4-1-2 圆的一般方程_图文

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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第四章

圆的方程

第四章 圆的方程

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第四章
4.1 圆的方程
第四章 圆的方程

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第四章
4.1.2 圆的一般方程
第四章 圆的方程

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课前自主预习 思路方法技巧 名师辨误做答

课堂基础巩固 课后强化作业

第四章 4.1 4.1.2

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课前自主预习
第四章 4.1 4.1.2

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温故知新 1.圆的标准方程为__(_x_-__a_)2_+__(_y_-_b_)_2_=__r2_(_r_>_0_) __. 2.用待定系数法求圆的标准方程步骤如下: (1)由题意设出标准方程;(2)列出关于a、b、r的方程(或 方程组);(3)解出a、b、r代入标准方程.
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3.由几何意义求圆的标准方程步骤如下:

(1)由题意确定圆心和半径长;(2)写出标准方程. 4.平面几何中的结论:不共线的_三__点__确定一个圆.

5.圆(x-1)2+(y+ 3)2=2的圆心坐标与半径是( )

A.(1, 3),2

B.(-1, 3), 2

C.(1,- 3), 2

D.(-1,- 3),2

[答案] C

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6.求满足下列条件的各圆的方程. (1)圆心在原点,半径是3; (2)圆心在点(3,4),半径是5; (3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3).
第四章 4.1 4.1.2

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[解析] x2+y2=9. (2)(x-32)+(y-4)2=25. (3)因为圆的半径 r=|CP|= ?5-8?2+?1+3?2=5, 圆心在点(8,-3),所以圆的方程是(x-8)2+(y+3)2=25.
第四章 4.1 4.1.2

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新课引入
我们的祖先很早就发明了建桥技术,现存最早的拱桥是 由著名工匠李春设计建造于1 400年前,横跨在我国河北赵县 的河上的赵州桥.赵州桥又名安济桥,全长50多米,拱圆净 跨37多米,是一座单孔坦拱式桥梁,你能根据拱圆求出拱圆 所在的圆的方程吗?
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自主预习 阅读教材P121~123,回答下列问题. 1.圆的一般方程 (1)方程:当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0_叫 _12_做 __D圆 _2_+的 __E一 _2_-般 __4方 _F_程 __, _. 其中圆心为___C_(_-__D2_,__-__E2_)_,半径为r= (2)说明:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不一定表示圆.当且 仅当_D__2+__E_2_-__4_F_>_0_时,表示圆:当D2+E2-4F=0时,表示 一个点_(_-__D2_,__-__E2_)_;当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形.
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(3)用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤: ①根据题意,选择___标__准__方__程__或__一__般__方__程_____; ②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的_方__程__组___; ③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.
第四章 4.1 4.1.2

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[破疑点]若一个二元方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆,应满足的条件是:①A=C≠0;②B=0;③D2+E2- 4F>0.
[拓展]1.圆的标准方程和一般方程的对比 (1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,可以直接看出圆 心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显.
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(2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2- 4F>0),知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数 特征明显.
(3)相互转化,如图所示.
第四章 4.1 4.1.2

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2.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 剖析:已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0(D2+E2-4F>0),则其位置关系如下表:
第四章 4.1 4.1.2

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位置关系

代数关系

点M在圆外

x02+y20+Dx0+Ey0+ F>0

点M在圆上 x02+y20+Dx0+Ey0+F= 0

点M在圆内

x02+y20+Dx0+Ey0+ F<0

第四章 4.1 4.1.2

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圆x2+y2-4x-1=0的圆心坐标及半径分别为( )

A.(2,0),5

B.(2,0), 5

C.(0,2), 5

D.(2,2),5

[答案] B

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[解析] (x-2)2+y2=5,圆心坐标为(2,0),半径为 5.
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2.轨迹方程 点M的坐标(x,y)满足的关__系__式__称为点M的轨迹方程. [拓展]当动点M的变化是由点P的变化引起的,并且点P在 某一曲线C上运动时,常用中间量法(又称为相关点法)来求动 点M的轨迹方程,其步骤是:(1)设动点M(x,y);(2)用点M的 坐标来表示点P的坐标;(3)将所得点P的坐标代入曲线C的方 程,即得动点M的轨迹方程.
第四章 4.1 4.1.2

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点P(x0,y0)是圆x2+y2=4上的动点,点M是OP(O是原点) 的中点,则动点M的轨迹方程是________.
[答案] x2+y2=1
第四章 4.1 4.1.2

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[解析]

设M(x,y),则x=

x0 2

,y=

y0 2

,∴x0=2x,y0=2y,

即P(2x,2y).又P是圆x2+y2=4上的动点,则(2x)2+(2y)2=4,

即动点M的轨迹方程为x2+y2=1.

