18-19学年高中数学 第一章 集合与函数 1.2.1 函数的概念新人教A版必修1_图文

第一章 §1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念

学习目标
1.理解函数的概念. 2.了解构成函数的三要素. 3.能正确使用函数、区间符号.

内容索引

问题导学 题型探究 当堂训练

问题导学

知识点一 函数的概念
思考
初中时用运动变化的观点定义函数,用这种观点能否判断只有 一个点(0,1),算不算是函数图象? 答案 因为只有一个点,用运动变化的观点判断就显得牵强, 因此有必要引入用集合和对应来定义的函数概念.
答案

梳理 函数的概念:
设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的 对应关系f,使对于集合 A 中 的任意一个数x,在集合 B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作 y=f(x) ,x∈A.其中,x叫做 自变量 ,x的取值范围A叫做函数的 定义域 ;与x的值相对应的y值叫做 函数值 ,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域,值域是集合B的子集. 特别提醒:对于函数的定义,需注意以下几点: ①集合A,B都是非空数集;②集合A中元素的无剩余性;③集合B中元素 的可剩余性,即集合B不一定是函数的值域,函数的值域一定是B的子集.

知识点二 函数相等
思考
函数f(x)=x2,x∈R与g(t)=t2,t∈R是不是同一个函数? 答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素,按同一对 应关系“平方”对应B中唯一确定的元素,故是同一个函数.
答案

梳理
一般地,函数有三个要素:定义域,对应关系与值域.如果两个函数的 定义域 相同,并且 对应关系 完全一致,我们就称这两个函数相等. 特别提醒:两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的 值域也相同.

知识点三 区间 (1)区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表:

定义

名称

符号

{x|a≤x≤b}

闭区间

[a,b]

{x|a<x<b}

开区间

(a,b)

{x|a≤x<b} 半闭半开区间 [a,b)

{x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b]

数轴表示

{x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}
R

[a,+∞)

(a,+∞)

(-∞,a]

(-∞,a) (-∞,+∞)

取遍数轴上所有的值

(2)注意:①“∞”读作无穷大,是一个符号,不是数,以-∞或 +∞作为区间一端时,这一端必须是小括号. ②区间是数集的另一种表示方法,区间的两个端点必须保证左小、 右大.

题型探究

类型一 函数关系的判断 命题角度1 给出三要素判断是否为函数 例1 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数. (1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|; 解 A中的元素0在B中没有对应元素,故不是集合A到集合B的函数. (2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2; 解 对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系f:x→y=x2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x2与其对应,故是集合A到集合B的函数.
解答

(3)A=Z,B=Z,f:x→y= x; 解 集合A中的负整数没有平方根,在集合B中没有对应的元素,故不是 集合A到集合B的函数. (4)A={x|-1≤x≤1},B={0},f:x→y=0. 解 对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系f:x→y=0在集合B中都 有唯一一个确定的数0和它对应,故是集合A到集合B的函数.
解答

反思与感悟
判断对应关系是否为函数,主要从以下三个方面去判断: (1)A,B必须是非空数集; (2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应; (3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一.

跟踪训练1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是

A.A=R,B={x∈R|x>0},f:x→

1 |x|

B.A=N,B=N*,f:x→|x-1|

C.A={x∈R|x>0},B=R,f:x→x2

D.A=R,B={x∈R|x≥0},f:x→ x

解析 A中x=0时,绝对值还为0,集合B中没有0;B中x=1时,绝对值x -1=0,集合B中没有0;C正确;D不正确.

解析 答案

命题角度2 给出图形判断是否为函数图象 例2 下列图形中不是函数图象的是
解析 A中至少存在一处如x=0,一个横坐标对应两个纵坐标,这相当 于A中至少有一个元素在B中对应的元素不唯一,故A不是函数图象,其 余B、C、D均符合函数定义.
解析 答案

反思与感悟
判断一个图象是函数图象的方法,作任何一条垂直于x轴的线,不与已 知图象有两个或以上的交点的,就是函数图象.

跟踪训练2 若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N= {y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是

解析 A中定义域为[-2,0],不符合题意 ; B中定义域为[-2,2],值域为[0,2],符合题意; C中存在一个x值对应2个y值的情形,不是函数; D中定义域为[-2,2],但值域不是[0,2],不符合题意.

解析 答案

类型二 已知函数的解析式,求其定义域
例3 求下列函数的定义域. (1)y=3-12x; 解 函数 y=3-12x 的定义域为 R.
(2)y=2 x- 1-7x; 解 由?????x1≥-07,x≥0, 得 0≤x≤17, 所以函数 y=2 x- 1-7x的定义域为[0,17].
解答

?x+1?0 (3)y= x+2 ; 解 由于00无意义,故x+1≠0,即x≠-1. 又x+2>0,即x>-2, 所以x>-2且x≠-1.
?x+1?0 所以函数 y= x+2的定义域为{x|x>-2 且 x≠-1}.
解答

(4)y= 2x+3- 21-x+1x. ??2x+3≥0,
解 要使函数有意义,需??2-x>0, ???x≠0,
解得-32≤x<2,且 x≠0, 所以函数 y= 2x+3- 21-x+1x的定义域为{x|-32≤x<2,且 x≠0}.
解答

反思与感悟
求函数定义域的常用依据 (1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零; (2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零; (3)若f(x)是指数幂,则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合; (4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义; (5)若f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义.

