广东省普宁市第一中学2015-2016学年高二数学下学期第二次月考试题 理

普宁市第一中学 2015-2016 学年度下学期第二次月考
高二理科数学试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 60 分)
注意事项: 1. 答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2. 每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦
干净后,在改涂在其他答案标号。 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.设集合 A={x||x﹣a|<1,x∈R},B={x||x﹣b|>2,x∈R}.若 A? B,则实数 a,b 必满足 () A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3 C.|a﹣b|≤3 D.|a﹣b|≥3 2.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是棱 AB,BB1 的中点,则异面直线 EF 和 BC1 所成 的角是( ) A.60° B.45° C.90° D.120° 3.甲乙两人下棋,甲获胜的概率为 30%,甲不输的概率为 80%,则甲乙下成和棋的概率为 () A.70% B.30% C.20% D.50% 4.函数 f(x)=ex+x﹣2 的零点所在的区间是( ) A.(0, ) B.( ,1) C.(1,2) D.(2,3)

5.若等边△ABC 的边长为 2,平面内一点 M 满足

,则

=( )

A. B. C. D.

6.已知向量 =(1,1,0), =(﹣1,0,2)且 k + 与 2 ﹣ 互相垂直,则 k 的值是( ) A.1 B. C. D. 7.“1<x<2”是“x<2”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

1

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.设集合 A={x||x﹣a|<1,x∈R},B={x||x﹣b|>2,x∈R}.若 A? B,则实数 a,b 必满足 () A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3 C.|a﹣b|≤3 D.|a﹣b|≥3 9.已知函数 y=f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠2},且 y=f(x+2)是偶函数,当 x<2 时, f(x)=|2x﹣1|,那么当 x>2 时,函数 f(x)的递减区间是( ) A.(3,5) B.(3,+∞) C.(2,+∞) D.(2,4] 10.函数 f(x)=ex+x﹣2 的零点所在的区间是( ) A.(0, ) B.( ,1) C.(1,2) D.(2,3)

11.若等边△ABC 的边长为 2,平面内一点 M 满足

,则

=( )

A. B. C. D.

12.已知函数 f(x)的定义域为 R,若存在常数 m>0,对任意 x∈R,有|f(x)|≤m|x|,则

称函数 f(x)为 F﹣函数.给出下列函数:

①f(x)=x2;





③f(x)=2x; ④f(x)=sin2x. 其中是 F﹣函数的序号为( ) A.①② B.①③ C.②④ D.③④
第 II 卷(非选择题 共 90 分) 注意事项:第 II 卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。 二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。)

13.已知| |=1,| |= ,

=0,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°,设 =m +n

(m、n∈R),则 等于 .

14.已知点 A(1,﹣2),B(5,6),直线 l 经过 AB 的中点 M,且在两坐标轴上的截距相等, 则直线 l 的方程是 .

2

15.函数

的定义域是 .

16.直线 l1:(3+a)x+4y=5﹣3a 和直线 l2:2x+(5+a)y=8 平行,则 a= . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.已知平面内两点 A(8,﹣6),B(2,2). (Ⅰ)求过点 P(2,﹣3)且与直线 AB 平行的直线 l 的方程; (Ⅱ)求线段 AB 的垂直平分线方程.(10 分)

18.如图在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥面 ABCD,∠ABC=90°,
ABC ? ADC , PA ? AC ? 2AB ? 2 ,E 是线段 PC 的中点.
(I)求证:DE//面 PAB; (II)求二面角 D-CP-B 的余弦值.(12 分)
P

E B

A

O

C

D

19.(本小 题满分 12 分) 某校在规划课程设置方案的调研中,随机抽取 50 名文科学生,调查对选做题倾向得下表:

(Ⅰ)从表中三种选题倾向中,选择可直观判断“选题倾向与性别有关系”的两种,作为选题 倾向变量的取值,分析有多大的把握认为“所选两种选题倾向与性别有关系”.(只需要做 出其中的一种情况) (Ⅱ)按照分层抽样的方法,从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中 抽取 8 人进行问卷.
3

(ⅰ)分别求出抽取的 8 人中倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数; (ⅱ)若从这 8 人中任选 3 人,记倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数
的差为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? .(12 分)

