辽宁省沈阳二中2014-2015学年高二上学期期中考试数学理试题 Word版含答案


辽宁省沈阳二中 2014-2015 学年高二上学期期中考试数学理试题命题人:
高二数学组
说明:1.测试时间:120 分钟

审校人:高二数学组

总分:150 分

2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上.

第Ⅰ卷
的. 1.命题“ ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R, | x | ? x ? 0
2

(60 分)

一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求


2

B. ?x ? R, | x | ? x ? 0 D. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0 )
2

C. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0 2.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则 ( A. ac ? bc B.

2

1 1 2 2 3 3 ? C. a ? b D. a ? b a b 3.若数列 {an } 的通项公式是 an ? (?1)n ? (3n ? 2) ,则 a1 ? a2 ????? a10 ? (
A.15 B.12 C.-12 D.-15_xx

)

4.已知椭圆过点 P ( , ?4) 和点 Q(? , ?3) ,则此椭圆的标准方程是( y 2 A. +x =1 25
2

3 5

4 5

)

x y 2 2 B. +y =1 或 x + =1 25 25

2

2

x 2 C. +y =1 25

2

D.以上均不正确

5.有下列四个命题: ①“若 xy=1,则 x、y 互为倒数”的逆命题; ②“相似三角形的周长相等”的否命题; ③若“A∪B=B,则 A?B”的逆否命题.其中的真命题有( A.0 B.1 C.2 D.3 )个。

x2 y2 10 ? ?1的离心率 e= 6.已知椭圆 ,则 m 的值为 5 m 5
A.3 B.3 或

(

)

25 3
2

C. 15

D. 15 或

5 15 3

: ?x ? R, x ? x ? 0” : a ? c ? b ? d是a ? b且c ? d 的充分不必要条件” 7. 已知命题 p “ ,命题 q “ , 则下列
结论正确的是( ) B. 命题“ ( ?P) ? q ”是真命题
1第

A.命题“ p ? q ”是真命题


C. 命题“ p ? (?q) ”是真命题
2

D. 命题“ p ? q ”是假命题

y2 8.设 F1、F2 分别是椭圆 E: x ? 2 ? 1 (0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点, b
且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|的长为( A. 2 3 B.1 4 C. 3 D. 5 3 )

? y?x ? 9.已知 ? x ? y ? 2 ,且 z ? 2 x ? y 的最大值是最小值的 3 倍,则 a 的值是( ? x?a ?
A. 2 3 B.



1 3

C.

1 4

D.

1 5

10.已知 F1、F2 是椭圆 C: 样的点 P 有( A.8

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一点,如果△PF1F2 是直角三角形,这 8 4

)个。 B.6 C.4 D.2 )

11. “ ? ? 1 ”是数列“ an ? n 2 ? 2? n(n ? N * ) 为递增数列”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

12.过椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B,且点 B 在 x a2 b2
1 1 ? k ? , 则椭圆离心率的取值范围是( 3 2
C. ( , ) )

轴上的射影恰好为右焦点 F,若

A. ( , )

1 9 4 4

B. ( ,1)

2 3

1 2 2 3

D. (0, )

1 2

第Ⅱ卷

(90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.

? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 13.已知函数 f ( x) ? ? ,满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是 ??1 ? log 4 x, x ? 0
x2 y 2 ? ? 1 所截得的线段的中点,则直线 l 的方程为 14.已知 P(1,1) 是直线 l 被椭圆 4 3
页 2第





15.已知正项等比数列 {an } 满足 a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am , an 使得 am an ? 2a1 , 则

1 4 ? 的最小值为 m n



16.若 a 是 1+2 b 与 1-2 b 的等比中项,则

2ab 的最大值为 a ?2 b



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知 p : 函数 y ? x2 ? 2ax ? 3a 的图像与 x 轴无交点; q : 方程 真命题,试求实数 a 的取值范围。 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log2 (| x ? 1 | ? | x ? 2 | ?m) . (I)当 m ? 5 时,求函数 f ( x) 的定义域; (II)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 1 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆;若 p ? q 为 4 ? a a ?1

19. (本小题满分 12 分) 已知 {an } 为等比数列, a1 ? 1, a4 ? 64 ;数列 {bn } 的前 n 项和 Sn 满足 S n ?

3n 2 ? n 2

(1) 求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2) 设 Tn = a1b1 ? a2b2 ? ??? ? anbn ,求 Tn 。

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3 . 2 a b 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 ,求 △ AOB 面积的最大值.[来源 2

21. (本小题满分 12 分)

某单位有员工 l000 名,平均每人每年创造利润 l0 万元。为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调
页 3第

整出 x( x ? N ? ) 名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为 10( a ? 剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2 x % .

3x ) 万元 (a ? 0) , 500

(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润, 则调整员工从事第三产 业的人数应在什么范围? (2)在(1)的条件下, 若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润, 则 a 的取值 范围是多少?

22. (本小题满分 12 分) 已知圆 C1 : ( x + 1)2 + y 2 = 8 ,点 C2 (1 , 0) ,点 Q 在圆 C1 上运动, QC2 的垂直平分线交 QC1 于点 P . (1)求动点 P 的轨迹 W 的方程; (2) 设 M 、N 分 别 是 曲 线 W 上 的 两 个 不 同 点 , 且 点 M 在 第 一 象 限 , 点 N 在 第 三 象 限 , 若

uuur uuu r uuur OM +2ON = 2OC1 , O 为坐标原点,求直线 MN 的斜率 kMN ;
1 ) 且斜率为 k 的动直线 l 交曲线 W 于 A,B 两点,在 y 轴上是否存在定点 D ,使以 AB 为 3 直径的圆恒过这个点?若存在,求出 D 的坐标,若不存在,说明理由.
(3)过点 S (0 ,-

期中考试数学试题答案(理科)
一.选择题 1 C 2 D 3 A 4 A 5 C 6 B 7 D 8 C 9 B 10 B 11 A 12 C

二.填空题 13. ? ??, ?1? 15.

