教案(公开课)方程的根与函数的零点_(新)

3.1.1 方程的根与函数的零点
一、重难点
1、教学重点:发现并体会函数的零点与方程的根之间的联系 2、教学难点:零点存在性的判定条件及函数零点的应用。

二、教学过程
(一)兴趣导入,引入新知 引例: 判断下列方程是否有实数根,如有实数根,请求出方程的实数根 (1) 3 x ? 2 ? 0 ;
2 (2) x ? 2 x ? 3 ? 0

(3) ln x ? 2 x ? 6 ? 0

思考:一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)的根与二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图 像有什么关系? 问题 1 填表,观察表格并说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与 x 轴的 交点有什么关系?
方 程

x 2 ? 2x ? 3 ? 0

x 2 ? 2x ? 1 ? 0

x 2 ? 2x ? 3 ? 0

方程的实数根 函 函 图 数 数 象

y ? x 2 ? 2x ? 3

y ? x 2 ? 2x ? 1

y ? x 2 ? 2x ? 3

(简图) 函数的图象与轴的交 点

结论: 问题 2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程
2

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0) 及相应的二次函数 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0) 的图象与 x 轴交

点的关系,上述结论是否仍然成立?
判别式

??0

??0

??0

方程ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)的根

y ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)的图象

函数图象与 x 轴的 交点

结论: (二)总结归纳,形成概念 1.函数的零点: 2.方程根与函数零点等价关系: (三)深入理解,巩固新知 巩固练习 1、求下列函数的零点: 。

(1) f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 3

(2) f ( x) ? 2 x ? 4

(3) f ( x) ? log2 x ? 1

现在我们回到引例 3,你能判断方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0 是否有实数根吗?(用图象法解决) (四)问题引导,继续探究(零点存在性) 探究 1: P87 作出 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象,求 探究 2:观察下面函数 y ? f ( x) 的图象, 在区间 [a, b] 上 在区间 [b, c] 上 在区间 [c, d ] 上 归纳总结: 3.零点存在定理: 零点; f (a) ? f (b) 零点; f (b) ? f (c) 零点; f (c) ? f (d ) 0; 0; 0. 。

f (?2)与f (1) 的值,观察 f (?2) ? f (1) 的符号

判断正误:若不正确, 请用图像举出反例 ( 1 )f ( a ) ? f (b) ? 0则函数y ? f ( x)在区间(a, b)内有零点; (2)函数y ? f ( x)在区间(a, b)内有零点,则 f ( a ) ? f (b) ? 0; (3) f ( a ) ? f (b) ? 0, 则函数y ? f ( x)在区间(a, b)内只有一个零点; 思考:在什么条件下, 函数y ? f ( x)在区间(a, b)只存在一个零点?

(五)学以致用,例题巩固

例 1、 P88 求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数

2 巩固练习:1.函数 f(x)=x(x -16)的零点为( ) A. (0,0),(4,0) B.0,4 C. (–4,0),(0,0),(4,0) D.–4,0,4

2.已知函数 f(x)的图象是连续不断的,有如下对应值表: x f(x) 1 23 2 9 3 –7 4 11 5 6 7 –26

–5 –12

那么函数在区间[1,6]上的零点至少有( )个 A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 (六)反思小结,感悟收获 一种关系: 两种思想: 三种题型:


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