三角函数图像高考题(4)老师专用

三角函数图像高考题(4)
一、选择题(每题 5 分,共计 50 分) 1.(2008 江苏省启东中学高三综合测试四)已知 f ( x) ? cos( 3x ? ? ) ? 3 sin( 3x ? ? ) 为偶函数, 则? 可 以取的一个值为( π A. 6 答案:D 2.(2008 四川省成都市新都一中高 2008 级一诊适应性测试)已知函数 f(x)=asinx-bcosx(a、b 为常数, π B. 3 ) π C.- 6 π D.- 3

a≠0,x∈R)在 x= 处取得最小值,则函数 y=f( A.偶函数且它的图象关于点(π ,0)对称 C.奇函数且它的图象关于点(
答案:D

π 4

3π -x)是( 4

) 3π ,0)对称 2

B.偶函数且它的图象关于点(

3π ,0)对称 D.奇函数且它的图象关于点(π ,0)对称 2

x 图 象 按 向 量 a ? (? 3.(2008 四 川 省 成 都 市 一 诊 ) 把 函 数 y = s i n 2的
y ? A sin ?? x ? ? ? ? B( A ? 0, ? ? 0, ? ?
A.

?
6

, ?3) 平 移 后 , 得 到 函 数

?
2

) 的图象,则 ? 和 B 的值依次为
D. ?

?
12

, ?3

B.

?
3

,3

C.

?
3

, ?3

?
12

,3

答案:C 4.(北京市东城区 2008 年高三综合练习二)已知函数 f ( x) ? sin( x ? A. f ( x) 的最小正周期为 2π ,其图象的一条对称轴为 x ? B. f ( x) 的最小正周期为 2π ,其图象的一条对称轴为 x ? C. f ( x) 的最小正周期为π ,其图象的一条对称轴为 x ? D. f ( x) 的最小正周期为π ,其图象的一条对称轴为 x ? 答案:C 5.(北京市丰台区 2008 年 4 月高三统一练习一)若 f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin 2 x ? a ( a 为实常数)在区间

?
6

) cos( x ?

?
6

), 则下列判断正确 (



?
12

?

?

6

12

?

6

[0,
A.4

?
2

] 上的最小值为-4,则 a 的值为(
B. -3

) C. -4 D. -6

答案:C

6 、 ( 山东省博兴二中 2008 高三第三次月考 ) 我们知道,函数 y ? sin 2x 的图象经过适当变换可以得到
y ? cos 2 x 的图象,则这种变换可以是

(

)

? 个单位 4 ? C.沿 x 轴向左平移 个单位 2
A.沿 x 轴向右平移 答案:B 4.(2009 滨州一模)(5)已知 f ( x) ? sin( x ? A.与 g ( x) 的图象相同 C.向左平移 答案 D 5.(2009 青岛一模)设函数 f ( x ) ? sin(2 x ? A. f ( x) 的图像关于直线 x ? C.把 f ( x) 的图像向左平移

? 个单位 4 ? D.沿 x 轴向右平移 个单位 2
B.沿 x 轴向左平移

?

), g( x) ? cos( x ? ) ,则 f ( x) 的图象 2 2
B.与 g ( x) 的图象关于 y 轴对称 D.向右平移

?

? 个单位,得到 g ( x) 的图象 2

? 个单位,得到 g ( x) 的图象 2

?
3

) ,则下列结论正确的是
B. f ( x) 的图像关于点 (

?
3

对称

?
4

, 0) 对称

? 个单位,得到一个偶函数的图像 12 ? D. f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 [0, ] 上为增函数 6
答案 C

6.(2009 日照一模)已知函数 f ( x) ? cos x sin x( x ? R) ,给出下列四个命题: ①若 f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,则 x1 ? ? x2 ; ③ f ( x) 在区间 [ ? A.①②④ 答案 D ② f ( x) 的最小正周期是 2? ;

? ?

3? , ] 上是增函数; ④ f ( x) 的图象关于直线 x ? 对称 4 4 4
C.②③ D.③④

B.①③

7.(2009 全国卷Ⅰ文)如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

4? , 0) 中心对称,那么 ? 的最小值为 3

故选 A

? / / 8.(2009 湖北卷文)函数 y ? cos(2 x ? ) ? 2 的图像 F 按向量 a 平移到 F ,F 的解析式 y=f(x),当 y=f(x)为
6

奇函数时,向量 a 可以等于
? A. ( ,?2)
6

? B. ( ,2)
6

C. (?

?
6

,?2)

D. (?

?
6

,2)

答案 D 解析 由平面向量平行规律可知,仅当 a ? ( ?

