高考数学二轮复习 专题1 集合、常用逻辑用语、函数与导数 第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质课件 理_图文

随堂讲义
专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数 第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质

函数的图象与性质历来是高考的重点,也是热点, 一般以选择题或填空题的形式进行考查.对于函数图 象的考查体现在两个方面:一是识图;二是用图,即 通过函数的图象,通过数形结合的思想方法解决问 题.对于函数的性质,主要考查函数单调性、奇偶性、 周期性,也可能考查求函数的定义域和简单函数的值 域、最值问题.

例 1 判断下列对应是否为 A 到 B 的函数. (1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|; (2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2; (3)A=Z,B=Z,f:x→y= x; (4)A=[-1,1],B={0},f:x→y=0. 思路点拨:本题四个小题中的集合 A 和 B 都是非空的数集, 利用函数的定义,对于集合 A 中的元素通过对应关系判断在 集合 B 中是否有唯一元素与之对应.

解析:(1)A 中的元素 0 在 B 中没有对应的元素,故不是 A 到 B 的函数. (2)对于 A 中的任意一个整数 x,按照对应法则 f:x→y =x2,在 B 中都有唯一确定的整数 x2 与其对应,故是 A 到 B 的函数. (3)A 中的元素负整数没有平方根,故在 B 中没有对应的 元素,故不是 A 到 B 的函数. (4)对于 A 中的任意一个数 x,按照对应法则 f:x→y=0. 在 B 中都有唯一确定的数 0 和它对应,故是 A 到 B 的函数.

判断一个对应法则是否构成函数,首先看A,B是不 是非空数集,其次看给出A中的任何一个值x,通过给出 的对应法则,在B中是否有唯一确定的值y与之对应.

1.已知集合 P={x|0≤x≤4},M={y|0≤y≤2},下列 对应不表示 P 到 M 的函数的是(C) 1 A.y= x 2 2 C.y= x 3 1 B.y= x 3 D.y= x

解析:因按 C 中对应法则时,集合 P 中的 4 在集合 M 中没有元素与这对应.

2.已知函数 =1,则 a=(A) 1 A. 4 C.1

x ? ?a·2 ,x≥0, f(x)=? -x (a∈R),若 ? ?2 ,x<0,

f[f(-1)]

1 B. 2 D.2

解析:f(-1)=2,f(2)=4a,所以 f[f(-1)]=4a=1,解 1 得 a= . 4

1 例 2 判断函数 f(x)=e + x在区间(0,+∞)上的单调性. e
x

思路点拨:单调性的定义. 解析:解法一 设 0<x1<x2,则
? ? 1? 1? ? ? ? f(x1)-f(x2)=?ex1+ ?-?ex2+ ? ex1? ? ex2? ? ? ? 1 ? ex2-ex1 ? ? =(ex1-ex2)+ =(ex1-ex2)?1- ex1+x2? ex1·ex2 ? ?

ex1+x2-1 =(ex1-x2-1)· . x1

∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2>0. ∴ex1-x2<1,ex1+x2>1,x1>0. ∴f(x1)-f(x2)<0 ∴f(x1)<f(x2). ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.

1 解法二 对 f(x)=e + x求导, e
x

1 1 2x 得 f′(x)=e - x= x(e -1), e e
x

当 x>0 时,ex>0,e2x>1,∴f′(x)>0. ∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.

(1)判断函数的单调性的一般思路:对于选择、 填空题,若能画出图象,一般用数形结合法;而对 于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函 数,常转化为基本初等函数单调性的判断问题;对 于解析式较复杂的,用导数法或定义法.

(2)对于函数的奇偶性的判断,首先要看函数的定 义域是否关于原点对称,其次再看 f(-x)与 f(x)的关系. (3)求函数最值常用的方法有单调性法、图象法、基 本不等式法、导数法和换元法.

3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+4)=f(x), 当 x∈(0,2)时,f(x)=x+2,则 f(7)=(A) A.-3 C.-1 B.3 D.1

解析:因为 f(x+4)=f(x),故 f(x)是周期为 4 的周 期函数,又因为 f(x)是奇函数,故有:f(7)=f(3+4)= f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(1)=-3.故选 A.

例 3 分别画出下列函数的图象: x+2 (1)y= ; x-1 (2)y=|x+1|;
?1? ?|x| (3)y=? ?2? ; ? ?