20.已知⊙O:x2+y2=1 和定点 A(2,1),由⊙O 外一点 P(x,y)向⊙O 引切线 PQ,切点为 Q,且满足|PQ|=2|PA|.(12 分) (I)求动点 P 的轨迹方程 C; (Ⅱ)求线段 PQ 长的最小值; (Ⅲ)若以⊙P 为圆心所做的⊙P 与⊙O 有公共点,试求 P 半径取最小值时的 P 点坐标.(12 分)
21.在某娱乐节目的一期比赛中,有 6 位歌手(1 至 6 号)登台演出,由现场的百家大众媒 体投票选出最受欢迎的歌手,各家媒体独立地在投票器上选出 3 位出彩候选人,其中媒体甲 是 1 号歌手的歌迷,他必选 1 号,另在 2 号至 6 号中随机的选 2 名;媒体乙不欣赏 2 号歌手, 他必不选 2 号;媒体丙对 6 位歌手的演唱没有偏爱,因此在 1 至 6 号歌手中随机的选出 3 名.(12 分) (Ⅰ)求媒体甲选中 3 号且媒体乙未选中 3 号歌手的概率; (Ⅱ)X 表示 3 号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和,求 X 的分布列及数学期望.(12 分)

22.已知函数 f(x)=

,若存在 x1,x2

∈R,且 x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2). (I)求实数 a 的取值集合 A; (Ⅱ)若 a∈A,且函数 g(x)=1g[ax2+(a+3)x+4]的值域为 R,求实数 a 的取值范围.(12 分)

4

一.选择题

普宁市勤建学校 2015-2016 学年度高一下学期期中考试 高一理科数学参考答案

1-5 DADAC

6-10 DADDA

11-12 CC

二、填空题

13. 3

14. 2x﹣3y=0,或 x+y﹣5=0

15 . (1,2] 16. ﹣7

三、解答题

17. 【解答】

解:(Ⅰ)因为

,…

所以由点斜式

得直线 l 的方程 4x+3y+1=0…

(Ⅱ)因为 AB 的中点坐标为(5,﹣2),AB 的垂直平分线斜率为 …

所以由点斜式

得 AB 的中垂线方程为 3x﹣4y﹣23=0…

18. I)证明:设线段 AC 的中点为 O,连接 OD,OE.
因为∠ABC=90°, BO ? 1 AC ? 1,同理 DO ? 1, 2
又 AB ? AD ?1,故四边形 ABOD 是平行四边形,所以 DO//AB,
O,E 分别是 PC,AC 的中点,所以 OE//PA, OD 与 OE 相交,AP 和 AB 相交,OE 在面 ODE 中,PA,AB 在面 PAB 中, 面 ODE//面 PAB,而 ED 在面 ODE 中,故 DE//面 PAB.

(II).因为 AB⊥BC,PA⊥面 ABCD,以 B 为原点,以 BA 为 x 轴正方向,以 BC 为 y 轴正方向,

过点 B 做平行于 AP 的直线做 z 轴正方向建立空间直角坐标系.

? ? 则 B ?0,0,0? ,C

0,

3,0

,

P

?1,0,2?

,

D

? ???

3 2

,

3 2

,0

? ???

设面 PBC 的法向量为 n1 ? ? x1, y1,z1 ?



?? ?

n1

?

BP

?

0

?

?? x1 ?

?

2 z1

?

0

??n1 ? BC ? 0 ?? 3y1 ? 0

n1 ? ?2,0,?1? ,

5

设面 DPC 的法向量为 n2 ? ? x2 , y2 ,z2 ?



???n2

?

DP

?

0

?

? ??? ?

1 2

x2

?

3 2

y2

?

2z1

?

0

??n2 ? DC ? 0

??? ?

3 2

x2

?

3 2

y1

?

0

? ? n2 ? 1, 3,1 ,

cos ? n1 ,n2 ??

