第二讲 函数的单调性

第二讲
1.单调性:定义在区间 D 上的函数 f ( x)

函数的单调性

(1)增函数 ? ?x1 , x2 ? D且x1 ? x2,如果f ( x1 ) ? f ( x2 )成立

? ?x1 , x2 ? D且x1 ? x2,如果f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0成立 ? ?a, b ? D且a ? b,如果(a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0成立
(2) 减函数 ? ?x1 , x2 ? D且x1 ? x2,如果f ( x1 ) ? f ( x2 )成立

? ?x1 , x2 ? D且x1 ? x2,如果f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0成立 ? ?a, b ? D且a ? b,如果(a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0成立
2.复合函数的单调性:

y ? f (u )

u ? ? ( x)

y ? f (? ( x))

3.函数加减运算的单调性

y ? f ( x)

y ? g ( x)

y ? f ( x) ? g ( x) y ? f ( x) ? g ( x)

增 增 减 减

增 减 增 减

增 ? ? 减

? 增 减 ?

题例: 1.在区间 (??,0) 上为增函数的是( A )

y ? ? log(1? x )
2



y?

x 1? x



y ? ?( x ? 1) 2



y ? ?2 x ? 1

2.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 在 (??,1) 上是减函数,则 a 的取值范围是____. 3.设函数 f ( x) ? 4.

ax ? 1 在 (?2,??) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是____. x?2


定义在 R 上的偶函数在[0,7]上是减函数,在 [7,??) 是增函数,又 f (7) ? 6 ,则 f ( x) ( A.在 [?7.0] 是增函数,且最大值是 6 C.在 [?7.0] 是增函数,且最小值是 6 B.在 [?7.0] 是减函数,且最大值是 6 D.在 [?7.0] 是减函数,且最小值是 6 .

5.已知 x ? [0,1],则函数 y= x ? 2 ? 1 ? x 的值域是

6.已知函数

f ( x) ?
?

?

x2 ? 4 x , x ?0, 2 4 x ? x2 , x ?0, 若 f (2 ? a ) ? f (a), 则实数 a 的取值范围是
B (?1, 2) C (?2,1) D (??, ?2) ? (1, ??)

A (??, ?1) ? (2, ??)

7.设集合 A ? a, a 2 , b2 ?1 , B ? 0, a , b ,且 A ? B . (1)求 a , b 的值; (2)求函数 f ? x ? ? ?bx ?

?

?

?

a 的单调递增区间,并证明. x

8.已知函数 f ( x) 是定义在 (0,??) 上的增函数,且满足

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), ( x, y ? (0,??), f (2) ? 1
(I) 求 f (1) 的值; (II)求满足 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 的 x 的取值范围。 9.已知函数 f ( x) ? x x ? m ? 2x ? 3 (m ? R) . (1)若 m ? 4 ,求函数 y ? f ( x) 在区间 [1,5] 的值域; (2)若函数 y ? f ( x) 在 R 上为增函数,求 m 的取值范围.

解: (1) f ( x) ? x x ? 4 ? 2 x ? 3 ? ? ∵ x ? ?1,5?

? x 2 ? 2x ? 3 2 ?? x ? 6 x ? 3

?x ? 4? ?x ? 4?

? ?x ? 1?2 ? 4 ?? 2 ?? ?x ? 3? ? 6

?x ? 4? ?x ? 4?

∴ f ( x) 在 ? 1,3? 上递增,在 ?3,4? 上递减,在 ?4,5? 上递增.

∵ f (1) ? 2, f (3) ? 6, f (4) ? 5, f (5) ? 12 , ∴ f ( x) 的值域为 ?2,12?

? x 2 ? ?m ? 2?x ? 3 (2) f ( x) ? x x ? m ? 2 x ? 3 ? ? 2 ?? x ? ?m ? 2?x ? 3
2 2 ?? m?2? ?m?2? x ? ? 3 ? ? ? ? ?? ? 2 ? ? 2 ? ?? ? 2 2 m? 2? ?m? 2? ?? ? ?x? ? ?3?? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?

?x ? m? ?x ? m?

?x ? m ? ?x ? m ?

?m ? 2 ?m ? ? 2 因为 f ( x) 在 R 上为增函数,所以 ? 得? 2 ? m ? 2. m ? 2 ? ?m ? ? 2
10.函数 f ( x ) ?

