人教版高中数学导数的实际应用教案

基础巩固强化 一、选择题 1.三次函数当x=1时,有极大值4;当x=3时,有极小值0,且函 数过原点,则此函数是(  ) A.y=x3+6x2+9x B.y=x3-6x2+9x C.y=x3-6x2-9x D.y=x3+6x2-9x [答案] B [解析] 设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0), ∵函数图象过原点,∴d=0.f ′(x)=3ax2+2bx+c, 由题意得,,即, 解得, ∴f(x)=x3-6x2+9x,故应选B. 2.将数8拆分为两个非负数之和,使其立方之和为最小,则分法为 (  ) A.2和6 B.4和4 C.3和5 D.以上都不对 [答案] B [解析] 设一个数为x,则另一个数为8-x,则y=x3+(8 -x)3,0≤x≤8,y′=3x2-3(8-x)2,令y′=0,即3x2-3(8-x)2=0,解得x =4. 当0≤x<4时,y′<0,函数单调递减;当4<x≤8时,y′>0,函数单调递 增,所以x=4时,y最小. 3.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数:y1= 17x2(x>0);生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数:y2=2x3 -x2(x>0),为使利润最大,则应生产(  )

A.6千台 C.8千台 [答案] A 2x3(x>0),

B.7千台 D.9千台

[解析] 设利润为y(万元),则y=y1-y2=17x2-2x3+x2=18x2- y′=36x-6x2, 令y′>0,得0<x<6, 令y′<0,得x>6, ∴当x=6时,y取最大值,故为使利润最大,则应生产6千台. 4.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若 把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是(  )

[答案] A [解析] 加速过程,路程对时间的导数逐渐变大,图象下凸;减速 过程,路程对时间的导数逐渐变小,图象上凸,故选A. 5.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(  ) A.R B.2R C.R D.R [答案] C [解析] 设圆锥高为h,底面半径为r, 则R2=(R-h)2+r2,∴r2=2Rh-h2, ∴V=πr2h=h(2Rh-h2)=πRh2-h3,

∴V′=πRh-πh2,令V′=0得h=R, 当0<h<R时,V′>0;当R<h<2R时,V′<0. 因此当h=R时,圆锥体积最大,故应选C. 6.福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加 热,如果第xh时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那 么,原油温度的瞬时变化率的最小值是(  ) A.8 B. C.-1 D.-8 [答案] C [解析] 瞬时变化率即为f ′(x)=x2-2x为二次函数,且f ′(x)=(x- 1)2-1,又x∈[0,5], 故x=1时,f ′(x)min=-1. 二、填空题 7.把长为60cm的铁丝围成矩形,长为________,宽为________ 时,矩形的面积最大. [答案] 15cm 15cm [解析] 设长为xcm,则宽为(30-x)cm,此时S=x·(30-x)=30x -x2,S′=30-2x=0,所以x=15.所以长为15cm,宽为15cm时,矩形 的面积最大. 8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最小, 则圆柱的底面半径为________. [答案] 3 [解析] 设圆柱的底面半径为R,母线长为L,则V=πR2L=27π, ∴L=,要使用料最省,只需使圆柱形表面积最小,∴S表=πR2+2πRL =πR2+, ∴S′(R)=2πR-=0,令S′=0得R=3, ∴当R=3时,S表最小.

9.用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的 长与宽之比为2 1,该长方体的最大体积是________. [答案] 3m3 [解析] 设长方体的宽为x,则长为2x,高为-3x (0<x<),故体积 为V=2x2=-6x3+9x2, V′=-18x2+18x,令V′=0得,x=0或1, ∵0<x<2,∴x=1. ∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时,体积最大,最大 体积Vmax=3m3. 三、解答题 10.用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别 截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接成水箱.问:水箱 底边的长取多少时,水箱容积最大?最大容积是多少? [解析] 设水箱底边长为xcm,则水箱高为h=60-(cm). 水箱容积V=V(x)=60x2-(0<x<120)(cm3). V′(x)=120x-x2. 令V′(x)=0得,x=0(舍)或x=80. 当x在(0,120)内变化时,导数V′(x)的正负如下表: x V′(x) (0,80) + 80 0 (80,120) -

因此在x=80处,函数V(x)取得极大值,并且这个极大值就是函 数V(x)的最大值. 将x=80代入V(x),得最大容积 V=802×60-=128 000(cm3). 答:水箱底边长取80cm时,容积最大,最大容积为128 000cm3. 能力拓展提升 一、选择题

11.某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的 产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)= -+400x,0≤x≤390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是 (  ) A.150 B.200 C.250 D.300 [答案] D [解析] 由题意可得总利润P(x)=-+300x-20 000,0≤x≤390.由P′(x) =0,得x=300. 当0≤x≤300时,p′(x)>0;当300<x≤390时,P′(x)<0,所以当x=300 时,P(x)最大,故选D. 12.三棱锥O-ABC中,OA、OB、OC两两垂直,OC=2x,OA =x,OB=y,且x+y=3,则三棱锥O-ABC体积的最大值为(  ) A.4 B.8 C. D. [答案] C [解析] V=×·y===(0<x<3), V′==2x-x2=x(2-x). 令V′=0,得x=2或x=0(舍去). ∴x=2时,V最大为. 13.要制作一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最 大,则高为(  ) A.cm B.cm C.cm D.cm [答案] D [解析] 设圆锥的高为x,则底面半径为, 其体积为V=πx(400-x2) (0<x<20), V′=π(400-3x2),令V′=0,解得x=.

