福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件:第7讲 二次函数与一元二次方程

掌握二次函数的概念、图象特征;掌握二
次函数的性质,会求二次函数在给定区间上的 最值;掌握二次函数、二次方程、二次不等式 之间的联系,提高综合解题能力.

1. 函 数 ① _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 叫 做 二 次 函 数 , 它 的 定 义 域 是 R, 这 是 二 次 函 数 的 一 般 形 式 , 另 外 , 还 有 顶 点 式 : ② ________________ , 其 中 ( h, k ) 是 抛 物 线 顶 点 的 坐 标 . 两 根 式 : ③ __ _ _ _ , 其 中 x1、 x 2 是 抛 物 线 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 .

2. 二 次 函 数 的 图 象 是 一 条 ④ ________ , 经 过 配 方 , 可 得 y = ax + bx+ c =⑤ 顶点为⑥
2



, 对 称 轴 为 直 线 ⑦ _ ___ _ .

其图象及主要性质如下表:

3 .一 元 二 次 方 程 根 的 分 布 .

?1 ? 方 程 ax 2+ bx+ c= 0( a

? 0) 两 根 : 一 正 一 负 ? ac ? 0;

? ? ?? ? 0 ?? ? 0 ? ? b b ? ? 两 正 根 ? ? x1 ? x 2 ? ? ? 0 两 负 根 ? ? x 1 ? x 2 ? ? ? 0 ; a a ? ? c c ? ? ? x1 ? x 2 ? ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? 0 a a ? ? 一 零 根 ? c= 0.

? 2 ? 实 系 数 二 次 方 程 ax + bx+ c = 0 ? a ? 0 ? 的 两 根 x1、 x 2
2

的分布范围与二次方程系数之间的关系,如下表所示:

【要点指南】 ① y= a x + b x+ c ( a ? 0 ); ② y= a ( x- h ) + k ( a ? 0 );
2 2

③ y= a ( x- x1 )( x- x 2 )( a ? 0 ); ④ 抛 物 线 ; ⑤ a ( x+ ⑦ x= - ⑩- b b 2a b 2a ; ⑧[ ) +
2

4 a c- b 4a 4a

2

4 a c- b ; ⑥ (- , ); 2a 4a b
2

2

4 a c- b

4 a c- b , + ? ); ⑨ (- ? , ]; 4a b ; 13 最 大 值 ;

2

;11 最 小 值 ;12 -

2a 2a 14减 ; 15 增 ; 16 增 ;17 减

1.已知函数 f(x)=x2-2x+2 的定义域和值域均为[1,b], 则 b=( A.3 C.2 ) B.2 或 3 D.1 或 2

【解析】f(x)=(x-1)2+1,f(x)在[1,b]上递增, 所以 f(b)=b2-2b+2=b, 所以 b=2 或 b=1(舍去),故选 C.

2.函数 f(x)=4x2-mx+5 在[-2,+∞)上是增函数,则 f(1) 的取值范围是( A.f(1)≥25 C.f(1)≤25 ) B.f(1)=25 D.f(1)>25

m 2 m2 【解析】f(x)=4(x- 8 ) -10+5 在[-2,+∞)上递增, m 所以 8 ≤-2,所以 m≤-16,f(1)=9-m≥9-(-16)=25, 故选 A.

3.(2010· 安徽卷)设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的 图象可能是( )

【解析】由 abc>0 知,a、b、c 的符号为同正或两负一正, 当 c>0 时,ab>0, b 所以 f(0)=c>0,对称轴 x=-2a<0 无对应选项; b 当 c<0 时,ab<0,所以 f(0)=c<0,对称轴 x=-2a>0, 由图象知选 D.

4.若二次函数的图象经过点(0,1),对称轴为 x=2, 最小值是-1,则它的解析式为 1 y=2(x-2)2-1

【解析】此题可选用一般式解决,但计算复杂.对称轴 为 x=2,最小值是-1,可知其顶点为(2,-1),从而可选 用顶点式求解.设二次函数的解析式为 y=a(x-2)2-1,将 1 (0,1)代入得 1=4a-1,所以 a=2. 1 所以所求的函数解析式为 y=2(x-2)2-1.

5.当 x∈(1,2)时,x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值 范围是 (-∞,-5] .

【解析】方法 1:设 f(x)=x2+mx+4,
?f?1?≤0 ?m+5≤0 则? ?? ?m≤-5. ?f?2?≤0 ?4+2m+4≤0

x2+4 4 方法 2:m<- x =-(x+x )(1<x<2). 4 因为 g(x)=x+x 在(1,2)上是递减的, 所以 4<g(x)<5,所以 m≤-5.

