广东省华南师范大学附属中学2018届高三综合测试三数学理试题 含解析 精品

华南师大附中 2018 届高三综合测试(三) 数学(理) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内,复数 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 ( 为虚数单位) ,则 为( )

【答案】D 【解析】 故选 2. 已知集合 A. B. , C. ,则集合 D. ( )

【答案】C 【解析】 , 故 故选 3. “ ”是“ ”的( ) , ,

A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】B 【解析】 当“ 不一定成立 而当“ 故“ 故选 4. 已知

B. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

”时, 则



, 此时

可能无意义, 故“



”时,则 ”是“



,“ ”的必要不充分条件

”成立

,则

的值是(



A.

B.

C. -3

D. 3

【答案】A 【解析】 ,解得

故选 5. 如图, 将绘有函数 间的空间距离为 ,则 ( ) 部分图象的纸片沿 轴折成直二面角, 若 、之

A. -1 【答案】D

B. 1

C.

D.

【解析】由题设并结合图形可知





故选 6. 已知向量 , , ) ,若 与 的夹角为 ,且

,则实数 的值为( A. B. C. D.

【答案】A 【解析】∵ ∴ ∴ , .

. ∴ 选 A.

点睛: (1)在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式,尤其对 要引起足够重视,它是求距离常用的公式. (2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在向量的运算中,灵活运用运算律,达 到简化运算的目的. 7. 已知 , , 满足约束条件 ,若 的最小值为 1,则 ( )

A.

B.

C. 1

D. 2

【答案】A 【解析】 试题分析: 不等式表示的可行域如图所示, 把目标函数 表示的是斜率为 转化为 经

,截距为 的平行直线系,当截距最小时, 最小,当直线

过点

时, 最小,由



,因此

,解得

,故答案为 A.

考点:线性规划的应用. 8. ( )

A. 7

B.

C.

D. 4

【答案】C 【解析】 故选:C 9. 已知双曲线 : 于原点的对称点为 ,且满足 A. B. C. 2 D. ,点 为 的左焦点, 点 为 上位于第一象限内的点, 关 ,若 ,则 的离心率为( ) .

【答案】B

【解析】

由题意可知,双曲线的右焦点 , 关于原点的对称点为 , 则 ,

四边形 则 由 , ,

为平行四边形

,根据椭圆的定义 ,

在 则

中,

, ,整理得



则双曲线的离心率 故选 点睛:本题主要考查的是双曲线的简单性质。由题意可知,四边形 双曲线的定义和性质,求得 双曲线的离心率公式即可求得答案。 10. 如图是函数 的部分图象, 则函数 的零点所在的区间是 ( ) ,在在 为平行四边形,利用 ,根据

中,利用勾股定理即可求得

A. 【答案】B

B.

C.

D.

【解析】 由函数 而

的部分图象得 在定义域内单调递增, ,解得

, 即有 ,由函数 ,∴

, 从而

, 的部分 ,

图象,结合抛物线的对称轴得到: ∴函数 11. 函数 的零点所在的区间是 的图象大致为( )

;故选 B.

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 当 时, ,

所以当

时,

,且只有一个极值点,所以舍去 B,C,D,选 A. 是定义在 上的奇函数,当 ; ; C. 2 D. 1 ②函数 ④ 时, 有 2 个零点; ,都有 . ,给出下列命题:

12. 已知函数 ①当 ③ A. 4 时,

的解集为 B. 3

【答案】C 【解析】 由题意得,当 所以 令 数,所以有 因为当 当 ,可解得 ,当 ,则 ,因为函数 是定义在 上的奇函数,

,所以①是正确的; 时,可解得 ,又函数 是定义在 上的奇函

,故函数的零点有 2 个,所以②是正确的; ,解得 ,解得 ,故 , 的解集为 ,所以③是不

时,由

时,由

正确的; 因为当 可知当 时,由 时, , 当 ,图象过点 时, ,又 , 所以函数 , 处取得极大值 , 且当

时,函数值趋向于 ,当

时,函数值趋向于 , 的图象,

由奇函数的图象关于原点对称可作函数

可得函数

,所以

成立,

综上所述正确的个数为 3 个,故选 B. 考点:函数性质的综合应用. 点睛:本题主要考查了函数的性质的综合应用问题,其中解答中涉及到函数的奇偶性的应用, 函数解析式的求解,函数单调性的应用,函数的图象即函数的零点等知识点的综合考查,着 重考查了学生分析问题和解答问题的能力,本题解答中正确把握函数的基本性质和正确作出 函数的图象是解答问题的关键. 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 曲线 【答案】 【解析】 , 故切线方程为 14. 在 则 【答案】 【解析】在 中, , ,且 , , 成等比数列 ,即 中, , , 为 __________. , , 的对边, , , 成等比数列, , , 在点 处的切线方程是__________.

由余弦定理可得 即

15. 已知函数 为__________. 【答案】 【解析】作函数

,若

,满足

,则

的取值范围

图象如下

,满足 ,即

故 故 的取值范围为

点睛:本题是一道关于分段函数的题目,关键是画出函数的图象。首先根据给出的分段函数, 画出函数的图象, 据此结合 从而求得答案。 16. 设有两个命题: :关于 的不等式 :函数 如果 为真命题, ( ,且 )的解集是 ; , 满足 , 从而可以得到 的值, ,

的定义域为 . 为假命题,则实数 的取值范围是__________.