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思路方法技巧
第四章 4.1 4.1.2

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命题方向 判定二元二次方程是否表示圆 [例1] 下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心 和半径. (1)2x2+y2-7y+5=0; (2)x2-xy+y2+6x+7y=0; (3)x2+y2-2x-4y+10=0; (4)2x2+2y2-5x=0. [分析] 根据圆的一般方程的特征进行判断.
第四章 4.1 4.1.2

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[解析] (1)∵方程2x2+y2-7x+5=0中x2与y2的系数不相

同,∴它不能表示圆.

(2)∵方程x2-xy+y2+6x+7y=0中含有xy这样的项,∴它

不能表示圆.

(3)∵方程x2+y2-2x-4y+10=0化为(x-1)2+(y-2)2=

-5,∴它不能表示圆.

(4)∵方程2x2+2y2-5x=0化为(x-

5 4

)2+y2=(

5 4

)2,∴它表

示以(54,0)为圆心,54为半径的圆.

第四章 4.1 4.1.2

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规律总结:(1)判断一个二元二次方程是否表示圆的步 骤是:先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征,即①x2与 y2的系数相等;②不含xy项;当它具有圆的一般方程的特征 时,再看它能否表示圆,此时有两种途径,一是看D2+E2- 4F是否大于零,二是直接配方变形,看右端是否为大于零的 常数即可.
(2)圆的标准方程指出了圆心坐标与半径的大小,几何特 征明显;圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次 方程,代数特征明显.
第四章 4.1 4.1.2

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下列方程各表示什么图形: (1)x2+y2-4x-2y+5=0; (2)x2+y2-2x+4y-4=0; (3)x2+y2+ax- 3ay=0.
第四章 4.1 4.1.2

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[解析] (1)对方程x2+y2-4x-2y+5=0配方,得(x-2)2 +(y-1)2=0,则x=2,y=1,所以方程表示点(2,1);
(2)对方程x2+y2-2x+4y-4=0配方,得(x-1)2+(y+2)2 =9,
所以方程表示以(1,-2)为圆心,3为半径的圆;
第四章 4.1 4.1.2

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(3)对方程x2+y2+ax-

3

ay=0配方,得(x+

a 2

)2+(y-

3 2

a)2=a2.

当a=0时,该方程表示的图形为一个点(0,0).

当a≠0时,该方程表示的图形为圆,圆心为(-a2, 23a),

半径长为|a|.

第四章 4.1 4.1.2

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[点评] 对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程, 可以通过配方变形为“标准”形式,然后观察等号右边是否 大于零,若大于零,则表示圆;若不大于零,则不表示圆; 也可以由圆的一般方程的定义判断D2+E2-4F是否大于0,确 定它是否表示圆.
第四章 4.1 4.1.2

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命题方向 用待定系数法求圆的方程 [例2] (1)已知圆经过A(2,-3)和B(-2,-5),若圆心 在直线x-2y-3=0上,求圆的方程. (2)求过点A(-1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程. [分析] 由题设三个条件,可利用待定系数法求方程, 也可利用弦的中垂线过圆心,先确定圆心,再求圆的半径.
第四章 4.1 4.1.2

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[解析] (1)解法1:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F= 0,则

??4+?-3?2+2D+?-3?E+F=0, ???-2?2+?-5?2+?-2?D+?-5?E+F=0, ???-D2 -2·???-E2???-3=0.

∴??? DE==42,, ??F=-5.

∴圆的方程为x2+y2+2x+4y-5=0.

第四章 4.1 4.1.2

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解法2:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则

??? ??2--2a-?2a+?2?+-?3--5b-?2b=?2r=2,r2, ??a-2b-3=0.

?? a=-1, ??b=-2,
??r2=10.

∴圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.

第四章 4.1 4.1.2

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解法3:线段AB中垂线的方程为2x+y+4=0,它与直线x -2y-3=0的交点(-1,-2)为圆心,由两点间距离得r2= 10,
∴圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
第四章 4.1 4.1.2

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(2)解法1:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(*) 把A、B、C三点坐标代入方程(*)得

?? 1-D+F=0, ?9+3D+F=0, ??1+E+F=0,

?? D=-2, ∴?E=2,
??F=-3.

