2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(12)(附答案)

加试模拟训练题(12) 1、已知 ?ABC 的边 AB 上有两个点 P, Q ,证明 ?APC 与 ?BQC 的内切圆半径相等的 充分必要条件是 ?AQC 与 ?BPC 的内切圆半径相等。 2、(1)设 x1, x2 ,? ? ?, xn , y1, y2 ,? ? ?, yn ? (0, ? ?) ,满足: (a) 0 ? x1 y1 ? x2 y2 ? ? ? ? ? xn yn ; (b) x1 ? x2 ? ? ? ? ? xk ? y1 ? y2 ? ? ? ? ? yk , k ?{1, 2,? ? ?n} , 证明: 1 ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? 1 . x1 x2 xn y1 y2 yn 3.两个同样大小的正方形相交错,其公共部分构成一个八边形,一个正方形的边是蓝 色的,另一个正方形的边是红色的,证明:八边形中蓝色的边长之和等于它的红色边长之和. 4.我们知道 23 ?1 ? 9 有 1 个质因子,且 32 | 23 ? 1; 232 ? 1 ? 513 ? 33 ?19 有 2 个 质因子,且 33 | 232 ? 1 ………………如此下去,我们可以猜想:k ? N *, 23k ? 1 至少 有 k 个质因子,且 3k?1 | 23k ? 1 。试证明之。 加试模拟训练题(12) 1、已知 ?ABC 的边 AB 上有两个点 P, Q ,证明 ?APC 与 ?BQC 的内切圆半径相等的 充分必要条件是 ?AQC 与 ?BPC 的内切圆半径相等。 证 明 先 证 明 一 个 引 理: 设 ?ABC 的 边 BC 上 的 高 为 h , 内 切 圆 半 径 为 r, 则 h ? 2r ? tan ?B tan ?C 。 h 22 设 ?ABC 的内心为 I ,作 BC 的平行线 DE 与圆 I 相切,且分别与 AB, AC 交于点 D, E ,则 h ? 2r h ? DE BC ? r cot ?BDE 2 r cot ?B ? r cot ?CED 2 ? r cot ?C ? tan ?B 2 cot ?B ? tan ?C 2 ? cot ?C ? tan ?B 2 tan ?C 2 。 2 2 2 2 设 ?APC, ?BQC, ?AQC, ?BPC 的 内 切 圆 半 径 分 别 为 r1, r2 , r3, r4 , 则 r1 ? r2 ? h ? 2r1 h ? h ? 2r2 h ? tan ?A tan 2 ?APC 2 ? tan ?B 2 tan ?BQC 2 ? tan ?A tan 2 ?AQC 2 ? tan ?B 2 tan ?BPC 2 ? h ? 2r3 h ? h ? 2r4 h ? r3 ? r4 。 2、(1)设 x1, x2 ,? ? ?, xn , y1, y2 ,? ? ?, yn ? (0, ? ?) ,满足: (a) 0 ? x1 y1 ? x2 y2 ? ? ? ? ? xn yn ; (b) x1 ? x2 ? ? ? ? ? xk ? y1 ? y2 ? ? ? ? ? yk , k ?{1, 2,? ? ?n} , 证明: 1 ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? 1 . x1 x2 xn y1 y2 yn 证明 (1)当 n ? 1时, x1 ? y1 ? 0, 1 x1 ? 1 y1 ; 当 n ? 2 时, x1 ? x2 ? y1 ? y2 , x1 ? y1 ? y2 ? x2 ,则 1 ? 1 ? x1 ? y1 ? y2 ? x2 ? 1 ? 1 , y1 x1 x1 y1 x2 y2 x2 y2 假设 n ? k 时命题成立. 所以 1 ? 1 ? 1 ? 1 . x1 x2 y1 y2 那么,当 n ? k ? 1时,设 yi ? xi ? ai (i ? 1,2,? ? ?k ? 1) ,由条件 a1 ? 0 , a1 ? a2 ? 0,? ? ?, a1 ? a2 ? ? ? ? ? ak ? 0 , a1 ? a2 ? ? ? ? ? ak?1 ? 0 ,有 a1 ? a2 ? ? ? ? ? ak ? 0. x1 y1 x2 y2 xk yk 下面用反证法证明以上结论. 假设 a1 ? a2 ? ? ? ? ? ak ? 0 , x1 y1 x2 y2 xk yk 则有 0 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? ak ? ak?1 x1 y1 x2 y2 xk yk xk ?1 yk ?1 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? ak ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? ak x1 y1 x2 y2 xk yk xk ?1 yk ?1 ? (a1 ? a2 ? ??? ? ak ) 1 ( xk yk ? 1 xk ?1 yk ?1 ) + (a1 ? a2 ? ? ? ? ? ak?1 ) 1 ( xk ?1 yk ?1 ? 1 ) xk yk + (a1 ? a2 ? ??? ? ak?2 ) (1 xk?2 yk?2 ? 1) xk ?1 yk ?1 ? ? ? ? ? (a1 ? a2 )( 1 x2 y 2 ? 1) x3 y3 1 ? a1 ( x1 y1 ? 1 )? x2 y2 0, 矛盾. 所以,当 n ? k ? 1时,原不等式成立. 3.两个同样大小的正方形相交错,其公共部分构成一个八边形,一个 正方形的边是蓝色的,另一个正方形的边是红色的,证明:八边形中 蓝色的边长之和等于它的红色边长之和. Key1:(1)两个正方形中心重合时

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