【答案】 【解析】 由题意得,命题 为真命题可解得 ,

命题 中,函数 因为 所以 位真命题, 或

的定义域为 ,当

时不成立,则

,解得



为假命题,额命题 和 必然一真一假, ,解得 或 ,

所以实数 的取值范围是





三、解答题:本大题共 7 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 17. 设数列 (1)求数列 的前 项和为 ,且 的通项公式; .

(2)设

,求数列

的前 项和 .

【答案】 (1)

.( 2) 求 得

. ,注意分类讨论:当 ( 时, ,得 =2,

【解析】试题分析: (1)由 当 时,

) .所以数列{an}是首项为 2、公比为 2 的 (2)因为 , ,所

等比数列,最后由等比数列通项公式得

以利用裂项相消法求和,本题是各项相消,注意规律,前面有两项,后面也有两 项........................... 试题解析:解: (1)由 得, ( ) ,两式相减得 . ( ) .

当 n=1 时, =2,所以数列{an}是首项为 2、公比为 2 的等比数列,则 (2)由(1)知, 则数列 ,所以 .

的前 n 项和 .

考点:由

求 ,裂项相消法求和

【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的 方法,裂项相消法适用于形如 (其中{an}是各项均不为零的等差数列,c 为常数)的

数列.裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例) ,还有一类隔一项的裂项求

和,如



18. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分成 六段 问题: , … 后,画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列

(1)求第四小组的频率,补全频率分布直方图,并估计该校学生的数学成绩的中位数. (2)从被抽取的数学成绩是 分以上(包括 分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的 概率. (3)假设从全市参加高一年级期末考试的学生中,任意抽取 个学生,设这四个学生中数学成 绩为 80 分以上(包括 分)的人数为 (以该校学生的成绩的频率估计概率) ,求 的分布列 和数学期望. 【答案】 (1) 分.(2) .(3)见解析.

【解析】试题分析:⑴通过各组的频率和等于 ,求出第四组的频率,考查直方图,求出中位 数即可; 分别求出 , , 的人数是 , , ,然后利用古典概

型概率求解即可;⑶判断概率类型

,即可写出 的分布列和数学期望

解析: (1)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率: . 直方图如图所示. 中位数是 估计这次考试的中位数是 , 分.

(2)





的人数是 , , ,所以从成绩是 分以上(包括 分)的学

生中选两人,他们在同一分数段的概率: .

(3)因为 所以其分布列为: 0







1 0.4116

2 0.2646

3 0.0756

4 0.0081

0.2401

数学期望为 19. 在五面体 平面 平面 中, ..

. , , , ,

(1)证明:直线 (2)已知 为棱

平面

; 的大小为 .

上的点,试确定 点位置,使二面角 的三等分点处.

【答案】 (1)见解析; (2) 点靠近 点的

【解析】试题分析:⑴证明一条直线垂直一个平面,只需要证明这条两个平面垂直,直线垂 直两个平面的交线即可。证明 ,因为平面 平面 ,平面 平面

, ⑵根据题意,取

,即可得到直线 的中点 ,证明 ,

平面 , 两两垂直,以 为原点, , , 为 ,

轴,建立空间直角坐标系 解析: (1)证明:∵ ∴四边形 ∵平面 ∵ ∴ ∴直线 为菱形,∴ 平面 ,∴ ,又∵ 平面 .

,进行计算,确定 点靠近 点的 ,∴ , 平面 , , , ,

的三等分点处

,平面 平面

(2)∵ 取

,∴ ,则 ,

为正三角形, ,∴ 平面 , ,平面 平面 ,

的中点 ,连接 平面 平面 ,∴ , , , , ,

∵平面 ∴ ∵

, ,

两两垂直, 为 , 轴,建立空间直角坐标系 , ,如图,

以 为原点, ∵ ∴ 由(1)知 ∵ 设 设平面 ∵ 令

. 是平面 的法向量,



, ,则 .

的法向量为 , ,则 为 ,∴ , ,

, , ,∴ ,

∵二面角



,解得 ∴ 点靠近 点的 的三等分点处.

.

20. 已知点 是圆 : 与 交于 点.

上任意一点,点 与圆心 关于原点对称.线段

的中垂线

(1)求动点 的轨迹方程 ; (2)设点 ,若直线 轴且与曲线 交于另一点 ,直线 面积的最大值. 与直线 交于点 ,证明:

点 恒在曲线 上,并求 【答案】 (1)

.(2)见解析.

