【全程复习方略】高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)课件 新人教A版必修4_图文

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 正弦函数、余弦函数的图象与性质 正弦函数 图象 定义域 值域 R [-1,1] R [-1,1] 余弦函数 正弦函数 ? ? 余弦函数 单 调 性 在 [2k? ? 2 , 2k? ? 2 ](k ? Z) 在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上递 上递增, ? 3 增,在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上 在[2k? ? 2 , 2k? ? 2 ?](k ? Z) 递减 上递减 ? 在x=2kπ+ 2 最 值 (k∈Z)时,ymax=1; 在x=2kπ(k∈Z)时,y =1;在 max ? x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-1 在x=2kπ(k∈Z)时,ymin=-1 2 思考:正弦函数在定义域上是增函数,而余弦函数在定义域 上是减函数,这种说法对吗? 提示:不正确.正弦函数在每个闭区间 [2k? ? ? , 2k? ? ? ](k ? Z) 2 2 上是增函数,并不是在整个定义域上是增函数,同样的,余 弦函数在闭区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减函数,并不 是在整个定义域上是减函数. 【知识点拨】 1.解读正弦、余弦函数的单调性 (1)正弦、余弦函数在定义域R上均不是单调函数,但存在单 调区间. (2)求解(或判断)正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性) 是求值域(或最值)的关键一步. (3)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时, 要注意使用复合函数的判断方法来判断. 2.解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正、余弦函数的有界性,即|sin x|≤1,|cos x|≤1. (2)对有些函数,其最值不一定是1或-1,要依赖函数定义域 来决定. (3)形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的最值通常利用 “整体代换”,即令ωx+φ=z,将函数转化为y=Asin z的形 式求最值. 类型 一 正、余弦函数的单调性问题 【典型例题】 1.下列函数,在 [ ,?] 上是增函数的是( A.y=sin x C.y=sin 2x B.y=cos x D.y=cos 2x ? 2 ) 2.函数y=cos x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值 范围是__________. 3.求函数 y=sin( ? -x) 的单调递增区间. 6 【解题探究】1.在[0,2π]上正、余弦函数的单调区间各是 什么? 2.当知道三角函数在某区间上的单调性,求其端点时应注意 什么? 3.复合函数的单调性有什么规律? 探究提示: 1.正弦函数在 [0, ? ]上递增,在 [ ? , 3 ?] 上递减,在 [ ?, 2?]上递 2 2 2 3 2 增.余弦函数在[0,π]上递减,在[π,2π]上递增. 2.应注意所给区间与三角函数的单调区间的包含关系 . 3.对复合函数而言,当内外函数单调性一致时复合函数为增 函数,相反时为减函数. 【解析】1.选D.因为y=sin x与y=cos x在 [ ? ,?]上都是减 2 函数,所以排除A,B. 因为 ? ? x ? ?, 所以π≤2x≤2π. 2 因为y=sin 2x在2x∈[π,2π]内不具有单调性,所以排 除C. 2.因为y=cos x在[-π,0]上是增函数, 在[0,π]上是减函数,所以只有-π<a≤0时满足条件, 故a∈(-π,0]. 答案:(-π,0] 3.方法一:由 2k? ? ? ? ? ? x ? 2k? ? 3 ?,k ? Z 2 6 2 得: 2k? ? ? ? ? x ? 2k?+ 4 ?,k ? Z. 3 3 即 ?2k? ? 4 ? ? x ? ?2k? ? ? ,k ? Z. 3 3 亦即 2k? ? 4 ? ? x ? 2k? ? ? ,k ? Z. 3 3 4 ? 所以原函数的单调递增区间为 [2k? ? ?, 2k? ? ],k ? Z. 3 3 方法二:y=sin( ? -x) ? ?sin(x ? ? ), 6 6 由 2k? ? ? ? x ? ? ? 2k? ? 3 ?,k ? Z 得: 2 6 2 2 5 2k? ? ? ? x ? 2k?+ ?,k ? Z. 3 3 所以原函数的单调递增区间为 2 5 [2k? ? ?, 2k?+ ?], k ? Z. 3 3 【互动探究】题3中若函数为 y=cos( -x), 则其单调递增区间 又是什么? 【解析】 y=cos( ? -x)=cos(x- ? ), 由 2k?-? ? x- ? ? 2k?,k ? Z 得: ? 所以原函数的单调递增区间为 [2k?- 5 ?, 2k?+ ] ? k ? Z ?. 6 6 5 ? 2k?- ? ? x ? 2k?+ ,k ? Z. 6 6 6 6 6 ? 6 【拓展提升】求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意 点 (1)结合正、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间. (2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时, 应采用“换元法”整体代换,将“ωx+φ”看作一个整体“z”, 即通过求y=Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如 y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间同上. (3)①ω<0时,一般用诱导公式转化为-ω>0后求解;②若A<0, 则单调性相反. 【变式训练】求函数y=1-sin 2x的单调区间. 【解析】求函数y=1-sin 2x的单调区间,转化为求函数y= sin 2x的单调区间,要注意负号的影响. 由 ?+2k? ? 2x ? 3?+2k?,k ? Z, 2 2 得 ?+k? ? x ? 3?+k?,k ? Z, 4 4 3? 即函数的单调递增区间是 [ ?+k?, +k?] ? k ? Z ?. 4 4 同理可求得函数的单调递减区间是 ? ? [- +k?, +k?]? k ? Z ?. 4 4 类

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