?4, ???

14. 3x ? 4 y ? 7 ? 0

9 4

16

2 . 4

三.解答题 17.解:因为 p ? q 为真命题,所以 p 为真命题且 q 为真命题--------------------------1 分 图像与 x 轴没有交点, ? ? 4a ? 12a ? 0 ,解得 0 ? a ? 3 ------------------------4 分
2



4第

? 4?a ? 0 x2 y2 ? q : 方程 ? ? 1 表示椭圆,则 ? a ? 1 ? 0 4 ? a a ?1 ?4 ? a ? a ? 1 ?
解得 1 ? a ?

3 3 或 ?a?4 2 2 5 2 5 ( ,3) 2

-----------------------9 分 -----------------------10 分

由上可知 a 的取值范围是 (1, )

18.解: (I)由题设知: | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 5 , 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集: ?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 ,或 ? ,或 ? , ? ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 5 解得函数 f ( x) 的定义域为 (??,?2) ? (3,?? ) ; (II)不等式 f ( x) ? 1 即 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? m ? 2 , ∵ x ? R 时,恒有 | x ? 1 | ? | x ? 2 |?| ( x ? 1) ? ( x ? 2) |? 3 , 不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? m ? 2 解集是 R , ∴ m ? 2 ? 3 , m 的取值范围是 (??,1] .

????(6 分)

????(12 分)

19.解: (1) 设 {an } 的公比为 q ,由 a4 ? a1q3 ,得 q ? 4. 所以 an ? 4n?1. ?????3 分

bn ? 3n ? 1 ,
(2) Tn ? 1? 2 ? 4 ? 5 ? 4 ? 8

?????6 分

? 4n?1 ?3n ?1? ① ? 4n ?3n ?1? ②

4Tn ?

4 ? 2 ? 42 ? 5 ?

2 n ?1 ? 4n ? 3n ? 1? ? 2 ? ? 3n ? 2 ? ? 4 n. ②-①得: 3Tn ? ?2 ? 3 4 ? 4 ? ... ? 4

?

?

所以 Tn ? ? n ?

? ?

2? n 2 ??4 ? . 3? 3

?????12 分

?c 6 , ? ? 20.解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ?b ? 1, ? a ? 3, ?

? 所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

----------------------4 分

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . (1)当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 . -----------------------5 分

(2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .

由已知

m 1? k 2

?

3 2 3 2 ,得 m ? (k ? 1) . 4 2
5第

-----------------------6 分



把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ,

? x1 ? x2 ?
2

3(m 2 ? 1) ?6km , . x x ? 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

-----------------------7 分

? AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ? (1 ? k 2 ) ?

? 36k 2 m2 12(m2 ? 1) ? ? 2 2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ?

12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? ? (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2
12k 2 12 12 ? 3? 4 ? 3? (k ? 0) ≤ 3 ? ?4. 2 1 9k ? 6k ? 1 2?3 ? 6 9k 2 ? 2 ? 6 k
2 当且仅当 9 k ?

1 3 ,即 k ? ? 时等号成立. 2 k 3

---------------10 分 ---------------11 分

当 k ? 0 时, AB ? 3 , 综上所述 AB max ? 2 .

1 3 3 .--------------12 分 ? ? 当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S ? ? AB max ? 2 2 2
21.



6第

22.

(3)直线 l 方程为 y ? kx ?

1 ,联立直线和椭圆的方程得: 3
2 2

1 ? y ? kx ? ? ? 3 ? 2 ? x ? y2 ? 1 ? ?2

得 9(1 ? 2k ) x ?12kx ?16 ? 0 …………8 分

由题意知:点 S (0,? ) 在椭圆内部,所以直线 l 与椭圆必交与两点, 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ).则 x1 ? x2 ?

1 3

4k 16 , x1 x2 ? ? 2 3(1 ? 2k ) 9(1 ? 2k 2 )

假设在 y 轴上存在定点 D(0, m) ,满足题设,则 DA ? ( x1, y1 ? m), DB ? ( x2 , y2 ? m) 因为以 AB 为直径的圆恒过点 D , 则 DA ? DB ? ( x1, y1 ? m) ? ( x2 , y2 ? m) ? 0 ,即: x1 x2 ? ( y1 ? m)( y2 ? m) ? 0
页 7第

(*)

1 1 3 3 2 则(*)变为 x1x2 ? ( y1 ? m)( y2 ? m) ? x1x2 ? y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? m
因为 y1 ? kx1 ? , y2 ? kx2 ?

1 1 1 1 ? x1x2 ? (kx1 ? )(kx2 ? ) ? m(kx1 ? ? kx2 ? ) ? m2 3 3 3 3
1 2 1 ? (k 2 ? 1) x1x2 ? k ( ? m)( x1 ? x2 ) ? m2 ? m ? 3 3 9

16(k 2 ? 1) 1 4k 2 1 ?? ? k ( ? m) ? m2 ? m ? 2 2 9(2k ? 1) 3 3(2k ? 1) 3 9
? 18(m2 ? 1)k 2 ? (9m2 ? 6m ? 15) …………11 分 9(2k 2 ? 1)

由假设得对于任意的 k ? R , DA ? DB ? 0 恒成立,
2 ? ?m ? 1 ? 0 即? 2 解得 m ? 1 9 m ? 6 m ? 15 ? 0 ? ?

因此,在 y 轴上存在满足条件的定点 D ,点 D 的坐标为 (0,1) .………………12 分



8第


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