2019届高考数学一轮复习第九章解析几何专题研究4圆锥曲线中的探索性问题文

专题研究四 圆锥曲线中的探索性 问题 专 题 要 点 1.探索性问题是指结论或者条件不完备的试题,这类试题不 给出确定的结论,让考生根据题目的条件进行分析判断作出确定 的结论. 这类试题对考生分析问题、 解决问题的能力有较高要求, 是高考压轴的一类热点题型. 2.探索性问题的解题步骤 (1)首先假设所探求的问题结论成立、存在等,在这个假设 下进行推理论证,如果得到了一个合情合理的推理结果,就肯 定假设,对问题作出正面回答;如果得到一个矛盾的结果,就 否定假设,对问题作出反面回答.在这个解题思想指导下解决 探索性问题与解决具有明确结论性的问题就没有什么差别. (2)具体操作程序: ①先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参数的 方程或不等式(组). ②解此方程或不等式(组),若有解即存在,若无解则不存在. 3.解答此类问题要充分注意解题的规范性,防止无谓失分. 专 题 讲 解 已知椭圆C1,抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心和 C2的顶点均为原点O,从每条曲线上各取两个点,将其坐标记录 于下表中: x y 3 -2 3 -2 0 4 -4 2 2 2 (1)求C1,C2的标准方程; (2)是否存在直线l满足条件:①过C2的焦点F;②与C1交于 → → 不同的两点M,N,且满足 OM ⊥ ON ?若存在,求出直线l的方 程;若不存在,说明理由. 2 y 【解析】 (1)设抛物线 C2: y2=2px(p≠0), 则有 =2p(x≠0). x 据此验证四个点知 (3 ,- 2 3) ,(4,- 4) 在抛物线上,易求 得 C2 的标准方程为 y2=4x. x2 y2 2 设 C1: 2+ 2= 1(a>b>0) ,把点( -2 , 0), ( 2, ) 代入得 a b 2 ?4 ?a2=4, ?a2=1, ? ? 解得? 2 ? ?b =1. ? 22+ 1 2=1, ?a 2b x2 2 所以 C1 的标准方程为 +y =1. 4 (2)容易验证当直线l的斜率不存在时,不满足题意. 当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1),与C1的交 点为M(x1, y1),N(x2,y2). ?x ? +y2=1, 由? 4 消去y并整理,得 ? ?y=k(x-1), (1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0. 4(k2-1) 8k2 于是x1+x2= ,x x = .① 1+4k2 1 2 1+4k2 y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1], 2 2 2 2 4 ( k - 1 ) 8k 3k 即 y1y2=k2[ - 2 2+1]=- 2.② 1+4k 1+4k 1+4k → → → → 由OM⊥ON,即OM·ON=0,得 x1x2+ y1y2=0.(*) 4(k2-1) k2 - 4 3k2 将①②代入(*)式,得 - = =0,解得 1+4k2 1+4k2 1+4k2 k=± 2. 所以存在直线 l 满足条件,且 l 的方程为 2x- y-2=0 或 2x +y-2=0. 【答案】 x2 2 (1)C1: 4 +y =1 C2:y2=4x (2)存在满足条件的直线 l,2x-y-2=0 或 2x+ y-2=0 (2018· 湖南湘西自治州一检)已知抛物线 C: x2=2py(p>0) 的焦点为 F,直线 2x- y+2=0 交抛物线 C 于 A,B 两点,P 是 线段 AB 的中点,过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)D 是抛物线 C 上的动点,点 E(-1,3),若直线 AB 过焦 点 F,求|DF|+|DE|的最小值; → → → → (2)问: 是否存在实数 p, 使|2QA+QB|= |2QA-QB|?若存在, 求出 p 的值;若不存在,请说明理由. 【解析】 (1)∵直线 2x-y+2=0 与 y 轴的交点为(0,2), ∴F(0,2), ∴抛物线 C 的方程为 x2=8y,准线 l: y=-2. 过点 D 作 DG⊥l 于点 G,则 |DF|+|DE|= |DG|+ |DE|, 当 E,D,G 三点共线时,|DE|+|DG|取得最小值,即|DE|+ |DF|取得最小值,最小值为 2+3=5. → → → → (2)假设存在实数 p,使得|2QA+QB|= |2QA-QB|. 将抛物线 x2=2py 与直线 y=2x+2 的方程联立并消去 y,得 x2-4px-4p=0. 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 x1+x2=4p, x1 x2=-4p, ∴Q(2p, 2p). → → → → ∵|2QA+QB|=|2QA-QB|, → → ∴QA·QB=0,即(x1-2p)(x2-2p)+(y1-2p)(y2-2p)=0, 即(x1-2p)(x2-2p)+(2x1+2-2p)(2x2+2-2p)=0, 化简,得5x1x2+(4-6p)(x1+x2)+8p2-8p+4=0, 把x1+x2=4p,x1x2=-4p代入上式,化简得4p2+3p-1= 1 0,解得p=4或p=-1(舍去). 1 → → → → 故存在实数p=4,使|2QA+QB|=|2QA-QB|. 1 【答案】 (1)5 (2)存在p值为 4 ★状元笔记★ 存在性问题的求解方法 (1)解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性 问题明朗化.一般步骤: ①假设满足条件的曲线(或直线、点)等存在,用待定系数法 设出; ②列出关于待定系数的方程(组); ③若方程(组)有实数解,则曲线(或直线、点等)存在,否则 不存在. (2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法. 思考题1 x2 y2 (2018· 衡水中学调研卷)已知椭圆C: b2 + a2 = 2 1(a>b>0)的离心率e= 2 ,短轴的右端点为A,M(1 ,0)为线段 OA的中点. (1)求椭圆C的方程; (2)过

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