?

?
6

, 2) 时,

F ? : f ( x ) ? cos[2( x ?

?
6

)?

?
6

] ? 2 = ? sin 2 x 为奇函数,故选 D.

9.(2009 湖南卷理)将函数 y=sinx 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? <2 ? ) 的单位后, 得到函数 y=sin ( x ? 图象,则 ? 等于 A. (D) B.

? )的 6

? 6

5? 6

C.

7? 6

D.

11? 6

答案 D 10.(2009 天津卷理)已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
4

)( x ? R,? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数

g ( x) ? cos? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象

? 个单位长度 8 ? C 向左平移 个单位长度 4
A 向左平移 答案 A

? 个单位长度 8 ? D 向右平移 个单位长度 4
B 向右平移

二、填空题(每题 5 分,共计 30 分) 11.( 四 川 省 成 都 市 新 都 一 中 高 2008 级 一 诊 适 应 性 测 试 ) 函 数

f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的 图 象 如 图 所 示 , 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2 0 0 ) 的值等于 7
答案:0 12.(北京市丰台区 2008 年 4 月高三统一练习一)函数 f ( x) ? a sin( x ? =___________________. 答案:-3 13.(福建省南靖一中 2008 年第四次月考)下面有五个命题: ①函数 y=sin x-cos x 的最小正周期是 ? .
4 4



?

) ? 3sin( x ? ) 是偶函数,则 a 4 4

?

②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a=

k? , k ? Z }. 2

③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. ④把函数 y ? 3 sin( 2 x ? ⑤函数 y ? sin( x ?

? ? )的图象向右平移 得到 y ? 3 sin 2 x的图象 . 3 6

? )在〔0,?〕上是减函数 . 2
.(把你认为正确命题的序号都填上)

所有正确命题的序号是 答案:①④ 14.(2009 湖南卷理)若 x∈(0,

? ? )则 2tanx+tan( -x)的最小值为 2 2

答案 2 2

? 1 ) ,知 tan ? ? 0, tan( ? ? ) ? cot ? ? ? 0, 所以 2 2 tan ? ? 1 2 tan ? ? tan( ? ? ) ? 2 tan ? ? ? 2 2, 当且仅当 tan ? 2 时取等号,即最小值是 2 2 2 tan ? ?x ? kx 成立, 15. (2009 年上海卷理) 当 0 ? x ? 1时 , 不等式 sin 则实数 k 的取值范围是_______________. 2
解析 由 x ? (0,

?

答案 k≤1 解析 作出 y1 ? sin

?x
2

与 y 2 ? kx 的图象,要使不等式 sin

?x
2

? kx 成立,由图可知须 k≤1

16. (2009 年上海卷理)已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x .项数为 27 的等差数列 ?an ? 满足 a n ? ? ? 且公差 d ? 0 .若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a27 ) ? 0 ,则当 k =____________是, f (ak ) ? 0 . 答案 14 解析 函数 f ( x) ? sin x ? tan x 在 ( ?

? ? ?? , ?, ? 2 2?

? ?

, ) 是增函数,显然又为奇函数,函数图象关于原点对称,因为 2 2

a1 ? a27 ? a2 ? a26 ? ? ? ? ? 2a14 ,
所以 f (a1 ) ? f (a27 ) ? f (a2 ) ? f (a26 ) ? ??? ? f (a14 ) ? 0 ,所以当 k ? 14 时, f (ak ) ? 0 . 三、解答题(满分 70 分,每小题 10 分,第一问 4 分,第二问 6 分) 17.(2007 届岳阳 市一中高三 数学能力题 训练汇编 ) 设 ? ? (0,

?
2

) ,函数 f ( x) 的 定义域为 [0,1] , 且

f (0) ? 0, f (1) ? 1 ,当 x ? y 时, f (
求:(1) f ( ) 及 f ( ) 的值;

x? y ) ? f ( x) sin ? ? (1 ? sin ? ) f ( y ) , 2

1 g ( x) ? sin(? ? 2的单调递增区间; x) (2)函数 4 1 an ? n ,求 f (an ) ,并猜测 x ? [0,1] 时, f ( x) 的表达式. (3) n ? N 时, 2
0 ) ? f (1) sin ? ? (1 ? sin ? ) f (0) ? sin ? f (1 ) ? f ( 1? 2 2
1 2