【解析】试题分析:⑴根据题目条件并结合椭圆定义,即可求得动点 的轨迹方程 ; ⑵设 点坐标为 ,则 点的坐标为 ,进而表示出直线 : , 与直线 , ,联立 ,代入三

交于点 的坐标,即可证明点 恒在椭圆 上,设直线

直线方程和椭圆方程,化为关于 的一元二次方程,利用根与系数的关系得到 角形的面积公式,可得 ,利用换元法,即可求得 ,因为 为 , , . . ,则 点的坐标为 ,即 , ,且 , 面积的最大值。

解析: (1)由题意得, 点坐标为 又 ,所以

中垂线上的点,所以



由椭圆的定义知,

所以动点 的轨迹方程 : (2)证明:设 点坐标为 所以直线 :

直线



,即 ,解得

; , ,则

联立方程组

. 所以点 恒在椭圆 上. 设直线 则由 所以 所以 : , , , , ,

,消去 整理得 ,



从而



令 故 即当 时,

,则函数 ,所以

在 ,

上单调递增,

面积取得最大值,且最大值为 . . 的单调性; 有两个极值点 、 ,且 ,求证: .

21. 函数 (1)讨论 (2)若函数

【答案】 (1)见解析; (2)见解析. 【解析】试题分析:⑴先求出函数的定义域,再求导数 ,令 ,讨论 ,

与 0 的关系, 从而求出函数的单调性⑵若函数

有两个极值点 、 , 且

则必是

,得 、 是

的二根,



, 给出

的关系, 下证



构造新函数,证明不等式 解析: 的定义域是 ,令 , , ,这是开口向上,以 为对称轴的抛物线,

(1)由题设知, , ①当 ②当 ,即 ,即 ,则 1)当 即 2)当 . 时,即 即

时, 时,由 , 时,

,即

在 得

上恒成立. ,令 ,

. ,故在 上, ,即 ,在 上, ,

时,

+ + 递增

0 0

递减

0 0

+ + 递增

综上: 时, 在 在 上单调递增; 时, 在 上单调递增. 上单调递减,在 上单调递减,在 上单调递增; 和

时,

(2)若函数 则必是 且 在

有两个极值点 、 ,且 , ,则 和 的二根, ,即 , ,

, , 上单增,则 ,

上单减,在

∵ 、 是 ∴

∴若证

成立,只需证

. 即证 对 设 , , 当 故 故 , ∴ 对 恒成立, 时, ,故 在 , 上单增, , , 恒成立,



.

点睛:本题考查了导数的综合运用,难度较大;在求函数单调性时还要注意对其进行分类讨 论,在证明不等式成立时结合根与系数之间的关系,将其中一个量用另一个量表示,然后转 化为新函数,证明得出结果,有一定难度,注意将两个未知量转化为一个未知量。 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分. 22. 选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 的参数方程为 坐标系,曲线 的极坐标方程为 ( 为参数).以 为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极 .

(Ⅰ)写出直线 经过的定点的直角坐标,并求曲线 的普通方程; (Ⅱ)若 ,求直线 的极坐标方程,以及直线 与曲线 的交点的极坐标. , ; (2) . 时直线 经过定点 ,设

【答案】 (1)

【解析】试题分析:⑴由题意可知当

,即可求出曲线 的普通方程; ⑵将 代入直线 的参数方程,可求出直线 的普通方程,将 代入即可求得

直线 的极坐标方程,然后联立曲线 : 解析: (1)直线 经过定点 由 得 , , ,化简得

,即可求出直线 与曲线 的交点的极坐标

得曲线 的普通方程为



(2)若

,得

的普通方程为



则直线 的极坐标方程为 联立曲线 : ∵ 得 ,取 . ,得 . ,



所以直线 与曲线 的交点为 23. 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 (1)解不等式 ,记 ;

的最小值为 .

(2)是否存在正数 , ,同时满足: 【答案】 (1) .(2)见解析.



?并说明理由.

【解析】试题分析: (1)把函数转化为分段函数即

,分段求解,在求并集; ( 2)

利用绝对值三角不等式求出 的值,利用均值不等式可求出 试题解析: (1)不等式 设函数 则 ,令 , ,解得 , 化为

的最小值为 8,可得结论.

原不等式的解集是 (2) 当且仅当 ,即 ,则 时取等号,故 ,

假设存在符合条件的正数

当且仅当

,即

时取等号,

的最小值为 8,即 不存在正数 ,使得 同时成立.

精品文档 强烈推荐


相关文档

2018届广东省华南师范大学附属中学高三综合测试(三)数学(理)试题Word版含解析
【数学】广东省华南师范大学附属中学2018届高三综合测试(三)数学(理)试题 含解析
2018届广东省华南师范大学附属中学高三综合测试(三)数学(理)试题Word版含答案
广东省华南师范大学附属中学2018届高三综合测试三数学文试题 含答案 精品
广东省华南师范大学附属中学2018届高三综合测试(三)数学(文)试题Word版含解析
2018届广东省华南师范大学附属中学高三综合测试(三)数学(文)试题Word版含解析
2018届广东省华南师范大学附属中学高三综合测试(三)语文试题(解析版)【含解析】
【数学】广东省华南师范大学附属中学2018届高三综合测试(三)数学(文)试题 含答案
2018届广东省华南师范大学附属中学高三综合测试(三)数学(文)试题Word版含答案
2018届广东省华南师范大学附属中学高三综合测试(三)文科综合政治试题【含解析】
电脑版