故所求圆的方程为x2+y2-2x+2y-3=0

第四章 4.1 4.1.2

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解法2:线段AB的中垂线方程为x=1,线段AC的中垂线 方程为x+y=0
由?????xx=+1y=0 得圆心坐标为M(1,-1), 半径r=|MA|= 5, ∴圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
第四章 4.1 4.1.2

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总结评述:1.第(1)题中,容易发现,利用圆的性质的解 法3比用待定系数法的解法1和解法2计算量小,充分利用圆的 性质可简化解题过程.
2.用待定系数法求圆的方程时,①如果由已知条件容易 求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问 题,一般采用圆的标准方程,求出a、b、r即可.②如果给出 圆上三个点坐标或已知条件与圆心或半径都无直接关系,一 般采用一般方程,求出D、E、F即可.
第四章 4.1 4.1.2

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已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5), 求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.
第四章 4.1 4.1.2

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[解析] 解法一:设△ABC的外接圆方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, ∵A,B,C在圆上,

∴??? 14+ +196-+2DD+ +43EE+ +FF= =00, , ??16+25+4D-5E+F=0,

∴??? DE==2-,2, ??F=-23,

第四章 4.1 4.1.2

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∴△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x+2y-23=0, 即(x-1)2+(y+1)2=25. ∴外心坐标为(1,-1),外接圆半径为5. 解法二:∵kAB=41- +32=13,kAC=41+ -54=-3, ∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形. ∴外心是线段BC的中点, 坐标为(1,-1),r=12|BC|=5. ∴外接圆方程为(x-1)2+(y+1)2=25.
第四章 4.1 4.1.2

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命题方向 求轨迹方程 [例3] 等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是 B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什 么. [分析] 先设出点C的坐标(x,y),根据|AB|=|AC|列方 程化简整理,即可得点C的轨迹方程,然后由轨迹方程指明 轨迹.
第四章 4.1 4.1.2

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[解析] 设另一端点C的坐标为(x,y). 依题意,得|AC|=|AB|. 由两点间距离公式,则
?x-4?2+?y-2?2 = ?4-3?2+?2-5?2 ,整理得(x-4)2+ (y-2)2=10.
这是以点A(4,2)为圆心,以 10 为半径的圆,如图所示, 又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共 线.即点B,C不能重合且B,C不能为圆A的一直径的两个端 点.
第四章 4.1 4.1.2

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因为B,C不能重合,所以点C不能为(3,5). 又因为B,C不能为一直径的两个端点, 所以x+2 3≠4,且y+2 5≠2, 即点C不能为(5,-1).
第四章 4.1 4.1.2

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故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(除去点(3,5)和 (5,-1)),它的轨迹是以点A(4,2)为圆心, 10 为半径的圆, 但除去(3,5)和(5,-1)两点.
第四章 4.1 4.1.2

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规律总结:(1)求轨迹方程的基本步骤: ①建立适当的直角坐标系(题目中已经涉及坐标系的不用 建); ②设所求轨迹上点的坐标M(x,y); ③根据题意,列出方程f(x,y)=0; ④化简方程; ⑤检验方程所有的解是否都满足题意,若有不满足的要 删去多余的解,若有遗漏的则应补上失去的解. (2)本题也可先确定出轨迹的形状是圆,再求圆心坐标与 半径,写出圆的标准方程.
第四章 4.1 4.1.2

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自圆x2+y2=4上的点A(2,0)引此圆的弦AB,求弦AB的中 点轨迹方程.
第四章 4.1 4.1.2

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[解析] 设AB的中点P(x,y),B(x1,y1),则有x21+y12=4, 且x=x1+2 2,y=y1+2 0.∴x1=2x-2,y1=2y.
∴(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1. 当A、B重合时,P与A点重合,不合题意, ∴所求轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).
第四章 4.1 4.1.2

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[点评] 如果动点P与Q满足某种关系,P在已知曲线C上 运动,求Q点的轨迹方程,可设Q(x,y)结合所给条件,将P点 坐标(x′,y′)用x、y表示出来.利用P在C上,将P点坐标代 入C的方程,即得x、y满足的关系式.
第四章 4.1 4.1.2