一 二次函数解析式及性质
【例 1】已知函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b 为实数,a≠0). (1)若 f(x)为偶函数,求 b 的值; (2)若函数 f(x)的图象过点(-1,0),且方程 f(x)=0 有且只有 一个根,求 f(x)的解析式; (3)在(2)的条件下,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 为单调 函数,求实数 k 的取值范围.

【解析】(1)因为 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x),解之 得 b=0. (2)因为 f(-1)=0,所以 a-b+1=0; 因为方程 f(x)=0 有且只有一个根, 即 ax2+bx+1=0 只有一解, 所以 Δ=b2-4a=b2-4(b -1)=0, 即 b=2,a=1,所以 f(x)=x2+2x+1.

(3)因为 g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2-(k-2)x k-2 2 ?k-2?2 +1=(x- 2 ) +1- 4 , k-2 k-2 所以当 2 ≥2 或 2 ≤-2 时, 即 k≥6 或 k≤-2 时,g(x)为单调函数.

【点评】求函数解析式,常采用待定系数法;若能结合 已知条件选择三种形式中的恰当形式,可简化运算. 二次函数的单调性,与图象开口方向,对称轴位置有关, 故常分类讨论求解,注意分类不重不漏.

素材1

3 3 已知 y=f(x)是二次函数, f(-2+x)=f(-2-x)对 x∈R 且 3 恒成立,f(-2)=49,方程 f(x)=0 的两实根之差等于 7.

(1)求此二次函数的解析式. (2)若 f(x)在区间[t,t+1](t∈R)上是单调函数,求 t 的取 值范围.

3 3 【解析】 (1)由 x∈R,f(-2+x)=f(-2-x)知,f(x)对称 3 轴为 x=-2. 3 3 又 f(-2)=49, 则二次函数 f(x)的图象的顶点坐标为(-2, 49), 32 故设 f(x)=a(x+2) +49(a≠0).

32 方程 f(x)=a(x+2) +49=0 的两根为 x1,x2, 则|x1-x2|=2 49 - a =7,所以 a=-4,

32 所以 f(x)=-4(x+2) +49, 即 f(x)=-4x2-12x+40.

32 (2)由(1)f(x)=-4(x+2) +49,则 3 1° t≥-2时,f(x)在[t,t+1]上单调递减, 当 所以 f(x)max=f(t)=-4t2-12t+40. 3 5 2° t+1≤-2,即 t≤-2时,f(x)在[t,t+1]上单调递增, 当 所以 f(x)max=f(t+1)=-4t2-20t+24.

3 5 3 3° t<-2<t+1,即-2<t<-2时, 当 f(x)max=49.
? 3 2 ?-4t -12t+40 ?t≥- ? 2 ? ? 5 3 所以 f(x)max=?49 ?-2<t<-2? ? ? 5 2 ?-4t -20t+24 ?t≤- ? 2 ?

.



二次函数的最值

【例 2】 已知函数 y=4x2-4ax+a2-2a 在区间[0,2] 上有最小值 3,求 a 的值.

a2 【解析】 因为 y=4x -4ax+a -2a=4(x-2) -2a,
2 2

a 其对称轴为 x=2. a ①当2≤0, a≤0 时, 即 函数 f(x)在[0,2]上为增函数, 此时 ymin=f(0)=a2-2a, 依题意得 a2-2a=3,解得 a=-1,a=3. 又因为 a≤0,所以 a=-1.

a ②当 0<2<2,即 0<a<4 时,函数 y=f(x)在[0,2]上的 a 最小值 ymin=f(2)=-2a, 3 依题意得 a=-2?(0,4),即此时无解.

a ③当2≥2,即 a≥4 时,函数 y=f(x)在[0,2]上为减函数, 此时 ymin=f(2)=a2-10a+16, 依题意 a2-10a+13=0,解得 a=5+2 3,a=5-2 3. 又因为 a≥4,所以 a=5+2 3. 综上可得 a=-1 或 a=5+2 3.

【点评】(1)二次函数最值与抛物线开口方向,对称轴位 置,闭区间三个要素有关,常有三种类型:轴定区间变、轴 定区间定,轴动区间动. (2)求最值常结合二次函数在该区间上的单调性或图象 求解,在区间的端点或二次函数图象的顶点处取最值.

素材2

已知二次函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),且 f(0)=0,f(1) =1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间[m,n]上的值域是[m,n],求 m、n 的值.

【解析】(1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
? b ?- =1 ? 2a 由已知得?c=0 ? ?a+b+c=1 ? ?a=-1 ? ,解得?b=2 ? ?c=0

.