跟踪训练3

函数f(x)=

x x-1

的定义域为_{_x_|x_≥__0_且__x_≠__1_}_.

解析 要使x-x1有意义,需满足?????xx≥ -01, ≠0, 解得 x≥0 且 x≠1,

故函数f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠1}.

解析 答案

类型三 函数相等
例4 下列函数中哪个与函数y=x相等? (1)y=( x)2; 解 y=( x)2=x(x≥0),y≥0,定义域不同且值域不同,所以不相等; (2)y=3 x3; 解 y=3 x3=x(x∈R),y∈R,对应关系相同,定义域和值域都相同, 所以相等;
解答

(3)y= x2; 解 y= x2=|x|=?????-x,x,x≥x<0,0, y≥0;值域不同,且当x<0时,它的对应关系与函数y=x不相同, 所以不相等; (4)y=xx2. 解 y=xx2的定义域为{x|x≠0},与函数 y=x 的定义域不相同,所以
不相等.
解答

反思与感悟
在两个函数中,只有当定义域、对应关系都相同时,两函数才相等. 值域相等,只是前两个要素相等的必然结果.

跟踪训练4 下列各组中的两个函数是否为相等的函数?
?x+3??x-5? (1)y1= x+3 ,y2=x-5;
解 两函数定义域不同,所以不相等; (2)y1= x+1 x-1,y2= ?x+1??x-1?. 解 y1= x+1 x-1的定义域为{x|x≥1},而 y2= ?x+1??x-1?的定 义域为{x|x≥1 或 x≤-1},定义域不同,所以两函数不相等.
解答

类型四 对于f(x),f(a)的理解 例5 (1)已知函数f(x)= x+2 ,若f(a)=4,则实数a=_1_4__. 解析 f(a)= a+2=4, ∴a+2=16,a=14.
解析 答案

(2)已知f(x)= 1 (x∈R且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R). 1+x
①求f(2),g(2)的值; 解 因为 f(x)=1+1 x,所以 f(2)=1+1 2=13. 又因为g(x)=x2+2,所以g(2)=22+2=6.
解答

②求f(g(2))的值; 解 f(g(2))=f(6)=1+1 6=17. ③求f(a+1),g(a-1). 解 f(a+1)=1+?1a+1?=a+1 2. g(a-1)=(a-1)2+2=a2-2a+3.
解答

反思与感悟
f(x)中的x可以是一个具体的数,也可以是一个字母或者是一个表达 式,不管是什么,只需把相应的x都换成对应的数或式子即可.

跟踪训练5 已知f(x)=1-x (x≠-1). 1+x
(1)求f(0)及f(f( 1 ))的值; 2
1-0 解 f(0)=1+0=1.
∵f(12)=11-+1212=13, ∴f(f(12))=f(13)=11+-1313=12.
解答

(2)求f(1-x)及f(f(x)). 解 f(1-x)=11- +??11- -xx??=2-x x(x≠2).
1-x f(f(x))=f(11-+xx)=1-11-+xx=x(x≠-1).
1+1+x
解答

当堂训练

1.对于函数y=f(x),以下说法正确的有

①y是x的函数;

②对于不同的x,y的值也不同;

③f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量;

④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来.

A.1个 C.3个

√B.2个
D.4个

12345

答案

2.区间(0,1)等于
A.{0,1}
B.{(0,1)}
√C.{x|0<x<1}
D.{x|0≤x≤1}

12345

答案

3.对于函数f:A→B,若a∈A,则下列说法错误的是 A.f(a)∈B
B.f(a)有且只有一个
√C.若f(a)=f(b),则a=b
D.若a=b,则f(a)=f(b)

12345

答案

4.设 f(x)=xx22-+11,则ff??122??等于

A.1

√B.-1

3 C.5

D.-35

解析

∵f(2)=2222- +11=35,f(12)=??1221??22+ -11=-35,

∴f?12?=-1. f?2?

12345

解析 答案

5.下列各组函数是同一函数的是

①f(x)= -2x3与 g(x)=x -2x;②f(x)=x 与 g(x)= x2;

③f(x)=x0 与 g(x)=x10;④f(x)=x2-2x-1 与 g(t)=t2-2t-1.

A.①②

√ B.①③ C.③④ D.①④

12345

解析 答案

规律与方法
1.函数的本质:两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的 定义域和对应关系一旦确定,值域随之确定,所以判断两个函数是 否相等只需两个函数的定义域和对应关系分别相同即可. 2.定义域是一个集合,所以需要写成集合的形式,在已知函数解析 式又对x没有其他限制时,定义域就是使函数式有意义的x的集合.

3.在y=f(x)中,x是自变量,f代表对应关系,不要因为函数的定义而认为 自变量只能用x表示,其实用什么字母表示自变量都可以,关键是符合定 义,x只是一个较为常用的习惯性符号,也可以用t等表示自变量.关于对 应关系f,它是函数的本质特征,好比是计算机中的某个“程序”,当在 f( )中的括号内输入一个值时,在此“程序”作用下便可输出某个数据, 即函数值.如f(x)=3x+5,f表示“自变量的3倍加上5”,如f(4)=3×4+5 =17.我们也可以将“f”比喻为一个“数值加工器”(如图),当投入x的一 个值后,经过“数值加工器f”的“加工”就得到一个对应值.

本课结束


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