【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)选修1-2练习:2.2 第1课时 综合法与分析法]

第二章

2.2

第 1 课时

一、选择题 1.分析法证明问题是从所证命题的结论出发,寻求使这个结论成立的( A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分条件又非必要条件 [答案] A [解析] 分析法证明是从所证命题的结论出发,寻求使结论成立的充分条件. 2.要证明 3+ 7<2 5可选择的方法有以下几种,其中最合理的为( A.综合法 C.反证法 [答案] B [解析] 要证明 3+ 7<2 5最合理的方法是分析法. 3.a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是( A.a+b+ 1 ≥2 2 ab ) B.分析法 D.归纳法 ) )

1 1? B.(a+b)? ?a+b?≥4 2ab D. ≥ ab a+b

a2+b2 C. ≥a+b ab [答案] D 2ab [解析] ∵a>0,b>0,∴ ≤ ab. a+b 4.下面的四个不等式:

1 b a ①a2+b2+c2≥ab+bc+ca;②a(1-a)≤ ;③ + ≥2;④(a2+b2)· (c2+d2)≥(ac+bd)2. 4 a b 其中恒成立的有( A.1 个 [答案] C [解析] ∵a2+b2+c2≥ab+bc+ac, 1 1 1 a(1-a)- =-a2+a- =-(a- )2≤0, 4 4 2 (a2+b2)· (c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 ≥a2c2+2abcd+b2d2=(ac+bd)2, ) C.3 个 D.4 个

B.2 个

b b a 只有当 >0 时,才有 + ≥2,∴应选 C. a a b 1 1 5.若 a、b∈R,则 3> 3成立的一个充分不必要条件是( a b A.ab>0 C.a<b<0 [答案] C 1 1 [解析] 由 a<b<0?a3<b3<0? 3> 3, a b 1 1 但 3> 3?/ a<b<0. a b 1 1 ∴a<b<0 是 3> 3的一个充分不必要条件. a b 6.若 x、y∈R,且 2x2+y2=6x,则 x2+y2+2x 的最大值为( A.14 C.16 [答案] B [解析] 由 y2=6x-2x2≥0 得 0≤x≤3, 从而 x2+y2+2x=-(x-4)2+16, ∴当 x=3 时, 最大值为 15. 二、填空题 1 1 7.已知 a、b 是互不相等的正数,且 a+b=1,则 + 与 4 的大小关系是________. a b [答案] 1 1 + >4 a b B.15 D.17 ) B.b>a D.ab(a-b)<0 )

[解析] ∵a、b 是互不相等的正数,a+b=1, 1 1 a+b a+b b a ∴ + = + =2+ + >4. a b a b a b → → → → → → 8 .若平面内有 OP1 + OP2 + OP3 = 0 ,且 | OP1 | = | OP2 | = | OP3 | ,则△ P1P2P3 一定是 ________(形状)三角形. [答案] 等边 → → → → → → [解析] 由OP1+OP2+OP3=0,且|OP1|=|OP2|=|OP3|,∴△P1P2P3 是等边三角形. 三、解答题 a+b 9.用分析法、综合法证明:若 a>0,b>0,a≠b,则 > ab. 2 [证明] (1)分析法 a+b 为了证明 > ab成立,需证明下面不等式成立: 2

a+b>2 ab 由于 a>0,b>0,即要证(a+b)2>4ab 成立. 展开这个不等式左边,即得 a2+2ab+b2>4ab 即证 a2-2ab+b2>0 成立. 即证(a-b)2>0 成立,以上证明过程步步可逆, a+b ∵a≠b,∴(a-b)2>0 成立.故 > ab成立. 2 (2)综合法 由 a>0,b>0,且 a≠b 知 a>0, b>0,且 a≠ b ∴( a- b)2>0?a+b>2 ab? a+b > ab. 2

