【全程复习方略】高中数学 1.4.4单位圆的对称性与诱导公式课件 北师大版必修4

4.4 单位圆的对称性与诱导公式 问题 1.正、余弦函数的诱导公式是什么? 引航 2.如何利用诱导公式求值和化简? 正弦函数和余弦函数的诱导公式 sinα -sinα -sinα cosα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα cosα -sinα cosα sinα 1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)终边相同的角的同一个三角函数值相等.( ) (2)若角α 与角β 的终边关于y轴对称,必有β =π -α 成 立.( ) (3)已知A,B,C是三角形ABC的三个内角,则cos(A+B)= -cos C.( ) 【解析】(1)正确.结合三角函数线可知,终边相同,三角函数 值相等. (2)错误.当角α与β终边关于y轴对称时,那么角β与π-α终 边相同,故应有β=2kπ+π-α(k∈Z),所以结论错误. (3)正确.在△ABC中,A+B+C=π,所以cos(A+B)=cos(π-C)= -cos C,结论正确. 答案:(1)√ (2)× (3)√ 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)sin 660°的值是_______. (2) cos(-16? ) 的值是_______. 3 (3)在△ABC中,cos A ? C =________. 2 【解析】(1)sin 660°=sin(720°-60°)=sin(-60°) =-sin 60°= - 3 . 3 答案: - 2 2 (2) cos(-16? ) ? cos(- ? -5?) ? -cos(- ? ) ? -cos ? ? - 1 . 3 3 3 3 2 1 答案: - 2 (3)在△ABC中,因为 A ? C ? ? ? B , 2 2 2 所以 cos A ? C ? cos( ? ? B ) ? sin B . 2 2 2 2 答案:sin B 2 【要点探究】 知识点 正、余弦函数的诱导公式 1.对诱导公式的三点说明 (1)在角度制和弧度制下,公式都成立; (2)公式中的角α 可以是任意角; (3)诱导公式的基本思路是将求任意角的三角函数值转化为0° 到90°上的三角函数值求解,体现了化归思想. 2.对诱导公式的记忆 【知识拓展】诱导公式的实质 诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函 数之间的关系.换句话说,诱导公式的实质是将终边对称的图 形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系. 【微思考】 (1)利用诱导公式将角转化后,函数值的大小改变吗?函数名 称改变吗? 提示:利用诱导公式将角转化后,函数值的大小不改变,但函 数名称根据所用的诱导公式的不同可能发生变化. (2)诱导公式中的角α 都是锐角吗? 提示:不一定,可以是锐角也可以是任意角. 【即时练】 在单位圆中,角α 的终边与单位圆交于点 P( 8 , 15 ),则sin(π 17 17 -α )=________. 【解析】因为角α的终边与单位圆交于点 P( 8 , 15 ),所以sin α 15 = 15 . 又因为sin(π-α)=sin α,所以sin(π-α)= . 17 17 15 答案: 17 17 17 【题型示范】 类型一 给角求值 【典例1】 (1) sin(- 4? ) =__________. 3 (2)求sin(-1 200°)·cos 1 290°+cos(-1 020°)· sin(-1 050°)的值. 【解题探究】1.题(1)中利用哪个诱导公式把负角转化为正 角? 2.题(2)中对角一般应先如何处理? 【探究提示】1.利用公式sin(-α)=-sin α转化. 2.利用公式先把负角转化为正角,再把角转化到0°~360°内 求解. 【自主解答】(1) sin(- 3 3 2 4? ? ) ? sin(- -?) 3 3 = -sin( ? ? ?) ? sin ? ? 3 . 答案: 3 2 (2)原式=-sin 1 200°·cos 1 290°-cos 1 020°· sin 1 050° =-sin(3×360°+120°)·cos(3×360°+210°)cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°)=-sin 120° ·cos 210°-cos 300°·sin 330°=-sin(180°60°)·cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°30°)=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30° 3 3 1 1 ? ? ? ? ? 1. 2 2 2 2 【方法技巧】求任意角的正弦、余弦函数值的一般步骤 【变式训练】 sin 5? ? cos 2? =________. 6 3 【解析】原式= sin(?- ? ) ? cos(?- ? ) ? sin ? -cos ? ? 1 - 1 ? 0. 6 3 6 3 2 2 答案:0 【误区警示】利用cos(π-α)=-cos α时,容易把“-”漏 掉. 【补偿训练】cos(-1 440°)+sin 390°=________. 【解析】原式=cos 1 440°+sin 390° =cos(4×360°+0°)+sin(360°+30°)=cos 0°+ sin 30°= 1 ? 1 ? 3 . 3 答案: 2 2 2 类型二 给值求值 【典例2】 (1)(2014·无锡高一检测)若cos(5π +α )= 1,则 sin( ? ? ?) 3 2 =___________. (2)已知 sin ? ? 1 , cos(α +β )=-1,则sin(α +2β )的值为 5 __________. (3)已知sin(α -75°)= ? 1 , 求sin(105°+α )的值. 3 【解题探究】1.题(1)中 sin( ? ?) 与cos

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