2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(附答案)(15)

加试模拟训练题(15) 1、已知圆 O 外一点 X ,由 X 向圆 O 引两条切线,切点分别为 A, B ,过点 X 作直线, 与圆 O 交于两点 C , D ,且满足 CA ? BD ,若 CA, BD 交于点 F ,CD, AB 交于点 G ,BD 与 GX 的中垂线交于点 H ,证明 X , F , G , H 四点共圆。 (05 年日本) 1 ?? 1 ?? 1? ? 2.设 a, b, c 是正实数,且满足 abc ? 1 ,证明: ? a ? 1 ? ?? b ? 1 ? ?? c ? 1 ? ? ? 1 b ?? c ?? a? ? 3、设 A 是一个有 n 个元素的集合,A 的 m 个子集 A1 , A2 , ? , Am 两两互不包含, 试证: (1) m 1 | Ai | ? 1 ; ( 2 ) Cn ? m2. ? ? | Ai | C i ?1 i ?1 n |A | m 其中 | Ai | 表示 Ai 所含元素的个数, C n i 表示 n 个不同元素取 | Ai | 个的组合数. 4.设 a, b, c 是直角三角形的三边长。如果 a, b, c 是整数,求证: abc 可以被 30 整除。 证明:不妨设 c 是直角三角形的斜边长,则 c 2 ? a 2 ? b 2 。 加试模拟训练题(15) 1、已知圆 O 外一点 X ,由 X 向圆 O 引两条切线,切点分别为 A, B ,过点 X 作直线, 与圆 O 交于两点 C , D ,且满足 CA ? BD ,若 CA, BD 交于点 F ,CD, AB 交于点 G ,BD 与 GX 的中垂线交于点 H ,证明 X , F , G , H 四点共圆。 (05 年日本) 证明 因为 X , D, G , C 是调和点列,且 ?CFD ? 90? ,所以 F 在关于点 X , G 的阿波 罗尼斯圆上。连 FG, FX ,有 ?GFD ? ?DFX 。设 ?GFX 的外接圆与 BF 交于点 H ? ,则 有 GH ? ? XH ? ,即 H ? 在 GX 的中垂线上,从而有 H ? ? H ,因此 X , F , G , H 四点共圆。 2.设 a, b, c 是正实数,且满足 abc ? 1 ,证明: 1 ?? 1 ?? ? ? a ? 1 ? ?? b ? 1 ? ?? c ? 1 ? b ?? c ?? ? 1? ? ?1 a? (第 41 届国际数学奥林匹克试题) 分析与证明: 令 x ? 3 a , y ? 3 b , z ? 3 c .易知 xyz ? 1 .则 a ?1? ( xyz ) 2 x 2 1 1 ? ( x y ? y 2 z ? z 2 x) ? x 3 ? 1 ? 3 = x 3 ? xyz ? 3 b y y y 同理有其它两式,再令 u ? x 2 y, v ? y 2 z , w ? z 2 x . 则原不等式等价于齐次不等式: (u ? v ? w)(v ? w ? u )( w ? u ? v) ? uvw . ?u ?v?w?v? w?u? 2 (u ? v ? w)(v ? w ? u ) ? ? ? ?v 2 ? ? 2 因为 同理有 (v ? w ? u )( w ? u ? v) ? w 2 ; ( w ? u ? v)(v ? u ? w) ? u 2 . 故 [(u ? v ? w)(v ? w ? u )( w ? u ? v)]2 ? (uvw) 2 . 从而原不等式成立. 3、设 A 是一个有 n 个元素的集合,A 的 m 个子集 A1 , A2 , ? , Am 两两互不包含,试证: (1) m 1 | Ai | ? 1 ; ( 2 ) Cn ? m2. ? ? | Ai | i ?1 C n i ?1 m 其中 | Ai | 表示 Ai 所含元素的个数, C n i 表示 n 个不同元素取 | Ai | 个的组合数. (1993 年,全国高中数学联赛二试第二大题) 【证明】 (1) 据组合公式知, (1) 式等价于 |A | ?| A i ?1 n i |!(n ? | Ai |)!? n!. ① 对 于 A 的子集 Ai ? {x1 , x 2 , ? , x| Ai | }, 我们取补集 Ai ? { y1 , y 2 , ? , y n ?| Ai | }, 并取 Ai 的元素在 前, Ai 元素在后,作排列 x1 , x 2 , ? , x| Ai | , y1 , y 2 , ? , y n ?| Ai | . 这样的排列共有 | Ai | (n ? | Ai |)!个. 显然,②中每一个排列,也是 A 中的一个排列,若 j ? i 时, A j 对应的排列与 Ai 对庆的排 列互不相同,则 A1 , A2 , ? , Am 所对应的排列总数便不会超过 A 中排列的总数 n!, 现假设 A j 中对应的某一排列 x1 , x 2 , ? , x| A j | , y1 , y 2 , ? , y n ?| A j | . ② ? ? ? ? ? ? ③ 与 A( 中对应的某一排列②相同 (指出现的元素及元素位置都相同) , 则当 | A j |?| Ai | j ? i) i 时, A j ? Ai ;当 | A j |?| Ai | 时, A j ? Ai ,这都与 A1 , A2 , ? , Am 两两互不包含,矛盾. 由于 A1 , A2 , ? , Am 对应的排列对②互不相同,而 A 中 n 个元素的全排列有 n !个,故 得 ?| A i ?1 n i |!(n ? | Ai |)!? n!. 即 ? i ?1 n 1 ? 1. | Ai | Cn m m m m 1 ) ? ( 1) 2 ?m 2 . ? | Ai | Cn i ?1 | Ai | | Ai | (

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