一、选择题 1.设 a 与 b 为正数,并且满足 a+b=1,a2+b2≥k,则 k 的最大值为( 1 A. 8 1 C. 2 [答案] C 1 1 1 [解析] ∵a2+b2≥ (a+b)2= (当且仅当 a=b 时取等号),∴kmax= . 2 2 2 1?x + ?a+b?,B=f( ab),C=f? 2ab ?,则 A、B、 2.已知函数 f(x)=? , a 、 b ∈ R , A = f ?2? ? 2 ? ?a+b? C 的大小关系为( A.A≤B≤C C.B≤C≤A [答案] A a +b 2ab [解析] ∵ ≥ ab≥ , 2 a+b a+b 1 2ab 又函数 f(x)=( )x 在(-∞,+∞)上是单调减函数,∴f( )≤f( ab)≤f( ). 2 2 a+b 1 3 3.已知 a>0,b>0, + =1,则 a+2b 的最小值为( a b A.7+2 6 C.7+2 3 [答案] A B.2 3 D.14 ) ) B.A≤C≤B D.C≤B≤A 1 B. 4 D.1 )

?1+3?=7+3a+2b. [解析] a+2b=(a+2b)· ?a b? b a
3a 2b 又∵a>0,b>0,∴由均值不等式可得:a+2b=7+ + ≥7+2 b a 3a 2b 1 3 1 3 且仅当 = 且 + =1,即 3a2=2b2 且 + =1 时等号成立,故选 A. b a a b a b 4.已知 f(x)=ax
+1,

3a 2b · =7+2 6.当 b a

0<a<1,若 x1、x2∈R,且 x1≠x2,则(

)

f?x1?+f?x2? ?x1+x2? A. ≤f 2 ? 2 ? f?x1?+f?x2? ?x1+x2? B. =f 2 ? 2 ? f?x1?+f?x2? ?x1+x2? C. ≥f 2 ? 2 ? f?x1?+f?x2? ?x1+x2? D. >f 2 ? 2 ? [答案] D f?x1?+f?x2? ax1+1+ax2+1 [解析] ∵ = > ax1+1ax2+1 2 2 x1+x2 x1+x2? =a +1=f? 2 ? 2 ?, ∴ f?x1?+f?x2? ?x1+x2? >f 2 ? 2 ?,∴选 D.

二、填空题 a?2x+1?-2 5.已知 f(x)= 是奇函数,那么实数 a 的值等于________. 2x+1 [答案] 1 a?2x+1?-2 [解析] ∵f(x)= (x∈R)是奇函数 2x+1 a?2 x+1?-2 a?2x+1?-2 则 f(-x)+f(x)= + =0 - 2 x+1 2x+1


∴a=1. 6.已知 p=a+ [答案] p>q 1 1 [解析] ∵p=a+ =a-2+ +2≥4(当且仅当 a=3 时取“=”), a-2 a- 2 q=2-a2+4a-2=2-(a-2)2+2<4.∴p>q. 三、解答题 a c 7.设 a、b、c 三个数成等比数列,而 x、y 分别为 a、b 和 b、c 的等差中项,求证 + x y 1 (a>2),q=2-a2+4a-2(a>2),则 p 与 q 的大小关系是________. a-2

=2. a+b a b a b [证明] 已知 a、 b、 c 成等比数列, 即 = .由比例性质有 = .又由题设 x= , b c 2 a+b b+c b+c a c 2a 2c 2b 2c 2?b+c? y= ,有 + = + = + = =2,故等式成立. 2 x y a+b b+c b+c b+c b+c 8.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是平行四边形,E、F 分别为 AB、CD 的中点.求证: AF∥平面 PEC.

[证明] ∵四棱锥 P-ABCD 的底面是平行四边形,∴AB 綊 CD. 又∵E、F 分别为 AB、CD 的中点, ∴CF 綊 AE. ∴四边形 AECF 为平行四边形. ∴AF∥EC. 又 AF?平面 PEC,EC?平面 PEC, ∴AF∥平面 PEC. 9.已知 a、b、c 为△ABC 的三边长,若 a2=b(b+c),求证:A=2B. [ 证明 ] b2+c2-a2 b2+c2-?b2+bc? c2-bc ∵ a = b(b + c) = b + bc ,∴ cos A = = = = 2bc 2bc 2bc
2 2

c-b a2+c2-b2 b2+bc+c2-b2 b+c ?b+c?2 - 1= , cos B= = = ,∴ cos 2B =2cos2B -1= 2· 2b 2ac 2ac 2a ? 2a ? ?b+c?2 ?b+c?2 b+c c-b - 1 = -1= -1= ,∴cos A=cos 2B.又∵A、B 均为三角形的内角, 2a2 2b 2b 2b?b+c? ∴A=2B.


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