(4)y=ln(1-|x|).

思路点拨:先作出基本函数的图象,再通过平移、 翻折等变换得到所求函数的图象. x+2 (x-1)+3 3 解析:(1)函数 y= = =1+ .因 x-1 x-1 x-1 x+2 3 此函数 y= 的图象可以由 y= 的图象向右平移 1 个 x x-1 单位长度并向上平移 1 个单位长度得到,如图 1 所示.

(2)先作函数 y=|x|的图象, 再将函数的图象向左平移 1 个单位长度得到 y=|x+1|的图象,如图 2 所示. (3)先作函数
?1 ?x ? y=? ?2 ? 的图象,将图象 ? ?

x<0 的部分去掉,

同时将 x>0 部分的图象沿 y 轴对称翻折到 x<0 的部分(或者 ?1? ?|x| 说在 x 轴负半轴作关于 y 轴对称的图象)得到 y=? ?2? 的图 ? ? 象,如图 3 所示.

(4)先作函数 y=ln x,作其关于 y 轴的对称曲线得到 y=ln(-x),将 y=ln(-x)图象向右平移 1 个单位长度得 到 y=ln[-(x-1)],即 y=ln(1-x),去掉图象位于 x 轴 负半轴的部分, 并将 x 轴正半轴的部分图象沿 y 轴对称翻 折得到 y=ln(1-|x|)的图象,如图 4 所示.

函数图象的变换,考纲中没有明确提出要求,课标 中往往是要求借助于绘图软件来获取图象,但从实际考 查来看又常常涉及,对于具体函数(如指数函数、对数函 数、幂函数)经过平移、对称变换后的图象问题还是应该 掌握,但选题不宜过于复杂、非常见.

4.已知函数 (A)

? ?1+ln x,x≥1, f(x)=? 3 则 ? ?x ,x<1,

f(x)的图象为

?1? ? ?x ?? ?2? ,x≤0, 例 4 已知函数 f(x)=?? ? 若 f(x0)≥2, ? ?log2(x+2),x>0,

则 x0 的取值范围是________.
思路点拨:本题可以分x0≤0和x0>0两种情况讨论,分 别得到简单的指数、对数不等式,再根据幂和对数运算性质 转化为同底数幂值、对数值比较大小,最后用指数、对数函 数单调性求解.

解析:当 x0≤0 时,f(x0)≥2
?1? ? ? ? ?x0 ?1 ?-1 即? ? ≥? ? ,∴x0≤-1. ?2? ?2 ?

?1 ? ?x0 化为? ?2 ? ≥2, ? ?

当 x0>0 时,f(x0)≥2 化为 log2(x0+2)≥2, 即 log2(x0+2)≥log24, ∴x0+2≥4,∴x0≥2. ∴x0 的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞). 答案:(-∞,-1]∪[2,+∞)

(1)熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解决此类 题目的关键. (2)要注意化归和分类讨论的思想在这些题目中的应 用.

5.(2015· 福建卷)若函数

? ?-x+6,x≤2, f(x)=? (a>0,且 ? 3 + log x , x>2 ? a

a≠1)的值域是[4,

+∞),则实数 a 的取值范围是(1,2]. 解析:当 x≤2 时,y=-x+6≥4. ∵ f(x)的值域为[4,+∞), ∴ 当 a>1 时,3+logax>3+loga2≥4, ∴ loga2≥1, ∴ 1<a≤2; 当 0<a<1 时,3+logax<3+loga2,不合题意. 故 a∈(1,2].

1.画函数的图象或研究函数的性质时,一定要注意定义域 的限制. 2.判断函数 y=f(x)的奇偶性时,注意观察函数的定义域是 否关于原点对称,同时注意“函数的定义域关于原点对称”与 “奇函数的图象关于原点对称”的内涵是不同的. 3.函数的图象一般可以由两种方法得到: (1)描点法;(2) 利用基本函数图象的平移、对称、翻折、伸缩等变换.用描点 法画图象时,可结合函数的性质,比如奇偶性、周期性、单调 性等.

4.会“画图”,还要会“识图”,能根据函数的图象研 究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质. 5. 注意对抽象函数 y=f(x)的对称性与周期性的识别, 如 f(a+x)=f(a-x)和 f(x+a)=f(x-a)在形式上相近,有时难以 区分,可以对比学习.


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