2.3.1双曲线的标准方程_图文

复习回顾
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.

|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
思考:
2. 引入问题:

Y

M ? x, y ?

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?
双曲线图象 拉链画双曲线

如图2.2 ? 1, 取一条拉链, 拉开它的一部分 , 在拉开 的两边上各选择一点 ,分 别固定在点F1 , F2上, 把笔 尖放在点M处, 随着拉链 逐渐拉开或者闭拢 , 笔尖 所经过的点就画出一条 曲线.这条曲线是 满足下面条件的点的集 合: P ? ? M || MF1 | ? | MF2 |? 常数 ? .
图2.2 ? 1
F1
M

F2

如果使点M到点F2的距离 M 减去到F1的距离所得的差 等于同一个常数 , 就得到 F F 另一条曲线(图2.2 ? 1中左 边的曲线).这条曲线是满 图2.2 ? 1 足下面条件的点的集合 : P ? ? M || MF2 | ? | MF1 |? 常数 ?. 这两条曲线合起来叫做 双曲线, 每一条叫 做双曲线的一支. 思考 类比椭圆的定义 , 你能给出双曲线
1 2

的定义吗?

我们把平面内与两个定 点 F1 , F2 的距离的 差的绝对值等于常数?小于 | F1 F2 |? 的点的

?.这 两个定点 轨迹叫做 双曲线 ?hyperbola
叫做 双曲线的焦点, 两个焦点间的距离叫 做 双曲线的焦距.

探究 类比椭圆标准方程的建 立过程, 你 能说说应怎样选择坐标 系, 建立双曲线的 标准方程吗?

我们根据双曲线的几何 特征, 选择适当的坐标系 , 建立双曲线的标准方程 .

y
M

如图2.2 ? 2, 建立直角坐标 系 xOy, 使 x 轴经过两焦点 F1 , F2 , y 轴为线段F1 F2的垂 图2.2 ? 2 直平分线. 设 M ? x, y ? 是双曲线 上任意一点, 双曲线的焦距为 ?? c,0?, ?c,0?. 2c?c ? 0 ?, 那么, 焦点F1 , F2的坐标分别是 又设点M 与F1 , F2 的距离的差的绝对值常 数 2a.
设为2a 可以为问题的研究带来 方便.

F1

O

F2 x

由定义可知 , 双曲线就是集合 P ? ?M | || MF1 | ? | MF2 || ? 2a?.

y
M

因为| MF1 |? | MF2 |?

? x ? c ?2 ? y 2 , 2 ? x ? c ? ? y 2 , 所以

F1

O

F2 x

图2.2 ? 2

? x ? c ?2 ? y 2 ? ? x ? c ?2 ? y 2

? ?2a

?1?

类比椭圆标准方程的化 简过程, 化简?1?, 得

?c

2

? a ? x ? a y ? a ?c ? a ?,
2 2 2 2 2 2 2

2 2 x y 两边同除于a 2 ?c 2 ? a 2 ?, 得 2 ? 2 ? 1. 2 a c ?a

由双曲线的定义可知 , 2c ? 2a, 即c ? a, 所以 c ? a ? 0.
2 2

y
M

类比椭圆标准方程的建 立过 程, 我们令c 2 ? a 2 ? b 2 , 其中 b ? 0, 代入上式, 得 x y ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0 ? . 2 a b
2 2

F1

O

F2 x

?2?

图2.2 ? 2

点的坐标都满足方程?2 ?,以方程?2 ?的解

从上述过程可以看到, 双曲线上任意一

? x, y ? 为坐标的点到双曲线的两个焦点 F1 ?? c,0 ? , F2 ?c,0 ? 的距离之差的绝对值 为2a, 即以方程?2 ?的解为坐标的点都在 双曲线上.这样, 我们把方程 ?2 ?叫做 双

.它表示焦点在 x 轴上, 曲线的标准方程 焦点分别是 F1 ?? c,0 ?, F2 ?c,0 ? 的双曲线, 这里 c ? a ? b .
2 2 2

y

思考 类比焦点在y轴上 的椭圆标准方程 , 如图2. 2 ? 3, 双曲线的焦点分别 是F1 ?0,? c ?, F2 ?0, c ?, a, b的 意义同上, 这时双曲线的 标准方程是什么 ?
M

F2

O

x

F1

图2.2 ? 3

y 2 x2 此时双曲线的方程是 2 ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0 ?, a b 这个方程也是双曲线的 标准方程.