1 2

解:(1)



1 f( )? f( 4

?0 2

1 ) ? f ( ) sin ? ? (1 ? sin ? ) f (0) ? sin 2 ? 2 ,

1? 1 3 1 2 f( )? f( ) ? f (1) sin ? ? (1 ? sin ? ) f ( ) ? 2 sin ? ? sin 2 ? 4 2 2 ,
1 f( )? f( 2
3 4

? 2

1 4

3 1 ) ? f ( ) sin ? ? (1 ? sin ? ) f ( ) ? 3 sin 2 ? ? 2 sin 3 ? 4 4 ,
1 2 ,

?sin? ? (3 ? 2 sin?) sin 2 ?,?sin? ? 0或sin? ? 1 或sin? ?

?? ? (0, ? ),?? ? ? , 因此, f ( 1 )? 2 6 2
(2)
?) g ( x) ? sin(? ? 2x) ? sin(2 x ? 5 6 6

1 2

, f (1 )? 4

1 4 .

,

? ? g ( x) 的增区间为 [k? ? 23 , k? ? ? 6 ](k ? Z ) .

(3)? n ? N ,

an ?

1 2n ,

1 ?0 n ?1 1 1 1 1 f ( an ) ? f ( n ) ? f ( 2 )? f ( n ?1 ) ? f ( an ?1 )(n ? N ) 2 2 2 2 2 所以 ,
f ( a1 ) ? 1 1 2 ,公比为 2 的等比数列,故

因此 f (an ) 是首项为 猜测 f ( x ) ? x .

f (an ) ? f (

1 1 )? 2n 2n ,

18.(2009 聊城一模)设函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a 。 (1)写出函数 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间; (2)当 x ? ??

3 ? ? ?? , ? 时,函数 f ( x) 的最大值与最小值的和为 ,求 f ( x) 的图象、y 轴的正半轴及 x 2 ? 6 3?

轴的正半轴三者围成图形的面积。 解(1) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x ? 1 sin 2 x ? ? a ? sin(2 x ? ) ? a ? , 2 2 6 2

(2 分) (4 分)

?T ? ? .



?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2? ? 2k? , 得 ? kx ? x ? ? k? . 2 6 3

故函数 f ( x) 的单调递减区间是 ? (2) (理)? ? 当 x ? ??

2? ?? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z) 。 3 ?6 ?

(6 分)

?
6

?x?

?
3

,? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 1 ? . ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1. 6 2 6

1 1 1 ? ? ?? , ? 时,原函数的最大值与最小值的和 (1 ? a ? ) ? (? ? a ? ) 2 2 2 ? 6 3?

?

3 ? 1 ,? a ? 0,? f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? . 2 6 2

(8 分)

f ( x) 的图象与 x 轴正半轴的第一个交点为 ( ,0) 2
所以 f ( x) 的图象、y 轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积

?

(10 分)

S??

?
2 0

? 1? ? x? 2 2 3 ?? ? ? 1 sin(2 x ? ) ? ? dx ? ?? cos(2 x ? ) ? ? |0 ? . ? 6 2? 6 2? 4 ? ? 2
2

?

(12 分)

19.(2009 枣庄一模)已知函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 sin ?x sin(?x ?

?
2

)(? ? 0)

的最小正周期为 ?
(1)求 f ( x);

, ]时, 求函数 f ( x) 的值域。 12 2 1 ? cos 2?x ? 3 sin ?x cos ?x 2 分 解: (1) f ( x) ? 2

(2)当 x ? [?

? ?

?

3 1 1 ? 1 sin 2?x ? cos2?x ? ? sin(2?x ? ) ? . 2 2 2 6 2

4分

?函数f ( x)的最小正周期为 ? , 且? ? 0,
? 2? ? ? , 解得 ? ? 1. 2?

? f ( x) ? sin( 2 x ?
(2)? x ? [?

?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ]. 12 2 6 3 6
, 即x ?

? ?

1 )? . 6 2

6分

根据正弦函数的图象可得: 当 2x ?

?
6

?

?
2

?
3

时, 8分

g ( x) ? sin( 2 x ?
当 2x ?

?
6

) 取最大值 1

?
6

??

?
3

,即x ? ?

