2014-2015学年江西省南昌市第二中学高二下学期第二次月考数学(理)试题 word版


2014-2015 学年江西省南昌市第二中学高二下学期第二次月考数学(理)试题 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一个正确.每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 M={1,-2,3} ,N={-4,5,6,-7} ,从这两个集合中各取一个元素作 为点的坐标,则在直角坐标系中,第一、二象限不同点的个数是( ) A.10 B.14 C.16 D.18
3 2 2 2.已知自然数 x 满足 3 Ax ?1 ? 2 Ax ? 2 ? 6 Ax ?1 ,则 x ?

( D.6 (



A.3

B.5

C.4

3.已知直线 a, b ,平面 ? 、 ? 、 ? ,则下列条件中能推出 ? // ? 的是 A. a // ? , b // ? , a // b C. a ? ? , b ? ? , a // b B. a ? ? , b ? ? , a ? ? , b ? ? D. a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ?



4.某几何体的三视图如图所示,其中左视图为半圆, 则该几何体的体积是 ( ) A.

2 ? 3 2 2 ? 3

B.

?
2

C.

D. ?

5. 将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙 两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为 ( ) A.66 B.48 C.36 D.30 6. 某班组织文艺晚会,准备从 A,B 等 8 个节目中选出 4 个节目演出,要求:A,B 两个节目 至少有一个选中,且 A,B 同时选中时,它们的演出顺序不能相邻,那么不同演出顺序的 和数为 ( ) A.1860 B.1320 C.1140 D.1020 1 ? ?2n 7.设 n 为正整数,?x- ) ? 展开式中存在常数项,则 n 的一个可能取值为( ? x x? A.16 B.10 C.4 D.2

8.若,P 是正四面体 V-ABC 的侧面 VBC 上一点,点 P 到平面 ABC 的距离与到点 V 的距离 相等,则动点 P 的轨迹为 A.一条线段 B.椭圆的一部分 ( )

C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分

9.已知三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=2,则 三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离是 A. ( ) D.

3 3

B.1

C. 3

3 3 2
? ?

10.△ ABC 的 AB 边在平面 ? 内,C 在平面 ? 外,AC 和 BC 分别在与平面 ? 成 30 和 45

的角,且平面 ABC 与平面 ? 成 60 的二面角,那么 sin ?ACB 的值为(
?



A.1

B.

1 3

C.

2 2 3

D.1 或

1 3

11.在 100,101,…,999 这些数中,各位数字按严格递增或严格递减顺序排列的数的个数 是 ( ) A.120 B.168 C.204 D.216 12.连续抛掷骰子,记下每次面朝上的点数,若出现三个不同的数就停止,问抛掷 5 次停止 时,会出现不同的结果种数位 ( ) A.420 B.840 C.720 D.640 二、填空题
2 2 2 13. C3 ? C4 ? C52 ? ??? ? C19 ?



14. 将 6 本完全相同的数学书与 5 本不同的英语书放在书架同一层排成一排, 则仅有 2 本数 学书相邻且这 2 本数学书不放在两端的放法的种数为 (用数字回答)

15.若 (ax ? 1)5 ? ( x ? 2) 4 ? a0 ( x ? 2)9 ? a1 ( x ? 2)8 ? ??? ? a8 ( x ? 2) ? a9 , 且 a0 ? a1 ? a2 ? ??? ? a8 ? a9 ? 1024 ,则 a0 ? a2 ? a4 ? ??? ? a8 ?
?

.

16.已知 SA、SB、SC 两两所成的角为 60 ,则平面 SAB 与平面 SAC 所成二面角的余弦值 为 。

三、解答题
?1 x?2 17.(10 分)解下列方程: C xx?5 ? C xx? 3 ? Cx ?3 ?