讨论:
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

看 x , y 前的系数,哪一个为正,则 在哪一个轴上

2

2

2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?

双曲线与椭圆之间的区别与联系

定 义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

方 程

焦 点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

例1 2 已知两定点 F1 ?? 5, 0?, F2 ?5, 0? ,动点 P 满 足 PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程
解:∵ F1F2 ? 10 >6,
PF1 ? PF2 ? 6

∴由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16. x2 y2 ? ? 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

变式训练:已知两定点 F1 ?? 5, 0?, F2 ?5, 0? ,动点 P 满 足 PF1 ? PF2 ? 6,求动点P 的轨迹方程
解: ∵ F1F2 ? 10 >6,

PF1 ? PF2 ? 6

∴ 由双曲线的定义可知, 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16.
x2 y2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.

如图所示,建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上,并 且点O与线段AB的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为(x,y), 则 PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680 A o B x AB ? 800 即 2a=680,a=340 ? 2c ? 800, c ? 400, b2 ? c 2 ? a 2 ? 44400 800 ? PA ? PB ? 680 ? 0 , ? x ? 0 x 2 y2 ? ? 1( x ? 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400

思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.

思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差,可以确定爆炸点在某条曲线上,但不能确定 爆炸点的准确位置 . 而现实生活中为了安全,我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置,怎样才能确定爆炸 点的准确位置呢?
答:再增设一个观测点C,利用B、C(或A、C)两处 测得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方 程,解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用.

课堂练习: x2 y2 ? ? 1 表示双曲线时,则m的取值 方程 2?m m?1

m ? ?1 或 m ? 2 范围_________________.

变式二:
上述方程表示焦点在y轴的双曲线时,求m 的范围和焦点坐标。

分析:

?m ? 1 ? 0 ?m?2 ? ?2 ? m ? 0

c 2 ? (m ? 1) ? (m ? 2) ? 2m ? 1
?? 焦点为 23 m ( 0,? (0 ? ,2? m? ) ? 1)

变式一:
x y ? ? 1 表示双曲线时,则m的取值 方程 2?m m?1
2 2

m ? ? 1 或 m ? 2 范围_________________.

链接高考(2004 年高考题)某中心接到其正东、正西、正 北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时 听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测 点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试 确定该巨响发生的位置 .( 假定当时声音传播的速度为 340m/s,相关各点均在同一平面上)

分析:依题意画出图形(如图)
直觉巨响点的位置情况.
只要能把巨响点满足的两个曲线 方程求出来 . 那么解方程组就可以确 定巨响点的位置.

P

yC

?

A

o

B

x

要求曲线的方程 , 恰当的建立坐 标系是一个关键.

解:如图,以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系. 设 A、B、C 分别是西、东、北观测点, 则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0,1020). 设 P(x,y)为巨响点, 由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =-x,
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB|-|PA|=340×4=1360, x2 y2 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 2 ? 2 ? 1 的一支上, a b 依题意得 a = 680, c = 1020,? b2 ? c 2 ? a 2 ? 10202 ? 6802 ? 5 ? 3402 x2 y2 ? ?1 ∴双曲线的方程为 2 2 680 5 ? 340
用 y=-x 代入上式,得 x ? ?680 5 ,∵|PB|>|PA|, ? x ? ?680 5, y ? 680 5, 即P(?680 5,680 5), 故PO ? 680 10 答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m 处.


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