所以 f(x)=-x2+2x.

(2)f(x)=-(x-1)2+1,显然 n≤1, 所以区间[m,n]在函数的对称轴 x=1 的左边,
?f?m?=m 所以? , m、 是方程-x2+2x=x 的两根. 即 n ?f?n?=n

又 m<n,所以 m=0,n=1.



二次方程根的分布

【例 3】已知函数 f(x)=ax2+bx-2(a<0).方程 f(x)=x b 的两实根 x1、x2 满足 x1<1<x2<2,求证:a>-4.

【解析】 证明:方程 f(x)=x,化为 ax2+(b-1)x-2= 0. 设 g(x)=ax2+(b-1)x-2(a<0), 因为 x1<1<x2<2,故如图知,
?g?1?>0 ? ? ?g?2?<0 ?

?a+b-1-2>0 ① ?? , ② ?4a+2?b-1?-2<0

①×4+②×(-3),得-4a-b>0. b 因为 a<0,所以a>-4.

【点评】 一元二次方程根的分布, 即二次函数零点的分布, 关键在于作出二次函数的草图,由此列出不等式组,要注意二 次函数的对称轴与 Δ 与方程根的关系.

素材3

已知 f(x)=-3x2+(6-a)ax+b. (1)若 a=1 时,f(x)<0 在 R 上恒成立,求 b 的取值范围; (2)若方程 f(x)=0 有一根小于 1,另一根大于 1,当 b>-6 且 b 为常数时,求实数 a 的取值范围.

【解析】 (1)由已知得-3x2+5x+b<0, x∈R 恒成立, 25 所以 Δ=25+12b<0,解得 b<-12, 25 即 b 的取值范围是(-∞,-12).

(2)因为-3<0,由图象知,只需 f(1)>0, 所以-3+(6-a)a+b>0 ?a2-6a+3-b<0 ?3- b+6<a<3+ b+6, 即 a 的取值范围为(3- b+6,3+ b+6).

备选例题

t+2 t2 已知二次函数 y=f(x)在 x= 2 处取得最小值- 4 (t≠0), 且 f(1)=0. (1)求 y=f(x)的表达式; 1 (2)若函数 y=f(x)在区间[-1,2]上的最小值为-5,求此时 t 的值和对应的 x 的值

t+2 2 t2 【解析】 (1)设 f(x)=a(x- 2 ) - 4 (a>0). t2 因为 f(1)=0,所以(a-1) 4 =0. t+2 2 t2 又 t≠0,所以 a=1,所以 f(x)=(x- 2 ) - 4 (t≠0).

t+2 2 t2 (2)因为 f(x)=(x- 2 ) - 4 (t≠0), t+2 t+2 2 t2 当 2 <-1, t<-4 时, min=f(-1)=(-1- 2 ) - 4 即 f(x) 9 =-5,所以 t=-2;

t+2 1 t+2 t2 当-1≤ 2 ≤2,即-4≤t≤-1 时,f(x)min=f( 2 )=- 4 =-5,所以 t=± 5(舍去); 2 t+2 1 1 1 t+2 2 t2 当 2 >2, t>-1 时, min=f(2)=(2- 2 ) - 4 =-5, 即 f(x) 21 所以 t=- 2 (舍去). 9 综上得,所求的 t=-2,对应的 x=-1.

1. 二 次 函 数 、 一 元 二 次 不 等 式 和 一 元 二 次 方 程 是 一个有机的整体,要深刻理解他们之间的关系, 运用函数与方程的思想将他们进行转化,这是 准确迅速解决此类问题的关键. 2. 对 二 次 函 数 y= ax + bx+ c ( a ? 0) 在 [ m, n ]上 的
2

最值的研究是本讲内容的重点.对如下结论必须 熟练掌握:

4 ac- b 是它的一个最值, ?1 ? 当 x= - ? [ m, n ]时 , 2a 4a b 另 一 最 值 在 区 间 端 点 处 取 得 ; 当 x= - b 2a 最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得. ? [ m, n ]时 ,

2

?2?含参数的二次函数在某个区间上的最值问题常需
分类讨论.要抓住顶点的横坐标是否属于该区间, 结合开口方向及单调性进行分类讨论求解. 3. 二 次 函 数 f ? x ? = ax + bx+ c .
2

当 a ? 0 且 ? ? 0时 , 对 ? x ? R , f ? x ? ? 0 成 立 ; 当 a ? 0 且 ? ? 0时 , 对 ? x ? R , f ? x ? ? 0 成 立 .


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