复数例题

例题讲解
1.复数的概念 例 1.实数 m 取什么数值时,复数 z=m+1+(m-1)i 是(1)实数?(2)虚数? (3)纯虚数?(4)对应的点 Z 在第三象限? 解:复数 z=m+1+(m-1)i 中,因为 m∈R,所以 m+1,m-1 都是实数,它们分 别是 z 的实部和虚部, ∴ (1)m=1 时,z 是实数; (2)m≠1 时,z 是虚数;

?m ? 1 ? 0 ? (3)当 ?m ? 1 ? 0 时,即 m=-1 时,z 是纯虚数; ?m ? 1 ? 0 ? (4)当 ?m ? 1 ? 0 时,即 m<-1 时,z 对应的点 Z 在第三象限。

例 2.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x, y∈R,求 x, y.

? 2x ?1 ? y 5 ? 解:根据复数相等的意义,得方程组 ?1 ? ?(3 ? y) ,得 x= 2 , y=4.

例 3.已知 x 与 y 实部相等,虚部互为相反数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求 x, y. 解:由题意设 x=a+bi,y=a-bi (a, b∈R),则代入原式得

? 4a 2 ? 4 ?a ? 1 ? a ? 1 ?a ? ?1 ? ? ? ? 2 2 (2a)2 - 3(a2+b2)i=4 - bi ? ??3(a ? b ) ? ?6 , ? ?b ? 1 或 ?b ? ?1 或 ? b ? 1 或
?a ? ?1 ? x ? 1 ? i ? x ? 1 ? i ? x ? ?1 ? i ? x ? ?1 ? i ? ? ? ? ? ?b ? ?1 ,∴ ? y ? 1 ? i 或 ? y ? 1 ? i 或 ? y ? ?1 ? i 或 ? y ? ?1 ? i .

2m2 ? 3m ? 2 2 例 4.当 m 为何实数时,复数 z= m ? 25 +(m2+3m-10)i; (1)是实数;

(2)是虚数; (3)是纯虚数. 解:此题主要考查复数的有关概念及方程(组)的解法.

?m2 ? 3m ? 10 ? 0 ? 2 (1)z 为实数,则虚部 m2+3m-10=0,即 ? m ? 25 ? 0 ,
解得 m=2,∴ m=2 时,z 为实数。

?m2 ? 3m ? 10 ? 0 ? 2 (2)z 为虚数,则虚部 m2+3m-10≠0,即 ? m ? 25 ? 0 ,
? 2m 2 ? 3m ? 2 ? 0 ? 2 ? m ? 3m ? 10 ? 0 ? 2 ? m ? 25 ? 0

解得 m≠2 且 m≠±5. 当 m≠2 且 m≠±5 时,z 为虚数.
1 1 解得 m=- 2 , ∴当 m=- 2 时,z 为纯虚数.



诠释:本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件, 还应特别注意分母不为零这一要求.

例 5.复数 z 满足(1+2i)z+(3-10i) z =4-34i,求 z. 解:设 z=x+yi (x, y∈R),则(1+2i)(x+yi)+(3-10i)(x-yi) =4-34i, 整理得(4x-12y)-(8x+2y)i=4-34i.

? 4 x ? 12 y ? 4 ?x ? 4 ? ? ∴ ?8 x ? 2 y ? 34 , 解得 ? y ? 1 , ∴ z=4+i.


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