3 3 Ax ?3 4

18. (12 分)已知一个袋内有 4 只不同的红球,6 只不同的白球。 (1)从中任取 4 只球,红球的只数不比白球少的取法有多少种? (2)若取一只红球记 2 分,取一只红球记 2 分,取一只白球记 1 分,从中任取 5 只球, 使总分不小于 7 分的取法有多少种? (3)在(2)条件下,当总分为 8 时,将抽出的球排成一排,仅有两个红球相邻的排法 种数是多少?

19. (12 分)已知 ( x 2 ? 3 x 2 ) n 展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大 992 . (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.
3

20. (12 分)如图, ?P?AB 是边长为 3 ? 1 的等边三角形, P?C ? P?D ?

3 ? 1 现将

?P?CD 沿边 CD 折起至 PCD 得四棱锥 P-ABCD, 且 PC ? BC (1)证明:BD ? 平面 PAC;
(2)求四棱锥 P-ABCD 的体积. D P/ C D A B C B P

A

21. (12 分)在如图所示的空间几何体中,平面 ACD ? 平面 ABC, ?ACD与?ACB 是边长 为 2 的等边三角形,BE=2,BE 和平面 ABC 所成的角为 60°,且点 E 在平面 ABC 上的射影落 在 ?ABC 的平分线上. (1)求证:DE//平面 ABC; (2)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值.

22. (12 分)设函数 f ? x ? ? a ln x ? 的切线斜率为 0.

1? a 2 x ? bx ? a ? 1? ,曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1,f ?1? ? 处 2

(1)求 b; (2)若存在 x0 ? 1, 使得 f ( x0 ) ?

a ,求 a 的取值范围。 a ?1

参考答案
一.选择题:BCCAD CBBAD CB 二.填空题
3 5 1 4 13. C20 ? 1 =1139; 14. A5 C4C5 ? 2400 ; 15.

210 ? 105 1 ; 16. 。 2 3

三.解答题 17.解:

( x ? 5)( x ? 4) ( x ? 4) x 3 ? ? 得 x ? 14 5! 5! 4

4 3 1 2 2 18.解: (1) C4 ? C4 C6 ? C4 C6 ? 1 ? 24 ? 90 ? 115 种

(2)总分不小于 7 分的取法必需红球至少有 2 个红球,所以方法数为
5 5 1 C10 ? C6 ? C64C4 ? 252 ? 6 ? 60 ? 186 种 3 2 2 2 (3) (C4 C6 ) ? ( A32 A2 A3 ) ? 60 ? 72 ? 4320 种。

19.解 由题意,

(1 ? 3 ?1) n ? 2n ? 992,? n ? 5, Tr ?1 ? C5r ( x 3 )5? r (3 x 2 ) r ? 3r C5r x
18 2 2 6

2

10 ? 4 r 3


22 22 3 3

(1)展开式中二项式系数最大的项是 T3 ? 3 C5 x 3 ? 90 x , T4 ? 3 C5 x 3 ? 270 x 3 ; (2) 由?
26 26 ?3k C5k ? 3k ?1 C5k ?1 , 4 4 3 3 解得 为所求的系 3.5 ? k ? 4.5, ? k ? 4, ? T ? 3 C x ? 405 x 5 5 k k k ?1 k ?1 3 C ? 3 C . 5 5 ?

数最大的项。 20. (1)证明:连接 AC 交 BD 于点 O

在 ?ABC 中,BC= 3 ? 1 ? ( 3 ? 1) ? 2 , 则 AC 2 ? ( 3 ? 1) 2 ? 22 ? 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) ? cos 600 =6 即 AC = 6 由正弦定理得

2 6 2 ,即 sin ?CAB = ,从而 sin ?CAB = 450 ? 0 sin ?CAB sin 60 2
同理可得 ?DBA ? 450 ,所以 ?AOB ? 900 即 BD ? AC,又 PC ? DB,且 PC ? AC=C; 故 BD ? 平面 PAC (2)取 CD 中点 E,连接 OE,PE 因为 PD=PC,所以 CD ? PE,而 AC=BD,AO=BO,则 OC=OD,所以 CD ? OE,所以 CD ? 面 POE,从而 OP ? CD,由(1)知 OP ? BD,而 BD ? CD=D,故 OP ? 面 ABCD 即棱锥 P-ABCD 的高为 OP,在 Rt ?POC 中,OP=

( 3 ? 1) 2 ? ( 6 ?