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名师辨误做答
第四章 4.1 4.1.2

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易错点 忽略隐含条件 [例4] 已知圆的方程是x2+y2-2x=0,点P(x,y)在圆上 运动,求2x2+y2的最值. [错解] 由x2+y2-2x=0可知y2=-x2+2x,所以2x2+y2 =2x2-x2+2x=x2+2x=(x+1)2-1≥-1. 所以2x2+y2有最小值-1,没有最大值. [错因分析] 产生错解的原因是在解题过程中忽略了隐含 条件y2=-x2+2x≥0,即0≤x≤2,从而在解题中扩大了x的取 值范围,认为x∈R.
第四章 4.1 4.1.2

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[思路分析] 利用方程的思想,变形消去其中一个未知 数,注意y2≥0,从而导出x的取值范围,然后用它来控制2x2 +y2消去了一个未知数后的代数式的取值范围.
第四章 4.1 4.1.2

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[正解] 由x2+y2-2x=0可知y2=-x2+2x≥0,解得 0≤x≤2,
所以2x2+y2=2x2-x2+2x=x2+2x=(x+1)2-1∈[0,8]. 当x=0,y=0时,2x2+y2有最小值0. 当x=2,y=0时,2x2+y2有最大值8. 故2x2+y2有最小值0,最大值8.
第四章 4.1 4.1.2

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课堂基础巩固
第四章 4.1 4.1.2

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1.圆(x+1)2+(y-2)2=2化为一般方程是( ) A.x2+y2=2 B.x2+y2+3=0 C.x2+y2-2x+4y+3=0 D.x2+y2+2x-4y+3=0 [答案] D
第四章 4.1 4.1.2

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2.圆x2+y2-2x+6y+8=0的周长等于( ) A. 2π B.2π C.2 2π D.4π [答案] C
第四章 4.1 4.1.2

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[解析] 化为标准方程得(x-1)2+(y+3)2=2,所以半径 是 2,则圆的周长等于2 2π.
第四章 4.1 4.1.2

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3.圆的方程为(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,则圆心坐 标为( )
A.(-1,2) B.(1,-1) C.(12,-1) D.(-12,-1) [答案] D
第四章 4.1 4.1.2

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[解析] 原方程可化为x2+x-2+y2+2y-8=0,即x2+y2 +x+2y-10=0,
则圆心坐标为(-12,-1).
第四章 4.1 4.1.2

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4.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值

范围是( )

A.R

B.(-∞,1)

C.(-∞,1] D.[1,+∞)

[答案] B [解析] 16+4-4×5k>0,∴k<1.

第四章 4.1 4.1.2

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5.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆 心,4为半径的圆,则F=________.
[答案] 4
第四章 4.1 4.1.2

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[解析]

由题意知?????--DE22==-2,4,

∴D=-4,E=8.

又∵r2=D2+E42-4F=?-4?2+482-4F=16,

∴F=4.

第四章 4.1 4.1.2

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6.一动点M到A(-4,0)的距离是它到B(2,0)的距离的2倍, 则动点M的轨迹方程是________.
[答案] x2+y2-8x=0
第四章 4.1 4.1.2

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[解析] 设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=2|MB|, 即 ?x+4?2+y2=2 ?x-2?2+y2, 整理得x2+y2-8x=0. ∴所求动点M的轨迹方程为x2+y2-8x=0.
第四章 4.1 4.1.2

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7.求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方 程.
第四章 4.1 4.1.2

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[解析] 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因为点A,B,C在圆上,把它们的坐标依次代入上面的方 程,整理得到关于D,E,F的三元一次方程组

?? 5E+F+25=0, ?D-2E+F+5=0, ??3D+4E-F-25=0,

?? D=6, 解这个方程组,得?E=-2,
??F=-15.

于是得到所求圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0.

第四章 4.1 4.1.2

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8.判断下列方程是否表示圆,若是,化成标准方程. (1)x2+y2+2x+1=0; (2)x2+y2+2ay-1=0; (3)x2+y2+20x+121=0; (4)x2+y2+2ax=0.
第四章 4.1 4.1.2

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[解析] (1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(-

1,0),不表示圆.

(2)原方程可化为x2+(y+a)2=a2+1,它表示圆心为(0,

-a),半径为

a2+1 的圆,标准方程为x2+(y+a)2=

( a2+1)2.

(3)原方程可化为(x+10)2+y2=-21<0,故方程不表示任

何曲线,故不能表示圆.

第四章 4.1 4.1.2

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
(4)原方程可化为(x+a)2+y2=a2. ①当a=0时,方程表示点(-a,0),不表示圆; ②当a≠0时,方程表示以(-a,0)为圆心,半径为|a|的圆, 标准方程为(x+a)2+y2=a2.
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