2018秋新版高中数学人教A版选修2-2课件:第二章推理与证明 2.1.2_图文

2.1.2 演绎推理 1.理解演绎推理的意义. 2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系. 1.演绎推理 含义 特点 从一般性的原理出发,推出某个 特殊情况下的结论的推理 由一般到特殊的推理 答案:A 2.三段论 一般模式 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 根据一般原理,对特殊情况做 结论 出的判断 常用格式 M是P S是M S是P 名师点拨三段论推理的依据: 用集合的观点来讲,就是:如果集合M中的所有元素都具有性质 P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P. 三段论的论断基础是这样一个公理“凡肯定(或否定)了某一类对象 的全部,也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体”,简言 之,“全体概括个体”.M,P,S三个概念之间的包含关系表现为:如果概 念P包含了概念M,则必包含了M中的任一概念S(如图①);如果概念 P排斥概念M,那么必排斥M中的任一概念S(如图②). 弄清以上道理,才会使我们在今后的演绎推理中不犯(或少犯)错误. 【做一做】 三段论:①平面内没有任何公共点的直线为平行线; ②直线a?α,b?α且a与b没有公共点;③a∥b.其中的小前提是( ) A.① B.② C.③ D.①和② 答案B 1.怎样认识演绎推理? 剖析:(1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论是 蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中. (2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要前提是 真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.因而演绎 推理是数学中严格证明的工具. 2.合情推理和演绎推理有怎样的关系? 剖析: 合情推理 常用形式 思维运 动过程 的方向 区 前提与结 别 论联系的 性质 应用 归纳、类比 归纳推理是从部分到整体,从 特殊到一般的推理;类比推理 是从特殊到特殊的推理 结论超过了前提所断定的范 围,其结论具有或然性 不能作为数学证明的工具,但 它具有创造性思维,对于数学 的发现很有意义 演绎推理 三段论 以一般性的知识作为前提 推出一个特殊性的知识作 为结论,即从一般到特殊的 推理 结论不超过前提所断定的 范围,前提和结论的联系是 必然的 可以作为数学证明的工具, 较少具有创造性,但它严密 的论证有助于数学的理论 化和系统化 两者紧密联系,互为依赖,互为补充. (1)演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验 中概括出来.从这个意义上可以说,没有归纳推理就没有演绎推理. 联 (2)合情推理也离不开演绎推理,合情推理活动的目的、任务和方向都必 系 须借助于理论思维,依靠人们先前积累的一般性理论知识作指导.这本 身就是一种演绎活动,并且合情推理得到的结论正确与否,必须借助于 演绎推理去论证,从这个意义上说,没有演绎推理也就没有合情推理 温馨提示就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的 重要思维过程,但数学结论、证明思路等的发现,主要靠合情推理, 因此我们不仅要学会证明,也要学会猜想. 题型一 题型二 题型三 题型四 把演绎推理写成三段论的形式 【例1】 把下列推断写成三段论的形式: (1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形; (2)y=sin x(x∈R)是周期函数. 分析:解答本题的关键在于分清大前提、小前提和结论,还要准 确利用三段论的形式. 解:(1)因为一条边长的平方等于其他两条边长平方的和的三角形 是直角三角形,大前提 △ABC三边的长依次为3,4,5,且32+42=52,小前提 所以△ABC是直角三角形.结论 (2)因为三角函数是周期函数,大前提 y=sin x(x∈R)是三角函数,小前提 所以y=sin x(x∈R)是周期函数.结论 题型一 题型二 题型三 题型四 反思在用三段论写推理过程时,关键是明确大前提、小前提.三段 论中的大前提提供了一个一般性的原理,小前提指出了一种特殊情 况,两个命题结合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有 时可省略小前提,有时甚至大前提与小前提都省略.在寻找大前提 时,可找一个使结论成立的充分条件. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 把下列演绎推理写成三段论的形式: (1)在一个标准大气压下,水的沸点是100 ℃,所以在一个标准大气 压下把水加热到100 ℃时,水会沸腾; (2)一切偶数都能被2整除,256是偶数,所以256能被2整除; (3)函数y=x+5的图象是一条直线. 解:(1)因为在一个标准大气压下,水的沸点是100 ℃,大前提 在一个标准大气压下把水加热到100 ℃,小前提 所以水会沸腾.结论 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)因为一切偶数都能被2整除,大前提 256是偶数,小前提 所以256能被2整除.结论 (3)因为一次函数的图象是一条直线,大前提 y=x+5是一次函数,小前提 所以y=x+5的图象是一条直线.结论 题型一 题型二 题型三 题型四 三段论在证明几何问题中的应用 【例2】 如图,三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,A1A⊥底面ABC,D,E 分别为C1C与AB的中点,A1B交AB1于点G. 求证:(1)A1B⊥AD; (2)CE∥平面AB1D. 分析:(1)线线垂直→线面垂直→线线垂直 (2)线线平行→线面平行 题型一 题型二 题型三 题型四 证明:(1)连接A1D,DG,BD, ∵三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,A1A⊥底面ABC, ∴四边形A1ABB1为正方形. ∴A1B⊥AB1. ∵点D是C1C的中点, ∴△A1C1D≌△BCD. ∴A1D=BD. ∵点G为A1B与AB1的交点, ∴G为A1B的中点. ∴A1B⊥DG. 又DG∩AB1=G,∴A1B⊥平面AB1D. 又AD?平面AB1D,∴A1B⊥

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