高一数学下册过关检测试题14.doc

第二章 函数
训练 9 函数与映射 基础巩固 站起来,拿得到! 1.下列各图中,可表示函数 y=f(x)的图象的只可能是( )

答案:D

解析:由函数的定义可知.

2.若 f(x)= x ?1 ,则方程 f(4x)=x 的根是( ) x

1

1

A.

B.-

C.2

D.-2

2

2

答案:A

解析:由 f(4x)=x,得 4x ?1 =x ?4x2-4x+1=0 ?x= 1 .

4x

2

3.下列各组中的函数图象相同的是( )

A.f(x)=1,g(x)=x0

x
B.f(x)=1,g(x)=
x

(x ? 3)2
C.f(x)=

,g(x)=(x+3)(x+3)0

x?3

?x, x ? 0 D.f(x)=|x|,g(x)= ??? x, x ? 0

答案:C 解析:考查定义域与对应法则. 4.设 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示集合 M 到集合 N 的函数 关系的有( )

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

答案:C

解析:由图象及函数的定义域与值域可知②③正确.

5.如果映射 f:A→B 的象的集合是 Y,原象的集合是 X,那么 X 与 A 的关系是_______________;Y

与 B 的关系是__________________.

答案:X=A Y ? B

解析:由函数定义易知.

?x ? 2, x ? ?1, 6.设函数 f(x)= ??x2. ?1 ? x ? 2, 若 f(x)=3,则 x=_______________.
??2x, x ? 2,

答案: 3

解析:分别讨论

? ? ?

x x

? ?

?1, 2?

3或????x 21

? ?

x 3

?

2,或???2x

? 2, x ? 3.

7.在下列各个条件下求 f(x):

(1)f(2x+1)=x2-3x+1;

1x

(2)f(

x

)=
1?

x2

;

(3)f(x+

1 x

)=x2+

1 x2

.

解:(1)设 2x+1=t,则 x= t ?1 . 2

∴f(t)=f(2x+1)=x2-3x+1=( t ?1 )2-3· t ?1 +1= t 2 -2t+ 11 .

2

244

∴f(x)= x2 -2x+ 11 .

4

4

(2)设 t= 1 ≠0,则 x= 1 .

x

t

1

∴f(t)= t 1? (1)2

?

t. t2 ?1

t

∴f(x)= x (x∈R 且 x≠0,x≠±1). x2 ?1

(3)∵f(x+ 1 )=x2+ 1 =(x+ 1 )2-2,

x

x2

x

∴f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2)∪[2,+∞].

能力提升 踮起脚,抓得住!

8.下面三个对应(Z 为整数集);(1)Z 中的元素 x 与 2x 对应;(2)Z 中的元素 x 与 x 对应;(3)Z 中

的元素 x 与 x2-1 对应,其中 Z 到 Z 的映射有( )

A.0 个 答案:C

B.1 个

C.2 个

D.3 个

解析:根据 A 中元素任意性,B 中元素唯一性知(1)(3)对.

9.确定函数 y=x2+1 的对应关系是( )

A.f:R→R C.f:R→(0,+∞)

B.f:(0,+∞)→(0,+∞) D.f:R→[1,+∞)

答案:D 解析:函数 y=x2+1 的定义域是 R,对任意的 x∈R,有 y=x2+1≥1,即 y∈[1,+∞).

10.设 A 到 B 的映射 f1:x→2x+1,B 到 C 的映射 f2:y→y2-1,则 A 到 C 的映射 f3 是____________. 答案:z→4z2+4z

解析:x→2x+1,(2x+1)2-1=4x2+4x,即 z→4z2+4z.

11.下列对应: (1)A=R+,B=R,对应法则是“求平方根”. (2)A={x|-3≤x≤3},B={y|0≤y≤1},对应法则是“平方除以 9”. (3)A={x|x∈N*},B={-1,1},对应法则 f:x→y=(-1)x(x∈A,y∈B).

(4)A={平面α 内的圆},B={平面α 内的矩形},对应法则是“作圆内接矩形”. (5)A=R,B=R+,f:x→y=x2-1.

其中,是 A 到 B 的映射有_________________.(将是映射的序号全部填上) 答案:(2)(3)

解析:映射是一类特殊的对应,可一对一或多对一的对应,但不能是一对多的对应.

12.已知函数 f(x)= x (a、b 为常数,a≠0)满足 f(2)=1,f(x)=x 有唯一解,求函数 f(x)的解析式 ax ? b
和 f[f(-3)]的值.