当0<x<时,V′>0;当<x<20时,V′<0 所以当x=时,V取最大值. 14.若一球的半径为r,作内接于球的圆柱,则其圆柱侧面积最大 值为(  ) A.2πr2 B.πr2 C.4πr2 D.πr2 [答案] A [解析] 设内接圆柱的底面半径为r1,高为t, 则S=2πr1t=2πr12=4πr1. ∴S=4π. 令(r2r-r)′=0得r1=r. 此时S=4π·r· =4π·r·r=2πr2. 二、填空题 15.做一个容积为256的方底无盖水箱,它的高为________时最省 料. [答案] 4 [解析] 设底面边长为x,则高为h=,其表面积为S=x2+4××x=x2 +,S′=2x-,令S′=0,则x=8,则当高h==4时S取得最小值. 16.某厂生产某种产品x件的总成本:C(x)=1 200+x3,又产品单 价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总 利润最大时,产量应定为________件. [答案] 25 [解析] 设产品单价为a元,又产品单价的平方与产品件数x成反 比,即a2x=k, 由题知a=.总利润y=500-x3-1 200(x>0),y′=-x2, 由y′=0,得x=25,x∈(0,25)时,y′>0,x∈(25,+∞)时,y′<0,所

以x=25时,y取最大值. 三、解答题 17.已知某厂生产x件产品的成本为c=25 000+200x+x2(元). (1)要使平均成本最低,应生产多少件产品? (2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品? [解析] (1)设平均成本为y元,则 y==+200+(x>0), y′=′=-+. 令y′=0,得x1=1 000,x2=-1 000(舍去). 当在x=1 000附近左侧时,y′<0; 在x=1 000附近右侧时,y′>0; 故当x=1 000时,y取得极小值. 由于函数只有一个极小值点,那么函数在该点取得最小值,因此要 使平均成本最低,应生产1 000件产品. (2)利润函数为L=500x-(25 000+200x+) =300x-25 000-. ∴L′=300-. 令L′=0,得x=6 000,当x在6 000附近左侧时,L′>0;当x在6 000附 近右侧时,L′<0,故当x=6 000时,L取得极大值. 由于函数只有一个使L′=0的点,且函数在该点有极大值,那么函 数在该点取得最大值.因此,要使利润最大,应生产6 000件产品. 18.已知圆柱的表面积为定值S,求当圆柱的容积V最大时圆柱的高 h的值.

[分析] 将容积V表达为高h或底半径r的函数,运用导数求最值.由 于表面积S=2πr2+2πrh,此式较易解出h,故将V的表达式中h消去可得 V是r的函数. [解析] 设圆柱的底面半径为r,高为h,则S圆柱底=2πr2, S圆柱侧=2πrh,∴圆柱的表面积S=2πr2+2πrh. ∴h=, 又圆柱的体积V=πr2h=(S-2πr2)=,V′=, 令V′=0得S=6πr2,∴h=2r, 又r=,∴h=2=.

即当圆柱的容积V最大时,圆柱的高h为.

1.做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价 格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的 底面直径与高的比为(  ) A. B. C. D. [答案] C [解析] 

如图,设圆柱的底面半径为R,高为h,则V=πR2h. 设造价为y,则y=2πR2a+2πRhb=2πaR2+2πRb·=2πaR2+, ∴y′=4πaR-. 令y′=0并将V=πR2h代入解得,=. 2.以长为10的线段AB为直径画半圆,则它的内接矩形面积的最大 值为(  ) A.10 B.15 C.25 D.50 [答案] C

[解析] 如图,设∠NOB=θ,则矩形面积S=5sinθ·2·5cosθ= 50sinθ·cosθ=25sin2θ,故Smax=25.

3.某商品一件的成本为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可 卖出(200-x)件,要使利润最大每件定价为________元. [答案] 85 [解析] 设每件商品定价x元,依题意可得 利润为L=x(200-x)-30x=-x2+170x(0<x<200). L′=-2x+170,令-2x+170=0,解得x==85. 因为在(0,200)内L只有一个极值,所以以每件85元出售时利润最 大. 4.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价 格p与产量q的函数关系式为p=25-q,求产量q为何值时,利润L最大? [分析] 利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格,由 此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润. [解析] 收入R=q·p=q(25-q)=25q-q2.

利润L=R-C=(25q-q2)-(100+4q)=-q2+21q- 100(0<q<200), 所以L′=-q+21.令L′=0, 即-q+21=0,解得q=84. 因为当0<q<84时,L′>0; 当84<q<200时,L′<0, 所以当q=84时,L取得最大值,最大值为782. 答:当产量为84时,利润取得最大值782. 5.某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元,已知每生 产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)=200x+x3(元),若生产出的 产品都能以每件500元售出,要使利润最大,该厂应生产多少件这种产 品?最大利润是多少? [解析] 设该厂生产x件这种产品利润为L(x) 则L(x)=500x-2 500-C(x) =500x-2 500- =300x-x3-2 500(x∈N) 令L′(x)=300-x2=0,得x=60(件) 又当0≤x<60时,L′(x)>0 x>60时,L′(x)<0 所以x=60是L(x)的极大值点,也是最大值点. 所以当x=60时,L(x)=9 500元. 答:要使利润最大,该厂应生产60件这种产品,最大利润为9 元.

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