2 ?1 ? 1 , 5? 5 5

二面角 D-CP-B 的余弦值为 1 . 5

19. (Ⅰ)可直观判断:倾向“坐标系与参数方程”或倾向“不等式选讲”,与性别无关;

倾向“坐标系与参数方程”或倾向“平面几何选讲”,与性别有关;倾向“平面几何选讲”

或倾向“不等式选讲”,与性别有关. (正确选择一组变量并指出与性别有关即给 1

分) …………1 分

选择一:选择倾向“平面几何选讲”和倾向“坐标系与参数方程”作为选题倾向变量Y 的
值.作出如下 2×2 列联表:

平面几何选讲

坐标系与参数方程 合计

男生

16

4

20

女生

4

8

12

合计

20

12

32

…………2 分

由上表,可直观判断:

因为 k ? 32? (16?8 ? 4? 4)2 ? 6.969 ? 6.635 , 20?12? 20?12

…………4 分

所以可以有 99%以上的把握,认为“‘坐标系与参数方程’和‘平面几何

选讲’这两种选题倾向与性别有

关”.

…………6 分

选择二:选择倾向“平面几 何选讲”和倾向“不等式选讲”作为分类变量Y
的值.作出如下 2×2 列联表:

6

男生 女生 合计

平面几何选讲 16 4 20

不等式选讲 6 12 18

…2 分

合计 22 16 38

………

因为 k ? 38? (16?12 ? 6? 4)2 ? 10.88 ? 10.828 , 20?18? 22?16

…………4 分

所以可以有 99.9%以上的把握,认为“‘不等式选讲’和‘平面几何选讲’

这两种选题倾向与性别有

关”.

………6 分

(Ⅱ)(ⅰ)倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为 20:12=5:

3,

所以抽取的 8 人中倾向“平面几何选讲”的人数为 5,倾向“坐标系

与参数方程”的人数为

3.

…………7 分

(ⅱ)依题意,得? ? ?3, ?1,1,3 ,

…………8 分

P(?

?

?3)

?

C33 C83

?

1 56



P(?

?

?1)

?

C51C32 C83

?

15 56



P(?

? 1)

?

C52C31 C83

?

30 56



P(?

? 3)

?

C53C30 C83

?

10 . 56

…………10 分

故? 的分布列如下:

?

-3

-1

1

1

15

30

P

56

56

56

所以 E? ? ?3? 1 ? (?1)? 15 ?1? 30 ? 3? 10 ? 3 .

56

56 56 56 4

3
10 56
…………12 分

20. 【解答】解:(I)连接 OQ,∵切点为 Q,PQ⊥OQ,由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2.
7

由已知|PQ|=2|PA|.可得 PQ2=4PA2,即 x2+y2﹣1=4(x﹣2)2+4(y﹣1)2. 化简可得 3x2+3y2﹣16x﹣8y+21=0.

(2)3x2+3y2﹣16x﹣8y+21=0,可化为(x﹣ )2+(y﹣ )2=

,圆心 C( , ),

半径为

∵|CA|=

=



∴|PA|min=





∴线段 PQ 长的最小值为 2(



);

(Ⅲ)P 半径取最小值时,OC 与圆 C 相交的交点为所求,

直线 OC 的方程为 y= x,代入 3x2+3y2﹣16x﹣8y+21=0,可得 15x2﹣80x+84=0,

∴x=



∴P 半径取最小值时,P(



).

21. (Ⅰ)设 A 表示事件:“媒体甲选中 3 号歌手”,事件 B 表示“媒体乙选中 3 号歌手”, 事件 C 表示“媒体丙选中 3 号歌手”, 媒体甲选中 3 号且媒体乙未选中 3 号歌手的概率: P(A )=P(A)(1﹣P(B))

(Ⅱ)P(C)= ,由已知得 X 的可能取值为 0,1,2,3,

8

22. 【解答】

解:(I)当﹣

<1,即 a<2 时,由二次函数的图象和性质,可知:

存在 x1,x2∈(﹣∞,1]且 x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,

当﹣

≥1,即 a≥2 时,

若存在 x1,x2∈R 且 x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立, 则﹣1+a>a2﹣7a+14, 解得:3<a<5, 综上所述:实数 a 的取值集合是 A=(﹣∞,2)∪(3,5); (Ⅱ)由题意可得 z=ax2+(a+3)x+4 取到一切的正数, 当 a=0 时,z=3x+4 取得一切的正数; 当 a>0,判别式△≥0,即为(a+3)2﹣16a≥0, 解得 a≥9 或 0<a≤1.

综上可得,a 的范围是



即为 0≤a≤1.

9


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