?
12



? 3 g ( x) ? sin(2 x ? )取最小值 ? . 6 2
1 3 ? 1 3 ? ? ? sin(2 x ? ) ? ? , 2 2 6 2 2 [ 即 f ( x)的值域为 1? 3 3 , ]. 2 2
12 分

10 分

20.(2009 玉溪市民族中学第四次月考)已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? cos 2 ? 2. 2 2 2

(Ⅰ)将函数 f ( x) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0,? ? 0,? ? [0, 2? )) 的形式,并指出 f ( x) 的最小正周 期; (Ⅱ)求函数 f ( x)在[? ,

17? ] 上的最大值和最小值 12



(Ⅰ) f(x)=

1 1 ? cos x 1 3 2 ? 3 sinx+ ? 2 ? (sin x ? cos x) ? ? sin(x ? ) ? . 2 2 2 2 2 4 2

故 f(x)的最小正周期为 2π {k∈Z 且 k≠0} 。 (Ⅱ)由π ≤x≤

17? 5? ? 5? 2 ? 3 ? x? ? ,得 .因为 f(x)= sin(x ? ) ? 在 12 4 4 3 2 4 2

[? ,

5? 5? 17? 5? 3? 2 , ]上是减函数,在[ ]上是增函数,故当 x= 时,f(x)有最小值- ;而 f(π )= 4 4 12 4 2 17 6? 6 π )=- <-2,所以当 x=π 时,f(x)有最大值-2. 12 4

-2,f(

21.(2009 玉溪一中期中) f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ? (Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图像。 解: (Ⅰ)? x ?

?
8



?

?

?
4

? ? ? k? ?

?

8 2

是函数 y ? f ( x) 的图像的对称轴,? sin( 2 ? , k ? Z.
3? )知 4

?
8

? ? ) ? ?1,

? ?? ? ? ? 0, ? ? ?

3? . 4

(Ⅱ)由 y ? sin( 2 x ?

x

0

? 8
-1

3? 8
0

5? 8
1

7? 8
0

?
? 2 2

y

?

2 2

[0, ? ]上图像是 故函数 y ? f ( x)在区间

22. ( 福 州 市 普 通 高 中

2009

年 高 中 毕 业 班 质 量 检 查 ) 已 知

f ( x) ? sin 2 ?x ?

3 1 sin 2?x ? ( x ? R, ? ? 0).若f ( x) 的最小正周期为 2? 。 2 2

(I)求 f ( x)的表达式和 f ( x) 的单调递增区间; (II)求 f ( x)在区间[? 解: (I)由已知 f ( x) ? sin

? 5?
6 , 6

] 的最大值和最小值

2

?x ?

8 1 sin 2?x ? ( x ? R, ? ? 0) 2 2

?

1 8 1 8 1 (1 ? cos 2?x) ? sin 2?x ? ? sin 2?x ? cos 2?x 2 2 2 2 2

? sin(2?x ?

?

6

) ????3分 2? 1 ? 2? ? 1 ? ? ? ???? 4分 2? 2

又由f ( x)的周期为2? ,2? ? ? f ( x) ? sin(x ? 2k? ?

?
6

) ????5分

?
2

? x?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? z ) ? 2k? ?

?
3

? x ? 2k? ?

2? (k ? z ) 3

即f ( x)单调递增区间的为 [2k? ?

2? ](k ? z ) ???? 7分 3 3 ? 5? ? 5? ? ? ? 5? ? ]? ? ? x ? ?? ? ? x? ? ? (II) x ? [? , 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ,2k? ?

?

??

?
3

? x?

?
6

?

2? 3

? sin(? ) ? sin(x ? ) ? sin ????10分 3 6 2 8 ? ?? ? sin(x ? ) ? 1????13分 2 6 ? 5? 8 f ( x)在区间[? , ]的最大值和最小值分别 为1和 ? ????13分 6 6 2
23.(2009 届山东省实验中学高三年级第四次综合测试) 已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? 3 cos x ?
2

?

?

?

1 3 ( x ? R) . 2

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递增区间; (3)求 f ( x) 图象的对称轴方程和对称中心的坐标.

解: f ( x ) ?

1 cos 2 x ? 1 1 sin 2 x ? 3 ? 3 2 2 2

? ? ? = ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? = sin(2 x ? ) ?2 ? 2 3 ? ?
(1)T=π ; (2)由 ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? (k ? z )

可得单调增区间 [k? ? (3)由 2 x ? 由 2x ?

?
12

, k? ?

5 ? ] ( k ? z) . 12
5? k? ? (k ? z ) , 12 2

?
3

?

?
2

? k? 得对称轴方程为 x ?

?
3

? k? 得对称中心坐标为 (

?
6

?

k? ,0)( k ? z ) . 2


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