2x ? 1 ( x?R ) 。 2x ? 1

(1)求函数 f ? x ? 的值域; (2)判断并证明函数 f ? x ? 的单调性。 11.已知函数 f ? t ? ? log 2 t , t ? ? 2,8? .

?

?

(1)求 f ? t ? 的值域 G; (2)若对于 G 内的所有实数 x ,不等式 ? x ? 2mx ? m ? 2m ? 1 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2 2

12.季节性服装当季节即将来临时,价格呈上升趋势,设某服装开始时定价为 10 元,并且每周(7 天)涨 价 2 元,5 周后开始保持 20 元的价格平稳销售;10 周后当季节即将过去时,平均每周削价 2 元,直到 16 周末,该服装已不再销售. (1)试建立价格 P 与周次 t 之间的函数关系式. (2)若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系为 Q=-0.125(t-8) +12,t∈[0,16],t∈N ,试 问该服装第几周每件销售利润 L 最大?
2 *

练习二 函数的概念及其基本性质(一) 一.选择题 1.下列各组函数中,表示同一个函数的是 A. y ? C. y ? ( )

x2 ?1 与 y ? x ?1 x ?1

B. y ? x 与 y ? log a a x ? a ? 0, a ? 1? D. y ? lg x 与 y ? )

x2 ?1 与 y ? x ? 1

1 lg x 2 2

2.下列图形中不是函数图象的是(

3.下列函数中,在区间(0,+∞)上是增函数的是 A y ? ?x
2

( D



1 B y? x

?1? C y?? ? ?2?

x

y ? log2 x
( )

4.已知 a ? log 2 0.3, b ? 2 0.1, c ? 0.2 1.3 ,则 a, b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? a ? b

D. a ? c ? b )

5. f ? x ? 在定义域 ? 0, ?? ? 上单调递增,则不等式 f ? x ? ? f ? ?8 ? x ? 2 ? ? ? 的解集是(

(A)(0 ,+∞)

(B)(0 , 2)

(C) (2 ,+∞)

(D) (2 ,

16 ) 7

6.若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,在 (??, 0] 上是减函数,且 f (2) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 的 x 的取 值范围是( ) B、 (2, ??) ; C、 (-2,2) ; D、 (??, ?2)

A、 (??, 2) ;

(2, ??)


7.设函数 f ?x ? 定义在实数集上,它的图象关于直线 x ? 1 对称,且当 x ? 1 时, f ?x ? ? x 2 ? 1 则有( A. f ? ? ? f ? ? ? f ? ? C. f ? ? ? f ? ? ? f ? ? 8.
?2? ?3? ?1? ?3? ?3? ?2? ?1? ?3? ?3? ?2? ?2? ?3?

B. f ? ? ? f ? ? ? f ? ? D. f ? ? ? f ? ? ? f ? ?
?3? ?2? ?2? ?3? ?1? ?3?

?2? ?3?

?3? ?2?

?1? ?3?

??3a ? 1?x ? 4a, x ? 1 f ?x ? ? ? 是 ?? ?,??? 上的减函数,则 a 的取值范围是 2 ? ? ?x ? 1? , x ? 1
1? A. ?0,

B. ? 0, ?

? ?

1? 3?

C. ? , ?

?1 1 ? ?7 3?

1? D. ? ,

?1 ? ?7 ?

二.填空题

? 8 , x?0 ? 9.函数 f ( x) ? ? x ,则 f [ f (?2)] =_____ ___ ? ? x( x ? 2), x ? 0
10.函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3, x ? [0,4) 的值域为 11.函数 f ? x ? ? log0.5 (3 ? 2 x ? x 2) 的单调递增区间是 三.解答题 12.将函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 写成分段函数的形式, 并在坐标系中作出他的图像, 然后写出该函数的单 调区间。 13.已知函数 f ? x ? ? x ? (1)求实数 m 的值; (2)判断 f ? x ? 奇偶性; (3)讨论函数 f ? x ? 在 [2, ??) 上的单调性?并证明你的结论. 14.要在墙上开一个上部为半圆,下部为矩形的窗户 (如图所示) ,在窗框总长度为 l 的条件下, (1)请写出窗户的面积 S 与圆的直径 x 的函数关系; (2)要使窗户透光面积最大,窗户应具有怎样的尺寸?并写出最大值. 15. 设函数 f ?x ? 的定义域是 ?0,??? ,且对任意的正实数 x, y 都有 f ?xy? ? f ?x ? ? f ? y ? 恒成立 . 已知 .

m , 且此函数图象过点(1,5). x

f ?2? ? 1 ,且 x ? 1 时, f ?x ? ? 0 .
(1)求 f ? ? 的值; (2)判断 y ? f ?x ? 在 ?0,??? 上的单调性,并给出你的证明; (3)解不等式 f x

?1? ?2?

