组成方法;十位数字为 0,可有(4,6),(6,4),(5,5)共有 3 种组成方法;百位数字为 6,可知十位 进上来 1,余下 5,可有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),共 4 种组成方法;由分步乘法计数原理,实数对(m,n)的个 数为 5×3×4=60. 答案:60 15.【解析】方法一:从题意来看,6 部分种 4 种颜色的花,又从图形看,知必有 2 组同颜色的花,从同颜色的 花入手分类求解. (1)2 与 5 同色,则 3,6 也同色或 4,6 也同色,所以共有 N1=4×3×2×2×1=48(种); (2)3 与 5 同色,则 2,4 或 4,6 同色,所以共有 N2=4×3×2×2×1=48(种); (3)2 与 4 且 3 与 6 同色,所以共有 N3=4×3×2×1=24(种). 所以,共有 N=N1+N2+N3=48+48+24=120(种). 方法二:记颜色为 A,B,C,D 四色,先安排 1,2,3 有 4×3×2 种不同的栽法,不妨设 1,2,3 已分别栽种 A,B,C, 则 4,5,6 栽种方法共 5 种,由以下树状图清晰可见.
5

根据分步乘法计数原理,不同的栽种方法有 N=4×3×2×5=120(种).

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