www.6220a.me:人教A版高中数学必修二4.1.1圆的标准方程课件 (共19张PPT)_图文

第四章 4.1 4.1.1 圆与方程 圆的方程 圆的标准方程 预习提纲 课堂P118 1、圆的标准方程是什么? 2、圆的标准方程的特点是什么? 3、如何判断点与圆的位置关系? 4、如何用待定系数法求圆的方程? 一、圆的标准方程的推导 思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线, 在平面几何中,圆的定义是什么?如何 用集合语言描述以点A为圆心,r为半径 的圆? M r P={M||MA|=r}. A 平面内到一个定点的距离等于定长的 点的轨迹叫做圆. 思考2:设圆心坐标为A(a,b),圆半径 为r,M(x,y)为圆上任意一点,根据圆 的定义x,y应满足什么关系? 由圆定义得:| MA |? r 用坐标表示 | MA |? r ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 2 2 y r A o M x 上式两边平方得 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 2 2 2 圆的标准方程 圆心C(a,b),半径r y M(x,y) O C x ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 2 2 2 标准方程 思考3:当圆心在原点时,x轴上,y轴上时, 圆的标准方程是什么? (1)当圆心在原点即 C(0,0)时,方程为 x 2 ? y 2 ? r 2 ( r ? 0) (2)圆心在 x 轴上时: ( x ? a ) 2 ? y 2 ? r 2 ( r ? 0) 2 2 2 (3)圆心在 y 轴上时: x ? ( y ? b) ? r ( r ? 0) 小结:圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆, 所以,只要 a ,b,r 三个量确定了且 r>0,圆的方程就给定了. 这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件. 注意,确定 a 、b 、r,可以根据条件,利用待定系数法来解决. 课堂练习: 1、写出下列圆的方程:(课本 P120 练习 1 ) (1) 圆心在点 C(-3, 4), 半径为 5 . (2)圆心在点 C(8, -3), 且经过点 M(5, 1). (1) ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 5 2 2 (2)r ?| CM |? 5 ( x ? 8) ? ( y ? 3) ? 25 2 2 知识探究二:点与圆的位置关系 思考1:在平面几何中,如何确定点与 A 圆的位置关系? A A O O O 圆内:OA<r 圆上:OA=r 圆外:OA>r 探究:在直角坐标系中,已知点M(x0, 2 2 2 y0)和圆C:( x ? a) ? ( y ? b) ? r,如何判 断点M在圆内、圆上、圆外? (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内. (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; 例题 例1 写出圆心为A(2,-3),半径 长等于5的圆的方程,并判断点M(5, -7),N( 5 ,-1)是否在这个圆上? 解 : 圆心是A(2,?3), 半径长等于5的圆的标准方程是 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25. 把点M 1 (5,?7)的坐标代入方程( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25, 左右相等, 点M 1的坐标适合方程, 所以点M 1在这个圆上; 把点M 2 (? 5 ,?1)的坐标代入方程( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25, 左右 不相等, 点M 2的坐标不适合方程, 所以点M 2不在这个圆上. 例题1小结: (一)求圆的方程的方法——定义法: 直接求出圆心坐标和半径代入标准方程。 (二)判断点M在圆外、圆上、圆内 1、(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; 2、(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; 3、(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内. 例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是 A(5, 1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接 圆的方程. y 解:设所求圆的方程为: A ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 2 2 2 o 因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上C ? (5 ? a ) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ?a?2 ? ? 2 2 2 ?(7 ? a ) ? (?3 ? b) ? r 解得 ?b ? ?3 ? r ?5 ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ? ? B x 所求圆的方程为 2 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25 2 待定系数法 例题2小结: 待定系数法步骤: ①根据题意,设圆标准方程; ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 2 2 2 ②根据条件列出方程组并解出a,b,r的值; ③写出标准方程. 三、课堂练习:(课本 P120 练习 3,4) 1、已知两点 P1(4,9) P2(6,3) ,求以线段 P1P2 为直径的圆的方程, 并判断点 M(6,9)在圆上、在圆内、还是在圆外? 2、已知Δ AOB 的顶点坐标分别是 A(4,0) ,B(0,3) ,O(0,0) , 求Δ AOB 外接 圆的方程。 1.( x ? 5) ? ( y ? 6) ? 10 2 2 (6 ? 5)2 ? (9 ? 6)2 ? 10, 点M 在圆上. ?(4 ? a) 2 ? (0 ? b) 2 ? r 2 ? 2.分析:? (0 ? a) 2 ? (3 ? b) 2 ? r 2 ?(0 ? a) 2 ? (0 ? b) 2 ? r 2 ? 3 2 25 ( x ? 2) ? ( y ? ) ? 2 4 2 ? ?a ? 2 ? 3 ? 解得: b ? ? 2 ? ? 2 25 r ? ? ? 4 3.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B (2,-

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