6? 2 2 ) 2

=

6? 2 , S梯 = 2

3 ?1 ? 3 ?1 =3 ? (2 ? sin 600) 2

21.解析: (1)证明:由题意知, ?ABC , ?ACD 都是边长为 2 的等边三角形,取 AC 中 点O, 连接 BO, DO 则 BO ? AC , DO ? AC , 又 ∵ 平 面 ACD ⊥ 平 面 ABC , ∴ DO ⊥ 平 面 ABC ,作 EF ⊥平面 ABC , 那么 EF / / DO ,根据题意,点 F 落在 BO 上, ∴ ?EBF ? 60? ,易求得 EF ? DO ? 3 , ∴四边形 DEFO 是平行四边形,∴ DE / / OF , ∴ DE / / 平面 ABC 6分 (2)建立如图所示的空间直角坐标系

O ? xyz ,
可知平面 ABC 的一个法向量为 n1 ? (0, 0,1) ,

??

B(0, 3,0) ,C ( ?1,0,0) ,E (0, 3 ? 1, 3) ,
设平面 BCE 的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z ) ,

?? ?

?? ? ??? ? ?? ? ?n2 ? BC ? 0 ? 则,? ?? 可求得 n2 ? (?3, 3,1) . 所 ? ??? ? ? ?n2 ? BE ? 0 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 13 ?? ? ? 以 cos ? n1 , n2 ?? ?? , | n1 | ? | n2 | 13

又由图知,所求二面角的平面角是锐角,所以二面角 E ? BC ? A 的余弦值为

13 . 13

a ? (1 ? a) x ? b ,由题设知 f ?(1) ? 0 ,解得 b ? 1. x 1? a 2 (Ⅱ) f (x)的定义域为(0,? ? +∞),由(Ⅰ)知, f ( x) ? a ln x ? x ?x, 2
22.解: (I) f ?( x) ?

f ?( x) ?
(i)若 a ? 增.

a 1? a ? a ? ? (1 ? a ) x ? 1 ? ?x? ? ? x ? 1? x x ? 1? a ?
1 a ,则 ? 1 ,故当x? (1,? ? +∞)时, f '(x) >? 0 ,f (x)在(1,? ? +∞)上单调递 2 1? a a a 1? a a 的充要条件为 f (1) ? ,即 得 ?1 ? a ?1 a ?1 2 a ?1

所以,存在 x0 =1, 使得 f ( x0 ) ?

? 2 ? 1 ? a ? 2 ? 1.
1 a a a 则 故当x∈(1, )时, f '(x) <? 0 ,x? ( ? a ? 1, ? 1, , ?? )时, f ?( x) ? 0 2 1? a 1? a 1? a a a ∴f (x)在(1, )上单调递减,f (x)在 , ?? 单调递增. 1? a 1? a a a a 所以,存在 x0 ? 1, 使得 f ( x0 ) ? 的充要条件为 f ( ,而 )? a ?1 1? a a ?1
(ii)若

a a a2 a a f( ) ? a ln ? ? ? 1? a 1 ? a 2 ?1 ? a ? 1 ? a 1 ? a

a a a2 a a f( ) ? a ln ? ? ? ,所以不合题意. 1? a 1 ? a 2(1 ? a ) a ? 1 a ? 1
(ⅲ) 若 a ? 1 ,则 f (1) ?

综上,a 的取值范围为: ? 2 ? 1, 2 ? 1 ? ?1, ?? ?

?

1? a ?1 ? a a 。 ?1 ? ? 2 2 a ?1

?


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