解:∵f(2)=1,∴1= 2 ,即 2a+b=2.



2a ? b

又∵f(x)=x 有唯一解,即 x =x 有唯一解,∴x· (1? ax ? b) =0.

ax ? b

ax ? b

解之,得 x1=0,x2= 1? b , a













,



x1=x2=0,



b=1.



由①②得 a= 1 ,b=1. 2

∴f(x)= x ? 2x . 1 x ?1 x ? 2 2

故 f[f(-3)]=f( ? 6 )=f(6)= 3 .

?1

2

13.已知函数 f(x)、g(x)同时满足条件:对一切实数 x、y 都有 g(x-y)=g(x)·g(y)+f(x)·f(y);f(-1)

=-1,f(0)=0,f(1)=1.试求 g(0),g(1),g(2)的值.

解:由 g(x-y)=g(x)·g(y)+f(x)·f(y)知,

g(x)=g(x-0)=g(x)·g(0)+f(x)·f(0),又 f(0)=0,

故 g(x)=g(x)·g(0) ?g(0)=1〔g(x)不恒为零,否则 g(0)=g(1-1)=g2(1)+f2(1)=0 ?f(1)=0

与 f(1)=1 矛盾〕.

又 g(-x)=g(0-x)=g(0)·g(x)+f(0)·f(x)=g(x) ?g(-1)=g(1), 又 g(0)=g(1-1)=g2(1)+f2(1)=1 ?g(1)=0〔f(1)=1〕,则 g(-1)=g(1)=0.

g(2)=g[1-(-1)]=g(1)·g(-1)+f(1)·f(-1)=-1.

拓展应用 跳一跳,够得着!

14.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(a+b)=f(a)·f(b)(a、b∈R)且 f(x)>0,若 f(1)= 1 ,则 f(-2) 2
等于( )

1

1

A.2

B.4

C.

D.

2

4

答案:B

解析:由 f(a+b)=f(a)·f(b),知 f(0+0)=f2(0) ?f(0)=1(f(x)>0),

又 f(2)=f(1+1)=f2(1)= 1 , 4

f(2-2)=f(2)·f(-2)=f(0)=1 ?f(-2)= 1 =4. f (2)

15.设 A={a,b,c},B={-1,0,1},映射 f:A→B 满足 f(a)=f(b)+f(c),则映射 f:A→B 的个数有_______ 个. 答案:7 解析:(1)当 A 中元素都对应 0 时,满足 f(a)=f(b)+f(c),有一种映射. (2)当 A 中元素对应 B 中的两个元素时,满足 f(a)=f(b)+f(c),有四种映射:1=1+0,1=0+1, -0+(-1). (3) 当 A 中 元 素 对 应 B 中 三 个 元 素 时 , 满 足 f(a)=f(b)+f(c), 有 两 种 映 射:0=1+(-1),0=(-1)+1. ∴满足条件的映射共有 7 个. 16.如图所示,等腰梯形的两底分别为 AD=2a,BC=a,∠BAD=45°,直线 MN⊥AD,交 AD 于 M, 交折线 ABCD 于 N,设 AM=x,试将梯形 ABCD 位于直线 MN 左侧的面积 y 表示成 x 的函数, 并求此函数的定义域.

解:过 B、C 分别作边 AD 的垂线,垂足分别为 H 和 G,则 AH= a ,AG= 3 a,当 M 位于 H 左侧 22

时,AM=x,MN=x.故 y=S△AMN= 1 x2(0≤x< a );

2

2

当 M 位于 H、G 之间时,y=S = 梯形 ABNM 1 (AM+BN)·MN= 1 (x+x- a )·a = 1 ax- 1 a2( a ≤x< 3a );

2

2

2 22 8 2 2

当 M 位于 G、D 之间时,y=S -S = 梯形 ABCD △DMN a ? 2a · a ·- 1 (2a-x)2=- 1 x2+2ax- 5 a2( 3a ≤x

2 22

2

42

≤2a).

?1

? ?

2

x2

,0

?

x

?

a 2

,



y=

?1

? ?

2

ax

?

1 8

a2

,

a 2

?

x

?

3a 2

,

????

1 2

x2

?

2ax

?

5 4

a2,

3a 2

?

x

?

2a.

其定义域为[0,2a],值域为[0, 3 a2]. 4


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