【全程复习方略】高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)课件 新人教A版必修4

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 一、函数的周期性 1.周期函数 非零常数T ,使得当x取定义 对于函数f(x),如果存在一个__________ f(x+T)=f(x) ,那么函数f(x)就叫 域内的每一个值时,都有____________ T 做周期函数,这个函数的周期为__. 2.最小正周期 正数 ,那 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的_____ 正数 就叫做f(x)的最小正周期. 么这个最小_____ 思考:如果T是y=f(x)的一个周期,那么kT(k∈N)也是它的周 期吗? 提示:不一定.当k=0时,kT不是它的周期. 二、正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 周期 最小正周期 y=sinx 2kπ(k∈Z且k≠0) 2π ____ 奇函数 _______ y=cosx 2kπ(k∈Z且k≠0) 2π ____ 偶函数 _______ 奇偶性 判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)由于sin(30°+120°)=sin 30°,则120°是函数y=sin x 的一个周期. ( ) ) (2)所有周期函数都有最小正周期.( (3)函数y=sin 2x是奇函数.( ) 提示:(1)错误.因为对于函数y=f(x),使f(x+T)=f(x)成立的 x必须取定义域内的每一个值才可以,即x的任意性. (2)错误.如常数函数f(x)=5,所有非零实数T都是它的周期, 而没有最小正周期. (3)正确.由奇偶性定义及诱导公式可知此函数是奇函数 . 答案:(1)× (2)× (3)√ 【知识点拨】 1.对周期函数的正确理解 (1)关于函数周期的理解应注意以下三点: ①存在一个不等于零的常数T; ②对于定义域内的每一个值x,都有x+T属于这个定义域; ③满足f(x+T)=f(x). (2)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则 其周期也不一定唯一. (3)如果T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x) 的周期. 2.正弦函数、余弦函数的奇偶性 (1)正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数,反映在图象上, 正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称. (2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形. (3)注意诱导公式在判断三角函数奇偶性时的运用. 类型 一 求三角函数的周期 【典型例题】 1.下列函数是以π为周期的是( A.y=sin x C.y=2cos 2x+1 2.求下列函数的最小正周期: ) B.y=cos x+2 D.y=sin 3x-2 ?1? y ? sin(2x ? ? ). ? 2 ? y ? cos x . 3 【解题探究】1.怎样求形如y=Asin(ωx+φ)的函数周期? 2.如何求形如y=|cos x|的函数周期? 探究提示: 1.对形如y=Asin(ωx+φ)的函数可通过周期函数定义或公式 来求其周期. 2.对形如y=|cos x|的函数可通过作出其图象,观察得周期 . 【解析】1.选C.对于A,B,函数的周期是2π; 对于C,函数的周期是π;对于D,函数的周期是 2? . 故选C. 2.(1)方法一: y ? sin(2x ? ) ? sin(2x ? ? 2?) ? ? sin[2 ? x ? ? ? ? ], 3 ? 3 ? 3 3 所以此函数的周期是π. 方法二:在 y ? sin(2x ? ? ) 中ω=2,故 T ? 2? ? 2? ? ?. 3 ? 2 (2)作出函数y=|cos x|的图象,如图所示, 观察图象可知此函数的周期是π. 【互动探究】题2中若函数y=|sin x|,则最小正周期为多 少? 【解析】利用图象法,画出函数y=|sin x|的图象,观察图 象可知该函数的最小正周期是π. 【拓展提升】求三角函数周期的方法 (1)定义法,即利用周期函数的定义求解. (2)公式法,对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ) 2? (A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数, T? . ? (3)观察法,即通过观察函数图象求其周期. 【变式训练】(2013·江苏高考)函数 y ? 3sin(2x ? ? ) 的最小正 4 周期为______. 【解析】函数 y ? 3sin(2x ? ? ) 的最小正周期 T ? 2? ? ?. 4 2 答案:π 类型 二 三角函数奇偶性的判断 【典型例题】 1.函数 y=sin( 2 011 ?-2 010x) 是( 2 ) A.奇函数 C.非奇非偶函数 B.偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 2.(2013·济宁高一检测)已知a∈R,函数f(x)=sin x- |a|(x∈R)为奇函数,则a等于( A.0 B.1 C.-1 ) D.±1 3.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|sin x|+cos x. ? 2? f ? x ? ? 1 ? cos x ? cos x ? 1. 【解题探究】1.题1能否将函数式化简? 2.题2怎样由函数的奇偶性求参数? 3.题3判断函数奇偶性首先应注意什么? 探究提示: 1.可通过诱导公式将函数式化简为y=cos ωx的形式. 2.可结合函数奇偶性的定义来求. 3.判断函数的奇偶性首先应看其定义域是否关于原点对称 . 【解析】1.选B. y=sin( 2 011 ?-2 010x) ? =sin[( -2 010x)+ 1 005?] 2 ? =-sin( -2 010x)=-cos 2 010x, 2 2 所以为偶函数. 2.选A.函数定义域为R.因为f(x)为奇函数, 所以f(-x)=sin(-x)-|a|=-f(x)=-sin x+|a|, 所以|a|=0,所以a=0. 3.(1)函数的定义域为R, 又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+c

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