? ? ? f ?8x ? 6? ?1 .
2

16.二次函数 f(x)满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x, 且 f(0)=1。 (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间 ??1,1? 上,y= f(x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围。

练习二 函数的概念及其基本性质(一)参考答案 1.B ;2.A;3.D;4.D ;5.D;6.C;7. B 8.C; 9.1 , 10. [2,11 )11. [?1,1) (或 (?1,1) )

12.将函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 写成分段函数的形式, 并在坐标系中作出他的图像, 然后写出该函数的单
2 ? ? x ? 2 x ? 1.......x ? 0 调区间。 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 = ? 2 ? ? x ? 2 x ? 1.......x ? 0

2

图(略) 单调增区间为(-1,0) , (1,+∞) ,单调减区间为(-∞,-1) , (0,1) 13.解: (1)

f ? x ? 过点(1,5), ?1 ? m ? 5 ? m ? 4. 4 (2)对于 f ? x ? ? x ? , x ? 0, ? f ? x ? 的定义域为 ? ??,0? x 4 f ??x? ? ?x ? ? ? f ? x ? , ? f ? x ? 为奇函数. ?x (3)设 x1 , x2 ?[2, ??) 且 x1 ? x2 , 4 4 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 ? ? x2 ? x1 x2
4 ? x2 ? x1 ? ? x1 ? x2 ?? x1 x2 ? 4 ? ? x1 x2 x1 x2 x1 , x2 ?[2, ??) 且 x1 ? x2 , ? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 4, x1 x2 ? 0 ? ? x1 ? x2 ? ?

? 0, ??? 关于原点对称,

? f ? x ? 在 [2, ??) 是单调递增.
14.解 (1) 设半圆的直径为 x, 矩形的高度为 y, 窗户透光面积为 S, 则 窗框总长l =

? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0

?x +x+ 2y, 2

2l ? (2 + ?)x 4 ? 2 ? 2l ? (2 + ?)x S = x +xy = x 2 + ·x 8 8 4 4?? 2l 2 l2 =- (x ? ) ? 8 4?? 2( 4 ? ? ) ∴y =
?S ? ? 4 ?? 2 l x ? x 8 2 (0 ? x ?
2

2l ) …………………………4 分 ? ?2

4?? ? 2? S ? ? 8

2l ? l2 ? x ? ? ? ? 4 ? ? ? 2?4 ? ? ? ?

2l l2 时,S max = , 4+? 2( 4 ? ? ) ………………………………7 分 l x 此时,y = ? 4+? 2 当x =

答 窗户中的矩形高为

l ,且半径等于矩形的高时,窗户的透光 面积最大. 4??

15.解:(1)令 x=y=1, 则可得 f(1)=0, 再令 x=2, y=

1 1 1 , 得 f(1)=f(2)+f( ), 故 f( )= ?1 2 2 2 x2 x2 (2)设 0<x1<x2, 则 f(x1) +f( )=f(x2) 即 f(x2) ?f(x1)=f( ), x1 x1 x x ∵ 2 >1, 故 f( 2 )>0, 即 f(x2)>f(x1) 故 f(x)在(0, +∞)上为增函数 x1 x1
(3)由 f(x )>f(8x?6) ?1 得 f(x )>f(8x?6) +f(
2 2

1 1 )=f [ (8x?6)], 2 2

故得 x >4x?3 且 8x?6>0, 解得解集为{x|
2 2

3 <x<1 或 x>3} 4
2

16.解: (1)设 f(x)=ax +bx+c,由 f(0)=1 得 c=1, 故 f(x)=ax +bx+1. ∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1) +b(x+1)+1-(ax +bx+1)=2x. 即 2ax+a+b=2x,所以 ?
2 2 2

?2a ? 2 ?a ? 1 2 ,∴f(x)=x -x+1. ,? ? ?a ? b ? 0 ?b ? ?1
2

(2)由题意得 x -x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立. 即 x -3x+1-m>0 在[-1,1]上恒成立. 3 2 设 g(x)= x -3x+1-m,其图象的对称轴为直线 x= ,所以 g(x) 在[-1,1]上递减. 2 故只需 g(1)>0,即 1 -3×1+1-m>0,解得 m<-1.
2


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